多属性群决策分析13071.docx

n上一章所研研究的多多属性决决策问题题是由单单个决策策者从有有限个方方案中，选选择一个个决策者者认为满满意的方方案。其其决策行行为主要要表现在在单一效效用函数数或单一一优先关关系的构构造和分分析，这这一类决决策是所所谓的独独断型决决策。但但在现代代社会生生活中，实实际决策策的形成成往往不不是一个个人说了了算的。由由于各种种经济决决策问题题变得越越来越复复杂，在在许多情情况下都都有必要要集中一一群人的的智慧来来共同解解决决策策问题。即即使是人人们每天天碰到的的日常决决策，虽虽然本质质上不属属于群决决策的范范畴，但但也会征征求亲友友或同事事们的意意见，然然后才作作出决定定。因此此，根据据群体各各个成员员的意见见和偏好好来制订订统一的的决策是是人类决决策的普普遍形式式。现代群决策策(GDDM)理理论的研研究范畴畴已经从从早期的的社会选选举理论论发展到到近代的的多属性性群决策策理论，又又从多属属性群决决策理论论进一步步推广到到现代的的专家系系统理论论和对策策理论，并并与模糊糊集理论论结合在在一起，形形成了一一个十分分活跃而而广泛的的研究领领域。多属性决策策问题从从单个决决策者的的独断情情形转变变到多个个决策者者集议的的情形，给给决策分分析带来来许多复复杂的因因素，并并提出一一系列的的新问题题。由于于不同的的决策者者对同一一问题的的理解和和愿望彼彼此不同同，甚至至是相互互抵触和和矛盾的的，如何何根据每每个成员员的偏好好形成整整个群体体的偏好好，即从从单一优优先关系系或单一一效用函函数形成成群体优优先关系系或群体体效用函函数，进进而排列列方案的的优劣次次序，便便成为解解决多属属性群决决策问题题的关键键。12.1 选举函函数和福福利函数数12.1.1 社社会选举举理论选举是民主主社会中中表达民民众意愿愿的基本本形式，也也是最典典型的群群决策方方法之一一。当选选民在投投票的时时候，心心中对候候选人的的各方面面条件，如如资格、能能力、诚诚信度等等，都已已经作了了综合性性的衡量量与比较较，才形形成自己己的选择择意愿。所所以，选选举过程程实质上上是一个个多属性性的群决决策过程程，只是是这里的的决策属属性没有有以外在在的形式式表现出出来而已已。社会选举方方法的形形成和发发展可以以划分为为三个主主要的历历史时期期。第一一个历史史时期发发生在十十八世纪纪八十年年代的法法国，其其代表人人物为 Borrda和和Conndorrcett。第二二个历史史时期发发生在十十九世纪纪六十年年代和九九十年代代之间的的英国，其其代表人人物为DDodggsonn和Naansoon。第第三个历历史时期期发生在在二十世世纪五十十年代至至八十年年代的美美国，其其代表人人物为AArroow，GGibbbardd和 SSatttertthwaaitee。选举需要解解决的根根本问题题是如何何在充分分考虑个个人意愿愿的基础础上形成成合理的的全社会会的选举举结果。对对于只有有两个候候选人的的选举情情况，简简单多数数的选举举原则被被普遍认认为是公公正可行行的。但如果果有多名名候选人人存在时时，简单单多数的的选举原原则却有有可能导导致矛盾盾荒谬的的结果。譬譬如，设设有三个个选民甲甲、乙、丙丙和三个个候选人人，如果果甲认为为 优于于，又优于于；乙认认为优于于，又优于于；而丙丙认为优优于，又优于于。那么么两两比比较的结结果是：优于有两两票赞成成一票反反对，优优于也有有两票赞赞成一票票反对，但但是优于于只有一一票赞成成两票反反对。因因此，按按简单多多数原则则得到的的结果是是不传递递的，即即优于，优于，但但却不优优于。这这就是十十八世纪纪末由CConddorccet揭揭示的选选举问题题中的""多数悖悖论"，称称为Coondoorceet现象象，或CConddorccet效效应。为了克服CConddorccet 现象在在选举理理论上造造成的极极大困扰扰，许多多不同的的群决策策程序相相继提出出，形成成了社会会选举函函数和社社会福利利函数两两大类别别。前者者主要用用于政治治选举问问题，后后者主要要用于经经济决策策问题。当当方案集集为有限限集时，社社会选举举函数和和社会福福利函数数是完全全等价的的，只有有当方案案集为无无限集时时，社会会福利函函数才有有别于社社会选举举函数。社会选举函函数基于于Conndorrcett倡议的的简单多多数原理理，并由由Borrda (17784)，Coopellandd (119511)，NNansson (18883)，Doodgsson (18876)，Keemenny (19559)，CCookk和Seeifoord (19978)，Fiishbburnn (119777)，BBernnarddo (19881), Miilleer (19883)，SSheppslee和Weeinggastt (119844)，BBankks (19885)，MMckeelveey (19886)，FFeldd 及其其合作者者(19987)，Haartlley和和Killgouur (19887)，DDuttta (19888)，ZZaviist 和Tiidemman (19989) 等人人围绕着着Conndorrcett现象从从不同角角度对社社会选举举函数进进行了改改进和推推广。BBlacck (19558) 和 FFishhburrn (19777) 以及GGehrrleiin (19883) 对早期期的这些些方法进进行了总总结，并并从理论论上作了了详细的的比较性性研究。社会福利函函数的概概念由BBerggsonn (119388) 提提出，经经过Saamueelsoon (19447)，GGooddmann- MMarkkowiits (19952) 的改改进和发发展，并并由Arrroww (119633) 加加以创新新和推广广。此后后，Kiirkwwoodd (119722)，BBowmman-Collanttonii (119733)，GGibbbardd (119733)，BBlinn-Whhinsstonn (119744)，SSatttertthwaaitee (119755)，FFarrris-Sagge (19775)，PParkks (19776)，PPolllak (19979)，Dyyer-Sarrin (19979)，Maackaay (19880)，BBoweers (19981)，Grrethher-Ploott (19982)，Fiishbburnn (119833, 119877)，NNurmmi (19887)，MMerrrilll (119888)，EEnellow-Hinnichh (119899) 等等人在AArroow 的的不可能能性定理理的基础础上，提提出了各各种各样样的改进进方法。LLucee-Raaifffa (19557)，RRothhebeerg (19961)，Keellyy (119788) 和和Fisshbuurn (19973, 19984, 19990) 对各各种社会会福利函函数都有有过精辟辟的论述述。下面我们将将扼要介介绍社会会选举函函数和社社会福利利函数的的基本理理论和方方法。12.1.2 社社会选举举函数在社会选举举问题中中，候选选人集合合是一个个非空有有限集合合，记为为A。设有有n位选民民参加投投票，每每个人将将按照自自己的意意愿对候候选人进进行排队队。对于于任何两两个候选选人x, yA，采用用符号# (ii：x>iy)表示x优于y的票数数，则有有# (i：x>iy) + # (ii：y>ix) = n, xy。那么么简单多多数原则则可以被被定义为为：x > yy 当且仅仅当 # (ii：x>iy) >> # (i：y>ix)如果 # (i：x>iy) = # (i：y>ix)，则认认为x与y无差异异。Condoorceet认为为，在简简单多数数原则下下，如果果存在某某一个候候选人能能够击败败所有的的对手，则则该候选选人必然然是最能能代表大大多数选选民意愿愿的选举举结果。换换言之，CConddorccet原原则被定定义为：x = xx* 当且且仅当xxA, x > y, yAx但是，当选选举结果果出现循循环现象象时，不不存在以以简单多多数胜出出的候选选人。为为此，许许多学者者对上述述简单多多数原则则进行了了推广，并并由此产产生了多多种多样样的社会会选举函函数。现现选择其其中有代代表性的的几种社社会选举举函数分分别介绍绍如下。(1) CConddorccet函函数当简单多数数胜出的的候选人人不存在在时，CConddorccet提提议采用用下面的的方法。设设则候选人的的优先顺顺序将按按照函数数fC (x)的值来来排列。这这里，ffC (x)的值表表示x与其它它候选人人比较时时所处的的最不利利情形。因因此，ffC (x)是一个个极大极小型型的保守守函数。(2) BBordda函数数在包含m个个候选人人的选举举问题中中，Boordaa提议对对每一个个候选人人依据其其排序名名次分别别记分，称称为Boordaa分。记记分原则则是排在在第一位位得m1分，第第二位得得m2分，这这样依次次递减，直直到最后后一位得得0分。候候选人的的最终排排名取决决于Boordaa总分的的高低，其其数学表表示式为为(3) CCookkSeiiforrd函数数Cook和和Seiiforrd引进进了距离离函数dd以度量量排序的的不一致致性，并并将总距距离最小小的排序序方式定定义为一一致性排排序。设设rij表示示选民ii对候选选人j的排序序结果，令令rj*表示候候选人jj的一致致性排序序结果，那那么选民民i排序的的不一致致性可以以表示为为故排序的总总偏差为为因为rj*只能等等于序数数1, 2, , m中的某某一个，设设rj* = k，则可可定义从而假定每个候候选人都都有m个不同的的k值，则则一共要要计算mm×m个个距离系系数djk ,j, k = 1,2,m。显然，寻找找使总距距离最小小的一致致性排序序问题等等价于求求解一个个m×mm的分配配问题。限于本教材材的撰写写目的和和篇幅，其其它社会会选举函函数不再再一一列列举，有有兴趣的的读者可可参阅书书后所列列的参考考文献。例12.11 假设某某班级660位学学生拟从从3名任任课教师师中评选选1名优优秀教师师，投票票结果为为：23票：aa > b > c17票：bb > c > a 2票：bb > a > c10票：cc > a > b 8票：cc > b > a(1) CConddorccet函函数：两两两比较较结果为为# (i：a >ib) = 333，# (i：b>ia) = 277，# (i：a>ic) = 255，# (i：c >ia) = 355，# (i：b>ic) = 422，# (i：c>ib) = 188。显然，这里里不存在在能以简简单多数数胜出的的候选人人。采用用Conndorrcett函数的的计算结结果可表表示为如如下矩阵阵形式：abcfC a332525b274227c351818结论：b > a > c。(2) BBordda函数数：abcfB a332558b274269c351853结论：b > a > c。(3) CCookkSeiiforrd函数数：已知知i = 1,22,60，j = a, b, c，k = 1, 2, 3类似地，可可算出：以上距离系系数被总总结在下下面的矩矩阵表中中： kj123a624858b512969c674353这是一个使使总偏差差达到最最小的分分配问题题，其求求解过程程为：62485814010000512969220408030674353240101000结论：a > bb > c。12.1.3 社社会福利利函数福利经济学学是西方方的一种种经济学学派，主主要研究究社会资资源和商商品的分分配理论论与方法法，旨在在发现某某种合理理的社会会结构，以以使由资资源和商商品产生生的社会会福利达达到最大大。福利利经济学学家从社社会福利利的观点点去评价价各种可可能的社社会结构构，并用用一个反反映社会会状况的的实值函函数 福利函函数去度度量和判判断每种种社会结结构的优优劣。早期的社会会选举函函数和社社会福利利函数对对候选人人或事所所处状态态的描述述采用的的都是序序数型变变量，即即排序比比较方法法。针对对这种情情形，AArroow提出出了满足足一致性性要求的的两条公公理和五五项条件件，并在在此基础础上证明明了著名名的Arrroww不可能能性定理理，即在在一般情情形下不不可能找找到一种种程序或或方法将将所有社社会成员员的个人人偏好集集成为整整个社会会的群体体偏好而而不违背背一致性性原则。为为此，其其它学者者作出了了种种假假设，旨旨在将序序数型的的社会福福利函数数改写成成基数型型的效用用函数，从从而发展展为现代代的多属属性群决决策理论论与方法法。在介绍Arrroww的不可可能性定定理之前前，我们们先引进进二元关关系和社社会福利利函数的的定义与与性质：定义12. 1 集合A上的一一个二元元关系RR是域A×A上的一一个子集集，定义义为 AA上全部部有序对对(x, y)的集合合，记作作xRy，并用用符号, 和分别表表示x, y之间的的强序关关系，弱弱序关系系和无差差异关系系，记作作xy，xy和xy。定义12. 2 设R是集合合A上的一一个二元元函数。则则：(1) RR是自反反的当且且仅当：xRx, xA。(2) RR是连通通的当且且仅当：。式中中是逻辑辑"或""的符号号，即对对于集合合A中的任任何x, y不是xRy，就是是yRx。(3) RR是不循循环的当当且仅当当：不存存在 ，使使得式中是逻逻辑"与与"的符符号。(4) RR是可传递递的当且且仅当：，即如如果，而而且yRz，则xRz。(5) RR是一个个弱序关关系当且且仅当：R是连通通的和可可传递的的。定义12. 3 设有有一组方方案和决决策群体体D = (D1, D2, , DDm)。社会会福利函函数f是将决决策者个个人在方方案集AA上的独独立序关关系合成成为决策策群体DD在A上的总总序关系系R的法则则，亦即即f是从积积空间RR m到空间间R的一个个映射，记记为, 或 定义12. 4 对于A中的任任意方案案x, y，当决决策者DDi认为xiy, xi y和xi y时，分分别记 R ii = 1, 0 和和1。则由由社会福福利函数数f确定的的群决策策法则具具有以下下性质：(1) 可可决策性性：；(2) 公公正性：；(3) 平平等性：如果是11,m上的的任一排排列，则则 (4) 正正相关性性：；(5) 均均分性：对于任任意正整整数 mm，；(6) 弱弱Parretoo最优性性：；(7) 强强Pareeto最最优性：如果中中的某些些值等于于1，而而其它值值等于00，则 如果中的的全部值值等于00，则。对定义100.4中中的有关关性质可可作如下下解释，(1) 可决策策性：指指由社会会福利函函数产生生的群决决策法则则对于选选民的每每一种选选择意向向都应该该能得到到一个有有意义的的、唯一一的决策策结果。(2) 公正性性：如果果所有的的人都改改变原来来的选择择意向，则则原决策策的结果果将会被被推翻，其其作用是是防止任任何候选选人或候候选方案案被外部部势力内内定为决决策的必必然结果果。(33)平等等性：避避免某一一个决策策成员享享有高于于其它决决策成员员的权力力，体现现了一人人一票的的选举原原则。(4) 正相关关性：如如果一个个或几个个决策成成员的选选择意向向朝着对对方案xx有利的的方面转转化，而而对其它它方案的的选择意意向保持持不变，则则方案xx所处的的选举地地位只会会变好，不不会变差差。(55) 均均分性：当某一一个决策策者认为为方案xx和方案案y无差异异时，可可设想该该决策者者被一分分为二，其其中的半半个人投投票赞成成x，另外外半个人人投票赞赞成y。如果果有多个个方案被被认为无无差异时时，也可可用类似似的方式式进行处处理。(6) Parretoo最优性性(也称称为全体体一致性性)：当当所有的的人都选选择x时，则则x胜，当当所有的的人都选选择y时，则则y胜。容易想见，满满足上述述定义的的社会福福利函数数很多，有有些是可可以接受受的，有有些是不不能接受受的。AArroow 在在群决策策理论上上的重大大贡献之之一是为为社会福福利函数数规定了了一组看看起来非非常可信信的公理理和条件件，从而而导出了了群决策策理论上上著名的的"不可可能性定定理"。它它们是：公理1 连通性性：设有有方案集集和决策策群，决决策者对对于A中任意意方案的的偏好，不不是，就就是，或者者。公理2 传递性性：对于于方案集集中的任任意方案案，如果果决策者者认为，则必必有。条件1 (完备性性) 方案案集A中至少少有三个个方案，决决策群DD中至少少有二个个决策人人，由社社会福利利函数产产生的群群决策法法则必须须考虑每每一个决决策者的的选择意意愿。条件2 (正相关关性) 如如果社会会福利函函数f给出x优于y的结果果，则当当决策者者对x以外的的方案进进行两两两比较的的结果不不变，且且对x与其它它方案之之间的比比较结果果对x而言没没有任何何不利时时，社会会福利函函数的结结果将维维持不变变。条件3 (无关方方案独立立性) 设设A为方方案集AA中的一一个子集集，如果果每一个个决策者者都保持持对A中方案案两两比比较的结结果不变变，而只只改变AA以外外方案的的比较结结果，则则对A中的方方案来说说，两种种情况下下的决策策次序是是一样的的。条件4 (Parretoo 最优性性) 对对于A中的任任意方案案，必须须有某些些决策者者认为优优于时，才才有可能能导致群群体的选选择结果果是优于于。条件5 (非独裁裁性) 对对于A中的任任意方案案，没有有任何一一个决策策者可以以为群体体指定一一个优劣劣次序，或或者，而而不管其其它决策策者的意意见如何何。定理12. 1 没有有任何一一个社会会福利函函数能同同时满足足上面的的两条公公理和五五个条件件。在Arroow之后后，许多多其它形形式的不不可能性性定理相相继提出出。其中中最有代代表性的的几种形形式是：Masss-CColeell和和Sonnnennschheinn (119722), Gibbbarrd (19773)和和Sattterrthwwaitte (19775), Paarkss (119766) 和和Polllakk (119799) 以以及Grrethher和和Ploott (19982)。每一一条不可可能性定定理的后后面都伴伴随着相相应的可可能性定定理和一一系列相相互可比比的条件件，这些些条件都都是通过过松弛或或弱化AArroow 定定理中的的一个或或多个条条件以达达成一致致而得到到的。感感兴趣的的读者可可以查阅阅后面的的参考文文献或KKellly(119788) 和和Fisshbuurn (19987) 对此此所作的的精辟论论述。社会福利函函数之所所以不能能同时满满足Arrroww定义的的两条公公理和五五个条件件，有原原理和方方法两方方面的原原因。从条件本身身来说，GGooddmann和Maarkoowittz(119522) 曾曾用下面面的例子子说明了了Arrrow条条件的局局限性。设设主人拟拟用茶或或咖啡中中的一种种同时招招待两位位客人，如果主人只知道客人甲对咖啡的喜好胜于茶，而客人乙对茶的喜好胜于咖啡，则主人会认为以茶或咖啡待客是没有区别的。但如果主人还进一步知道甲的喜好是咖啡胜于茶，茶胜于可可，可可胜于牛奶；但乙的喜好是不仅茶胜于咖啡，而且可可、牛奶甚至白水都胜于咖啡。在这种情况下，主人要招待这两位客人显然是以茶为好。这说明表面上看起来似乎无关的方案(在此为可可、牛奶和白水)对于群决策的集成法则并不是完全无关的，因而Arrow 定义的条件3 对社会福利函数而言并非绝对适当。同时，Fishburn (1970) 已经证明，当问题的决策集是无限集合时，Arrow 定义的五个条件将可以被满足。这里，决策集有限和无限的差别在于，原不可能性定理中独裁者的角色可以从幕前转到幕后。从方法上来来看，序序数型的的社会福福利函数数仅仅给给出了个个人和群群体对不不同方案案的偏好好顺序，但但忽略了了他们对对不同方方案的偏偏爱程度度，因而而缺乏对对事物的的分辨力力。以GGooddmann和Maarkoowittz的例例子来说说，如果果客人甲甲和乙各各自对咖咖啡和茶茶的喜爱爱程度可可以被量量化，即即用某种种统一的的尺度去去衡量的的话，譬譬如甲对对咖啡的的喜爱是是8个单单位，对对茶的喜喜爱是66个单位位，而乙乙对茶的的喜爱是是10个个单位，对对咖啡的的喜爱是是2个单单位，则则主人不不难决定定待客的的饮料以以茶为宜宜。这样样得到的的社会福福利函数数被称为为基数型型的社会会福利函函数。只只要经过过简单的的变换，基基数型的的社会福福利函数数很容易易转化成成所谓的的的效用用函数。容容易证明明，在个个人效用用函数基基础上建建立的群群效用函函数可以以满足AArroow 提提出的全全部条件件和公理理。12. 22 群效效用函数数基于群效用用函数作作出的决决策并不不是一种种简单的的多数规规则，它它包含了了更多个个人效用用的信息息和人与与人之间间的效用用的比较较。群效效用函数数的一般般形式为为：式中代表第第i个决策策者对方方案x的个人人效用函函数值。如如果群效效用函数数为已知知，则群群决策问问题就可可以写成成下面的的数学规规划问题题：为了便于构构造群效效用函数数，Keeeneey和RRaifffa(19776)为为群效用用函数的的存在提提出了某某些必要要的条件件，并在在此基础础上定义义了群效效用函数数的加法法模型和和乘法模模型。现现将这两两种模型型分别介介绍如下下：(1) 加加法模型型条件1 个人效效用函数数和群效效用函数数均应满满足关于于效用的的Neuumannn-MMorggenssterrn 公公理系统统，即方方案集AA上的二二元关系系是完备备的、传传递的、独独立的、和和连续的的。条件2 如果群群中每个个决策成成员都认认为某两两个方案案是无差差异的，则则决策群群也认为为这两个个方案是是无差异异的。条件3 个人效效用函数数的效用用值是独独立可加加的。定理12. 2 满足足上述条条件的群群效用函函数可以以表示为为：式中是群中中第i个成员员的个人人效用函函数，而而是的权值值。(2) 乘乘法模型型条件1 个人效效用函数数和群效效用函数数均应满满足关于于效用的的Neuumannn-MMorggenssterrn 公公理系统统，即方方案集AA上的二二元关系系是完备备的、传传递的、独独立的、和和连续的的。条件2 如果群群中所有有的决策策成员除除第i个成员员外都认认为所有有方案无无差异，则则群效用用函数是是第i个个人人效用函函数的正正线性变变换。换换言之，此此时的群群偏好等等价于第第i个成员员的偏好好。条件3 如果群群中所有有的决策策成员除除第i个和第第j个成员员外都认认为所有有方案无无差异，则则决策群群体对这这些方案案的偏好好仅取决决于第ii和第j个成员的的偏好。定理12. 3 满足足上述条条件的群群效用函函数可以以表示为为：式中为标度度常数，, i = 1,2,m。Keeneey(119744)已经经证明：当时，群群效用函函数应采采用加法法模型；当时，群群效用函函数应采采用乘法法模型。群效用函数数的存在在性表明明，可以以由群中中每个成成员的偏偏好形成成整个群群体的偏偏好，并并根据群群体的偏偏好排列列方案的的顺序。这这为解决决群决策策问题提提供了重重要的理理论基础础。但在在实际决决策中，直直接构造造群效用用函数有有诸多不不便，故故很少应应用。我我们在下下一节将将介绍如如何将已已经学习习过的多多属性决决策方法法移植过过来，用用以解决决群决策策问题。12.3 多属性性群决策策方法在前面讨论论的群决决策模式式中，事事物的属属性并没没有以外外在的形形式表现现出来。群群效用函函数的集集成对象象是所有有个人效效用函数数的效用用值，但但个人效效用的获获取过程程并没有有涉及。这这里，我我们将在在本书第第九章的的基础上上，介绍绍有多个个决策者者存在时时多属性性决策问问题的解解决方法法。设有方案集集A = A1, A2, Am和决策策群体DD = D1, D2, ., Dn。每每一位决决策者将将依据自自己选定定的一组组属性CC = C1, C2,Cl对每一一个方案案独立地地进行评评价，并并用权向向量w = w1, w2, wl表示各各属性的的重要程程度，符符合归一一化条件件w1 +w2 +wn = 1。不不同决策策者考察察的属性性及采用用的权值值可以相相同，也也可以不不同。其其决策模模式写为为： C1 C2 - Cl 与多属性决决策一样样，决策策者采用用的评价价方式有有序数型型和基数数型两种种：前者者只给出出每一属属性上各各方案的的排列顺顺序；后后者则度度量各方方案每一一属上的的实际水水平，并并以数值值形式表表明其结结果。不不同之处处在于多多属性决决策的决决策矩阵阵是唯一一的，它它反映了了决策者者对多个个属性的的偏好结结构；而而群决策策的决策策矩阵有有许多个个，分别别代表了了不同决决策者的的决策意意愿，其其偏好结结构互不不相同，但但都应受受到尊重重，不能能厚此薄薄彼，或或有所偏偏废。为了使问题题简化，假假定个人人效用函函数的效效用值是是独立可可加的。那那么，求求解群决决策问题题的关键键在于：(1) 如何何表示每每一位决决策者的的个人优优先关系系；(22) 如如何将个个人优先先关系合合成为群群优先关关系；(3) 是先合合成、后后评价，还还是先评评价、后后合成？这里，前前者是先先将不同同决策者者就方案案属性作作出的评评价综合合到一起起，然后后选用已已知的多多属性决决策方法法统一求求解，其其实质是是将一个个群决策策问题整整体转化化为一个个独裁决决策问题题，它要要求所有有的决策策者采用用相同的的属性和和属性权权值以方方便合成成；后者者是由每每一位决决策者先先按照自自己的意意愿分别别对相应应的多属属性决策策问题进进行求解解，其结结果归结结为社会会选举问问题，然然后采用用本章讨讨论的社社会选举举函数作作出最终终的选择择，其实实质是将将一个群群决策问问题分解解成若干干个独裁裁决策问问题，该该方法对对不同决决策者考考察的属属性和采采用的属属性权值值不强求求一致。综上所述，求求解一个个效用值值独立可可加的群群决策问问题，关关键在于于怎样合合成和什什么时候候合成。因因为涉及及两种数数据结构构(序数型型和基数数型)和两种种合成顺顺序(先合成成和后合合成)，两两两组合共共有四种种不同的的决策程程序，现现通过实实例分别别介绍如如下。例12. 2 NASSA为宇宇宙飞船船的科学学实验拟拟定了六六个可能能的实验验方案，它它们分别别是：通通讯与航航行实验验(A1)，地地面观测测实验(A2)，物物理化学学实验(A3)，微微生物实实验(AA4)，系系统检测测实验(A5)和环境境效应实实验(AA6)。对对每一实实验都要要从需要要性(CC1)、研研究性(C2)和发发展性(C3)三个个方面进进行评价价。NAASA组组织了六六位专家家(D1, D2, D3, D4, D5, D6)对方案案实施考考察，后后因实验验时间和和条件的的限制，通通讯航行行实验的的方案被被先行淘淘汰而退退出了选选择程序序。其评评定结果果为：D1C1C2C3D2C1C2C3D3C1C2C3A2533A2344A2344A3212A3221A3112A4344A4535A4535A5455A5452A5451A6121A6113A6223D4C1C2C3D5C1C2C3D6C1C2C3A2413A2444A2155A3231A3122A3312A4545A4555A4544A5324A5332A5433A6152A6213A6221显然，这是是一个序序数型的的多属性性群决策策问题，下下面是两两种不同同的决策策程序。(1) 先先综合意意见，后后统一求求解对于被考察察的每一一种属性性Cj，j = 1,2,l，我们们有以下下序列矩矩阵其中矩阵元元素1,22,n表示示决策者者k对方案案Ai在属性性j上所排排的名次次。采用用任何一一种社会会选举方方法，如如Borrda方方法，可可确定各各方案关关于属性性j 的优劣劣次序。本例中，属属性C1的序列列矩阵为为：C1D1D2D3D4D5D6A2533441A3221213A4355555A5444334A6112122现采用Boordaa记分法法求解，令令排名第第一至第第五位的的分值分分别为44, 33, 22, 11, 00，可得得分值矩矩阵C1D1D2D3D4D5D6C1DA2022114A210A3334342A319A4200000A42A5111221A58A6443433A621故各方案关关于属性性C1的优劣劣次序为为：。类似地，可可求得各各方案关关于属性性C2和C3的优劣劣次序分分别为：，。故各方案的的综合序序列矩阵阵为：C1C2C3A2334A3211A454.55A544.53A6122矩阵中的分分值4.5表示示方案44和方案案5在属属性C2上并列列第四和和第五的的位置。然然后计算算加权的的一致性性矩阵，式式中当方方案排在在第j位时，；否则。从从而有： ji第一位第二位第三位第四位第五位G =A200w1+w22w30A3w2+w33w1000A40000.5w22w1+0.5w2+w3A500w3w1+0.5w20.5w22A6w1w1+w22000设w = (0.2, 0.33, 00.5)，则 ji第一位第二位第三位第四位第五位G =A2000.50.50A30.80.2000A40000.150.85A5000.50.350.15A60.20.8000采用匈牙利利方法可可解得其其最大分分配为： ji第一位第二位第三位第四位第五位A2000.50.50A30.80.2000A40000.150.85A5000.50.350.15A60.20.8000结论：A33 > A6 > AA5 > A2 > AA4。(2) 先先个别求求解，后后综合决决策每一位决策策者Dk 将采采用自己己选定的的考察属属性(C1,C2,Clk )和属性性权值(w1,w2,wlk )对方案案进行独独立评价价。本例例中考察察属性已已被确定定为(C1,C2,C3)，但权权向量可可以自由由设计。设设决策者者D1选用的的权向量量为w1 = (0.2, 0.33, 00.5)，则其其个人的的序列矩矩阵、加加权一致致性矩阵阵和排序序结果分分别为：D1C1C2C3A2533A3212A4344A5455A6121 jji第一位第二位第三位第四位第五位G =A200w2+w330w1A3w2w1+w33000A400w1w2+w330A5000w1w2+w33A6w1+w33w2000 ji第一位第二位第三位第四位第五位A2000.800.2A30.30.7000A4000.20.80A50000.20.8A60.70.3000故决策者DD1的排序序结果为为：A6 > A3 > AA2 > AA4 > AA5。类似地，我我们有D2：w22 = (0.3, 0.33, 00.4) A6 > A3 > A2 > AA5 > AA4 或 A6 > A3 > AA4 > AA2 > AA5。D3：ww3 = (00.2, 0.4, 0.44) A3 > A6 > AA4 > AA2 > AA5D4：ww4 = (00.3, 0.4, 0.33)