2019学年高中数学 第三章导数的运算 3.2.2 函数的和、差、积、商的导数学案 苏教版选修1-1.doc

13.2.23.2.2 函数的和、差、积、商的导数函数的和、差、积、商的导数学习目标：1.掌握导数的和、差、积、商的四则运算法则(重点) 2.会利用导数公式表及导数的四则运算法则求简单函数的导数(难点)自 主 预 习·探 新 知函数和、差、积、商的求导法则公式语言叙述f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数和的导数等于这两个函数导数的和f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数差的导数等于这两个函数导数的差C(f(x)Cf(x) (C为常数)常数与函数的积的导数等于常数与函数的导数的积f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数fx gxfxgxfxgx g2x(g(x)0)两个函数商的导数等于分母上的函数乘上分子的导数，减去分子乘以分母的导数所得的差除以分母的平方基础自测1判断正误：(1)若f(x)a22axx2，则f(a)2a2x.( )(2)运用法则求导时，不用考虑f(x)，g(x)是否存在( )(3)f(x)·g(x)f(x)g(x)( )【解析】 (1)×.f(x)2a2x，f(a)2a2a4a.(2)×.运用法则求导时，要首先保证f(x)、g(x)存在(3)×.f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)【答案】 (1)× (2)× (3)×2若f(x)，则f(x)_. x x2【导学号：95902205】【解析】 f(x).x2x x222 x22【答案】 2 x22合 作 探 究·攻 重 难2导数运算法则的应用求下列函数的导数：(1)yx43x25x6；(2)yx·tan x；(3)y(x1)(x2)(x3); (4)y.x1 x1思路探究 仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣导数公式，不具备求导条件的可进行适当的恒等变形，再结合基本初等函数的导数公式，小心计算【自主解答】 (1) y(x43x25x6)(x4)(3x2)(5x)64x36x5.(2) y(x·tan x)(xsin x cos x)xsin xcos xxsin xcos x cos2 x.sin xxcos xcos xxsin2x cos2xsin xcos xx cos2x(3)(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3)x36x211x6，y(x1)(x2)(x3)(x36x211x6)3x212x11.(4)方法一：y(x1 x1)x1x1x1x1 x12.x1x1 x122 x12方法二：y1x1 x1x12 x12 x1y. (2 x1)2x12x1 x122 x12规律方法 深刻理解和掌握导数的四则运算法则是解决求函数的和、差、积、商的导数问题的前提.在具体求导时，可结合给定函数本身的特点，先分清函数结构，再将各部分的导数求出，具体的求解策略主要有以下几种.(1)直接求导：利用导数运算法则直接求导数，此法适用于一些比较简单的函数的求导问题.(2)先化简后求导：在求导中，有些函数形式上很复杂，可以先进行化简再求导，以减3少运算量.(3)先分离常数后求导：对于分式形式的函数，往往可利用分离常数的方法使分式的分子不含变量，从而达到简化求导过程的目的.1求下列函数的导数：(1)f(x)x；4 x2(2)f(x)sin xcos x；(3)f(x)；cos x x(4)f(x)exsin x. 【导学号：95902206】(2)f(x)(sin xcos x)(sin x)(cos x)cos xsin x.(3)f(x)(cos x x)cos x·xxcos x x2.xsin xcos x x2sin x xcos x x2(4)f(x)(exsin x)(ex)sin xex(sin x)exsin xexcos xex(sin xcos x).复杂曲线的切线问题(1)曲线yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为_(2)曲线y在点(1,1)处的切线方程为_x 2x1思路探究 利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标，代入直线的点斜式方程得切线方程【自主解答】 (1)y3ln x4，k3×ln 144，故切线方程为y14(x1)，即 4xy30.(2)由y，2x12x 2x121 2x12所以k1，得切线方程为y1(x1)，即xy20.4【答案】 (1)4xy30 (2)xy20规律方法 利用常见函数的导数与导数运算公式来简化曲线切线的求法.1在点Px0，y0处的切线方程：yy0fx0xx0；2过点Px1，y1的切线方程：设切点坐标为x0，y0，则切线方程为yy0fx0xx0，代入点Px1，y1求出x0，即可得出切线方程求出的x0的个数就是过这点的切线的条数.跟踪训练2若直线ykx是曲线yx3x2x的切线，则k的值为_【解析】 设切点为(x0，y0)，y3x22x1，则k3x2x01，又k2 0y0 x0xx01，3x2x01xx01，解得x00 或x0 ，k1 或kx3 0x2 0x0 x02 02 02 01 2.3 4【答案】 1 或3 4导数的综合应用探究问题1在曲线yf(x)上有一点(x0，f(x0)，那么曲线在这一点处切线的斜率是什么？【提示】 kf(x0)2在探究 1 中，若还已知切线上另外一点(x1，f(x1)，那么该切线的斜率还可以如何表示？和探究 1 中得到的结论有什么关系？【提示】 k，f(x0).fx1fx0 x1x0fx1fx0 x1x03若已知曲线yax2在点P处的切线方程为y2x1，能否求出切点P的坐标？能否求出曲线的方程？【提示】 设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y2ax，所以切线的斜率为 2ax02，又因为切点(x0，y0)在曲线yax2和切线y2x1 上，所以有y0ax，且y02x01，2 0即Error!解之得Error!，所以切点P的坐标为(1,1)，曲线的方程为yx2.4通过以上讨论，你认为如何解决有关曲线切线的问题？【提示】 解决曲线的切线问题应充分利用切点满足的三个关系式：一是切线的斜率是函数在此切点处的导数；二是切点的坐标满足切线的方程；三是切点的坐标满足切线的方程可根据上述三个方面的条件建立相关的方程(组)求解未知数5设函数f(x)ax ，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为b x7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0 和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值. 【导学号：95902207】思路探究 (1)利用已知切线的斜率、切点的坐标满足曲线的方程和切线的方程构建方程组可求出a，b的值，可得函数f(x)的解析式；(2)根据已知条件求出曲线yf(x)上任一点处的切线方程，得到所求面积的表达式即知其为定值【自主解答】 (1)由 7x4y120，得yx3.当x2 时，y ，7 41 2f(2) ， 1 2又f(x)a，f(2) . b x27 4由得Error!解得Error!故f(x)x .3 x(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知，曲线在点P(x0，y0)处的3 x2切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y(13 x2 0)(x03 x0) (13 x2 0)，6 x0从而得切线与直线x0 的交点坐标为.(0，6 x0)令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为： |2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线1 26 x0与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为 6.规律方法 利用导数来处理与切线斜率有关的问题是一种非常有效的方法，它适用于任何导数存在的函数，一般可以根据条件建立相关的方程(组)求解未知量.跟踪训练3已知函数f(x)2x3ax与g(x)bx2cx的图象都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线的方程【解】 由题意，得f(2)g(2)，f(2)g(2)0.6f(x)6x2a，g(x)2bxc，Error!解得Error!f(x)2x38x，g(x)8x216x，即f(x)6x28，f(2)16，在点P处的公切线方程为y16(x2)构建·体系当 堂 达 标·固 双 基1函数yx3cos x的导数是_【解析】 y3x2cos xx3(sin x)3x2cos xx3sin x.【答案】 3x2cos xx3sin x2函数y的导数为 _. x x2【导学号：95902208】【解析】 y.(x x2)xx2xx2 x22x2x x222 x22【答案】 2 x223函数f(x)，则f(0)的值为_sin x 2cos x【解析】 f(x)sin x2cos xsin x2cos x 2cos x2cos x2cos xsin xsin x 2cos x27，f(0)1.2cos x1 2cos x22cos 01 2cos 02【答案】 14曲线f(x)x3x25 在x1 处的切线的倾斜角为_. 1 3【导学号：95902209】【解析】 f(x)x22x，kf(1)1，故切线的倾斜角为.3 4【答案】 3 45求下列函数的导数：(1)yx2sin x；(2)yln x ；(3)y；1 xcos x ex【解】 (1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(ln x) .(ln x1 x)(1 x)1 x1 x2(3)y.(cos xex)cos xexcos xexex2sin xcos xex