2019年中考数学复习 第三单元 函数 第12讲 二次函数练习.doc

1第第 1212 讲讲 二次函数二次函数第第 1 1 课时课时 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质重难点 1 1 二次函数的图象和性质二次函数 y2x2bxc 的图象经过点 A(2，1)，B(0，1) (1)求该二次函数的表达式； (2)二次函数图象的顶点坐标为(1，1)，对称轴为直线 x1，最小值为1； (3)若 C，D 是抛物线上两点，且点 C(3，7)，点 D(a，7)，则 a 的值为1； (4)若点 P(3n2，y1)，Q(4n2，y2)在抛物线上，试判断 y1与 y2的大小；(写出判断的理由) (5)将该函数图象向右平移，当图象经过点(1，1)时，A，B 两点随图象移至 A，B，求OBB的面积； (6)将该函数图象向上平移 k(k 是正整数)个单位长度，使平移后的图象与 x 轴无交点，求 k 的最小值 【自主解答】 解：(1)二次函数 y2x2bxc 的图象经过点(2，1)，(0，1)解得82bc1， c1，)b4， c1.)该二次函数的表达式是 y2x24x1. (4)4n23n21， P，Q 都在对称轴的右边 又20，函数的图象开口向上，在对称轴的右边 y 随 x 的增大而增大， y1y2. (5)设函数图象向右平移 m(m0)个单位长度，则平移后函数的表达式为 y2(x1m)21， 图象经过点(1，1)， 2m211，解得 m1.SO BB OB·BB ×1×1 .1 21 21 2(6)将抛物线 y2x24x1 的图象向上平移 k(k 是正整数)个单位长度后的解析式为 y2x24x1k， 方程 2x24x1k0 无根，0， 168(1k)0.k1. k 是正整数， k 的最小值为 2.方法指导1.1.求抛物线 yax2bxc(a0)的对称轴、顶点坐标有两种方法，一是利用顶点公式(，)，二b 2a4acb2 4a是通过配方得到 ya(xh)2k 的形式 2 2比较抛物线上点的纵坐标大小的基本方法有以下三种： (1)利用抛物线上对称点的纵坐标相等，把各点转 化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行比较； (2)当已知抛物线的解析式及相应点的横坐标时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小； (3)利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小，开口向下，抛物线上的点距离对称轴 越近，点的纵坐标越大”比较大小如本例(4) 3 3与 x 轴有无交点，就是将其转化为一元二次方程求解，若无交点，即是要求 0；有一个交点，即是 0；有两个交点，即是 0. 【变式训练 1 1】 (2018·成都)关于二次函数 y2x24x1，下列说法正确的是(D) A图象与 y 轴的交点坐标为(0，1) B图象的对称轴在 y 轴的右侧 C当 x0 时，y 的值随 x 值的增大而减小 Dy 的最小值为3 【变式训练 2 2】 (2017·泰安)已知二次函数 yax2bxc 的 y 与 x 的部分对应值如下表：2x1013y3131 下列结论： 抛物线的开口向下； 其图象的对称轴为直线 x1； 当 x1 时，函数值 y 随 x 的增大而增大； 方程 ax2bxc0 有一个根大于 4.其中正确的结论有(B) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个重难点 2 2 同一坐标系中的函数图象共存问题(2018·德州)如图，函数 yax22x1 和 yaxa(a 是常数，且 a0)在同一平面直角坐标系的图象 可能是(B),A) ,B) ,C) ,D)同一法：一般可以先假定其中一种函数的图象(如：一次函数，反比例函数)，再根据函数图象得到方法指导该函数解析式中字母的范围，去判断另一个函数图象是否正确如：例 2A选项，若一次函数图象正确，则 a0)过 A(2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是(C) Ay1>0>y2 By2>0>y1 Cy1>y2>0 Dy2>y1>04 4(2018·青岛)已知一次函数 y xc 的图象如图，则二次函数 yax2bxc 在平面直角坐标系中的图象可能b a是(A)4,A) ,B),C) ,D)5 5如图，抛物线 yax2bxc 的顶点为 B(1，3)，与 x 轴的一个交点 A 在(2，0)和(3，0)之间，下列结论中： bc0；2ab0；abc0；ac3，正确的有(A)A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 6.6.(2018·陕西)对于抛物线 yax2(2a1)xa3，当 x1 时，y0，则这条抛物线的顶点一定在(C) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限考点 2 2 二次函数图象的平移 7 7(2018·广安)抛物线 y(x2)21 可以由抛物线 yx2平移而得到，下列平移正确的是(D) A先向左平移 2 个单位长度，然后向上平移 1 个单位长度 B先向左平移 2 个单位长度，然后向下平移 1 个单位长度 C先向右平移 2 个单位长度，然后向上平移 1 个单位长度 D先向右平移 2 个单位长度，然后向下平移 1 个单位长度8 8(2018·广西)将抛物线 y x26x21 向左平移 2 个单位长度后，得到新抛物线的解析式为(D)1 2Ay (x8)25 By (x4)251 21 2Cy (x8)23 Dy (x4)231 21 2考点 3 3 二次函数与方程、不等式9 9(2018·襄阳)已知二次函数 yx2x m1 的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值范围是(A)1 4Am5 Bm2 Cm5 Dm2 1010(2017·苏州)若二次函数 yax21 的图象经过点(2，0)，则关于 x 的方程 a(x2)210 的实数根为(A) Ax10，x24 Bx12，x26Cx1 ，x2 Dx14，x203 25 251111(2017·咸宁)如图，直线 ymxn 与抛物线 yax2bxc 交于 A(1，p)，B(4，q)两点，则关于 x 的不等 式 mxn>ax2bxc 的解集是 x4考点 4 4 确定二次函数的解析式 1212已知：二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点 A(1，3) (1)求此抛物线的解析式； (2)如果点 A 关于该抛物线对称轴的对称点是 B 点，且抛物线与 y 轴的交点是 C 点，求ABC 的面积 解：(1)设抛物线的解析式为 ya(x3)25，将 A(1，3)代入上式得 3a(13)25，解得 a .1 2抛物线的解析式为 y (x3)25.1 2(2)A(1，3)，抛物线对称轴为直线 x3， B(5，3)令 x0，y (03)25 ，则 C(0， )1 21 21 2ABC 的面积 ×(51)×(3 )5.1 21 21313(2018·泸州)已知二次函数 yax22ax3a23 (其中 x 是自变量)，当 x2 时，y 随 x 的增大而增大，且 2x1 时，y 的最大值为 9，则 a 的值为(D) A1 或2 B 或 C. D12221414(2018·湖州)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M，N 的坐标分别为(1，2)，(2，1)，若抛物线 yax2x2(a0)与线段 MN 有两个不同的交点，则 a 的取值范围是(A)Aa1 或 a B. a1 41 31 41 3Ca 或 a Da1 或 a 1 41 31 41515(2018·淄博)已知抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，将这条抛物线向右平移 m(m0)个单位长度，平移后的抛物线与 x 轴交于 C，D 两点(点 C 在点 D 的左侧)若 B，C 是线段 AD 的三等分点， 则 m 的值为 2 或 8 1616(2017·济宁)已知函数 ymx2(2m5)xm2 的图象与 x 轴有两个公共点 (1)求 m 的取值范围，写出当 m 取范围内最大整数时函数的解析式； (2)题(1)中求得的函数记为 C1. 当 nx1 时，y 的取值范围是 1y3n，则 n 的值为2； 函数 C2：y2(xh)2k 的图象由函数 C1的图象平移得到，其顶点 P 落在以原点为圆心，半径为的圆内5或圆上设函数 C1的图象顶点为 M，求点 P 与点 M 距离最大时函数 C2的解析式 解：(1)由题意，得m 0， （2m5）24m（m2） > 0.)6解得 m<，且 m0.25 12当 m2 时，函数解析式为 y2x2x.(2)y2x2x2(x )2 ，1 41 8图象顶点 M 的坐标为( ， )，由图形可知当 P 为射线 MO 与圆在第一象限的交点时，距离最大1 41 8点 P 在直线 OM 上，由 O(0，0)，M( ， )可求得直线解析式为 y x，1 41 81 2设 P(a，b)，则有 a2b， 根据勾股定理可得 PO2(2b)2b2， 解得 a2，b1. PM 最大时函数 C2的解析式为 y2(x2)21.7第 2 2 课时 二次函数的综合应用重难点 1 1 二次函数的实际应用(2018·黄冈)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量 y(万件)与月份x(月)的关系为：y每件产品的利润 z(元)与月份 x(月)的关系如下表：x4（1 x 8，x为整数）， x20（9 x 12，x为整数），)x123456789101112z191817161514131211101010(1)请你根据表格求出每件产品利润 z(元)与月份 x(月)的关系式； (2)若月利润 w(万元)当月销售量 y(万件)×当月每件产品的利润 z(元)，求月利润 w(万元)与月份 x(月)的 关系式； (3)当 x 为何值时，月利润 w 有最大值，最大值为多少？ 【自主解答】 解：(1)当 1x9 时，设每件产品利润 z(元)与月份 x(月)的关系式为 zkxb，得kb19， 2kb18，) k1， b20.)即当 1x9 时，zx20， 当 10x12 时，z10，由上可得，zx20（1 x 9，x为整数）， 10（10 x 12，x为整数）.)(2)当 1x8 时，w(x4)(x20)x216x80. 当 x9 时，w(920)×(920)121. 当 10x12 时，w(x20)×1010x200.由上可得，wx216x80（1 x 8，x为整数）， 121（x9）， 10x200（10 x 12，x为整数）.)(3)当 1x8 时，wx216x80(x8)2144， 当 x8 时，w 取得最大值，此时 w144. 当 x9 时，w121. 当 10x12 时，w10x200， 则当 x10 时，w 取得最大值，此时 w100， 由上可得，当 x 为 8 时，月利润 w 有最大值，最大值 144 万元 【变式训练 1 1】 (2017·潍坊)工人师傅用一块长为 10 dm，宽为 6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容 器，需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计) (1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为 12 dm2时，裁掉的 正方形边长多大？ (2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为 0.5 元，底面每平方分米的费用为 2 元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？解：(1)裁剪示意图如图：8设裁掉的正方形边长为 x dm，由题意，得 (102x)(62x)12，即 x28x120. 解得 x12，x26(舍去) 答：裁掉的正方形的边长为 2 dm. (2)长不大于底面宽的五倍， 102x5(62x)0x2.5. 设总费用为 y，由题意，得 y0.5×2(102x)x(62x)x2(102x)(62x) 4x248x120 4(x6)224. 对称轴为直线 x6，开口向上， 当 0x2.5 时，y 随 x 的增大而减小 当 x2.5 时，y最小4×(2.56)22425. 答：当裁掉边长为 2.5 dm的正方形时，总费用最低为 25 元 【变式训练 2 2】 (2018·滨州)如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线， 如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 y(单位：m)与飞行时间 x(单位：s)之间具有函数关系 y5x220x，请 根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15 m时，飞行时间是多少？ (2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？解：(1)当 y15 时，155x220x. 解得 x11，x23. 答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15 m时，飞行时间是 1 s或 3 s. (2)当 y0 时，05x220x. 解得 x30，x44. 404， 在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是 4 s. (3)y5x220x5(x2)220， 当 x2 时，y 取得最大值，此时，y20. 答：在飞行过程中，小球飞行高度第 2 s时最大，最大高度是 20 m. 重难点 2 2 二次函数与几何图形的 综合(2018·泰安 T24，11 分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc交x轴于点 A(4，0)，B(2，0)，交y轴于点C(0，6)，在y轴上有一点E(0，2)，连接AE. (1)求二次函数的解析式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值；,运用二次函数的性质求方法指导实际问题的最大值和最小值的一般方法是：(1)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定取值范围； (2)配方法利用公式求顶点；(3)检查顶点是否在自变量的取值范围内或检查所求最值是不是符合要求(例如抛物线 开口向上求最小值，开口向下求最大值)若在，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若不在，则在自变量的取 值范围内，根据增减性确定9拓展点1 1：面积问题 方法指导1 1利用二次函数解决实际问题，第一步是建立二次函数模型，一般都是根据两个变量之间的等量关系建 立 2 2利用二次函数探究实际生活中的最值问题，需先建立二次函数模型，列出二次函数关系式，整理成顶点式， 函数最值应结合自变量取值范围求解，最值不一定是顶点的纵坐标，画出函数在自变量取值范围内的图象，图象 上的最高点的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值利用二次函数解决抛物线型问题的基本思路是将实际问题中的条件转化为数学问题中拓展点2 2：抛物线型问题 方法指导的条件，本例中就是将飞行高度转化为纵坐标，然后列出一元二次方程求解；飞机飞出与落地时 y 值均为 0，令纵 坐标为 0，就可以得到问题的答案；小球飞行的最大高度即是求抛物线所对应的二次函数的最大值10(3)抛物线对称轴上是否存在点 P，使AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 P 点的坐标，若不 存，在请说明理由 【思路点拨】 (1)把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；(2)根据函数解析式设出点 D 坐标， 过点 D 作 DGx 轴，交 AE 于点 F，表示ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；(3)设出点 P 坐标，分 PAPE，PAAE，PEAE 三种情况讨论分析即可解：(1)二次函数 yax2bxc 经过点 A(4，0)，B(2，0)，C(0，6)，解得1 分16a4bc0， 4a2bc0， c6，)a34，b32， c6.)二次函数的解析式为 y x2 x6.3 分3 43 2(2)由 A(4，0)，E(0，2)，可求 AE 所在直线解析式为 y x2.4 分1 2过点 D 作 DHx 轴，交 AE 于点 F，交 x 轴于点 G，过点 E 作 EHDF，垂足为 H.设 D(m， m2 m6)，则点 F(m， m2)3 43 21 2DF m2 m6( m2) m2m8.5 分3 43 21 23 4SADESADFSEDF ×DF·AG DF·EH1 21 2 ×DF·AG ×DF·EH1 21 2 ×4·DF1 22×( m2m8)3 4 (m )2.7 分3 22 350 3当 m 时，ADE 的面积取得最大值为.8 分2 350 3(3)y x2 x6 的对称轴为直线 x1，3 43 2设 P(1，n)，又 E(0，2)，A(4，0)11可求 PA，PE，AE2.9n21（n2）21645当 PAPE 时，解得 n1，此时 P(1，1)；9n21（n2）2当 PAAE 时，2 ，解得 n±，此时点 P 坐标为(1，±)；9n251111当 PEAE 时，2，解得 n2±，此时点 P 坐标为(1，2±)1（n2）251919综上所述，P 点的坐标为(1，1)，(1，±)，(1，2±).11 分1119,本例为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、割补法求三角形面积、等腰三角形的性质、方程思例题剖析想及分类讨论思想等知识在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中表示出ADE 的面积是解题的关键，在(3)中 表示出三边的长度是解题的关键，难点在于需分三种情况讨论本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大 链接专题复习(七)边栏解题方法. 方法指导1 1(2018·连云港)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h(m)与飞行时间 t(s)满足函数表达式 ht224t1.则下列说法中正确的是(D) A点火后 9 s和点火后 13 s的升空高度相同 B点火后 24 s火箭落于地面 C点火后 10 s的升空高度为 139 m D火箭升空的最大高度为 145 m 2 2(2018·北京)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分， 运动员起跳后的竖直高度 y(单位：m)与水平距离 x(单位：m)近似满足函数关系 yax2bxc(a0)如图记录 了某运动员起跳后的 x 与 y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时， 水平距离为(B) A10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m第 2 题图第 3 题图3 3(2018·沈阳)如图，一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着，并且由一条与 CD 边平行的篱笆 EF 分开已知篱笆 的总长为 900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当 AB150m时，矩形土地 ABCD 的面积最大 4 4便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润 y(元)与每件销售价 x(元)之间的关系满足 y2x280x750，由于某种原因，售价只能满足 15x22，那么一周可获得的最大利润是 1_550 元5 5(2018·武汉)飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m)关于滑行时间 t(单位：s)的函数解析式是 y60t t2.3 2在飞机着陆滑行中，最后 4 s滑行的距离是 24m.126 6(2017·义乌)某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材 料可建围墙的总长为 50 m设饲养室长为 x(m)，占地面积为 y(m2) (1)如图 1，问饲养室长 x 为多少时，占地面积 y 最大？ (2)如图 2，现要求在图中所示位置留 2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大小敏说：“只要饲养室长 比(1)中的长多 2 m就行了 ” 请你通过计算，判断小敏的说法是否正确解：(1)yx· (x25)2，50x 21 2625 2当 x25 时，占地面积 y 最大， 即当饲养室长为 25 m时，占地面积最大(2)yx· (x26)2338，50（x2） 21 2当 x26 时，占地面积 y 最大， 即当饲养室长为 26 m时，占地面积最大 262512， 小敏的说法不正确 7 7(2017·德州)随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个 圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高 2 m的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，水柱落地处离池中心 3 m. (1)请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式； (2)求出水柱的最大高度是多少？解：(1)如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为 x 轴，水管所在直线为 y 轴，建立平 面直角坐标系 由题意可设抛物线的函数解析式为 ya(x1)2h(0x3) 抛物线过点(0，2)和(3，0)，代入抛物线解析式，可得解得4ah0， ah2.)a23，h83.)所以抛物线解析式为 y (x1)2 (0x3)2 38 3化为一般式为 y x2 x2(0x3)2 34 3(2)由(1)中抛物线解析式 y (x1)2 (0x3)知，2 38 3当 x1 时，y .8 3所以抛物线水柱的最大高度为 m.8 3138 8(2018·江西)某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚 的成本价为 8 元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量 y(千克)与销 售单价 x(元/千克)之间的函数关系如图所示 (1)求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； (2)当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)某农户今年共采摘蜜柚 4 800 千克，该品种蜜柚的保质期为 40 天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销 售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由解：(1)设 y 与 x 的函数关系式为 ykxb，将(10，200)，(15，150)代入，得10kb200， 15kb150，)解得k10， b300.)y 与 x 的函数关系式为 y10x300(8x30) (2)设每天销售获得的利润为 w， 则 w(x8)y (x8)(10x300) 10(x19)21 210. 8x30， 当 x19 时，w 取得最大值，最大值为 1 210. (3)由(2)知，当获得最大利润时，定价为 19 元/千克， 则每天的销售量为 y10×19300110(千克)， 保质期为 40 天， 总销售量为 40×1104 400. 又4 4004 800， 不能销售完这批蜜柚 9 9(2018·济宁)如图，已知抛物线 yax2bxc(a0)经过点 A(3，0)，B(1，0)，C(0，3) (1)求该抛物线的解析式； (2)若以点 A 为圆心的圆与直线 BC 相切于点 M，求切点 M 的坐标； (3)若点 Q 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)把 A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)代入抛物线解析式，得9a3bc0， abc0， c3，)14解得a1， b2， c3.)则该抛物线解析式为 yx22x3. (2)过点 A 作 AMBC 于点 M，过点 M 作 MHx 轴于点 H. BOCAMBAHM90°. 易证BOCBMAMHA.，.BC OCAB AMAM ABAH AMOB OCMH AHA(3，0)，B(1，0)，C(0，3)， BC，OC3，AB4，OA3.123210AM，AH，MN ，OH .6 5 1018 56 53 5M( ， )3 56 5(3)存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形 分三种情况考虑： 设 Q(x，0)，P(m，m22m3)， 当四边形 BCQP 为平行四边形时，由 B(1，0)，C(0，3)，根据平移规律，得 1x0m，003m22m3，解得 m1±，x2±.77当 m1时，m22m3822233，即 P(1，3)；7777当 m1时，m22m3822233，即 P(1，3)；7777当四边形 BCPQ 为平行四边形时，由 B(1，0)，C(0，3) 根据平移规律，得1m0x，0m22m330，解得 m0 或 2. 当 m0 时，P(0，3)(舍)；当 m2 时，P(2，3) 当四边形 BQCP 为平行四边形时，由 B(1，0)，C(0，3)，根据平移规律，得10xm，0(3) 0m22m3，解得 m0 或 2. 当 m0 时，P(0，3)(舍)；当 m2 时，P(2，3) 综上，存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形，P 的坐标为(1，3)或(1，3)或77(2，3)