2019版高中数学 第一章变化率与导数 1.1.3 导数的几何意义学案 新人教A版选修2-2.doc

11 11.31.3 导数的几何意义导数的几何意义学习目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程知识点一 导数的几何意义如图，Pn的坐标为(xn，f(xn)(n1,2,3,4)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线思考 1 割线PPn的斜率kn是多少？答案 割线PPn的斜率kn.fxnfx0xnx0思考 2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？答案 kn无限趋近于切线PT的斜率k.梳理 (1)切线的定义：设PPn是曲线yf(x)的割线，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线yf(x)在点P处的切线(2)导数f(x0)的几何意义：导数f(x0)表示曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0) .limx0fx0xfx0x(3)切线方程：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)知识点二 导函数思考 已知函数f(x)x2，分别计算f(1)与f(x)，它们有什么不同答案 f(1) 2.limx0f1xf1x2f(x) 2x，f(1)是一个值，而f(x)是一个函数limx0fxxfxx梳理 对于函数yf(x)，当xx0时，f(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数yf(x)的导函数(简称导数), 即f(x)y.limx0fxxfxx特别提醒：区别联系f(x0)f(x0)是具体的值，是数值f(x)f(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数在xx0处的导数f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值1函数在一点处的导数f(x0)是一个常数( )2函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值( )3直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点( × )类型一 求切线方程命题角度1 曲线在某点处的切线方程例 1 已知曲线C：yx3 .求曲线C在横坐标为 2 的点处的切线方程1 34 3考点 求函数在某点处的切线方程题点 曲线的切线方程解 将x2 代入曲线C的方程得y4，切点P(2,4)=2|xy' limx0y x limx01 32x34 31 3× 2343 x42x (x)24，limx01 33k=2|xy'4.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即 4xy40.4反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练 1 曲线yx21 在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是_考点 求函数在某点处的切线方程题点 求曲线的切线方程答案 3解析 =2|xy' limx0y x limx02x21221x (4x)4，limx0k=2|xy'4.曲线yx21 在点(2,5)处的切线方程为y54(x2)，即y4x3.切线与y轴交点的纵坐标是3.命题角度2 曲线过某点的切线方程例 2 求过点(1,0)与曲线yx2x1 相切的直线方程考点 求曲线在某点处的切线方程题点 曲线的切线方程解 设切点为(x0，xx01)，2 0则切线的斜率为k limx0x0x2x0x1x2 0x01x2x01.又k，x2 0x010x01x2 0x01 x012x01.x2 0x01 x01解得x00 或x02.当x00 时，切线斜率k1，过(1,0)的切线方程为y0x1，即xy10.当x02 时，切线斜率k3，过(1,0)的切线方程为y03(x1)，即53xy30.故所求切线方程为xy10 或 3xy30.反思与感悟 过点(x1，y1)的曲线yf(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(x0，f(x0)(2)建立方程f(x0).y1fx0x1x0(3)解方程得kf(x0)，x0，y0，从而写出切线方程跟踪训练 2 求函数yf(x)x33x2x的图象上过原点的切线方程考点 求函数在某点处的切线方程题点 求曲线的切线方程解 设切点坐标为(x0，y0)，则y0x3xx0，3 02 0yf(x0x)f(x0)(x0x)33(x0x)2(x0x)(x3xx0)3 02 03xx3x0(x)26x0x(x)33(x)2x，2 03x3x0x6x01(x)23x，y x2 0f(x0) 3x6x01.limx0y x2 0切线方程为y(x3xx0)(3x6x01)·(xx0)3 02 02 0切线过原点，x3xx03x6xx0，3 02 03 02 0即 2x3x0，x00 或x0 ，3 02 03 2故所求切线方程为xy0 或 5x4y0.类型二 利用图象理解导数的几何意义例 3 已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )A00 Bf(x0)f(xB)Bf(xA)0)，g(x)x3bx，若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处有公切线，求a，b的值考点 求函数在某点处的切线方程题点 曲线的切线方程的应用解 f(x) 2ax，limx0axx21ax21xf(1)2a，即切线斜率k12a.g(x) limx0xx3bxxx3bxx3x2b，17g(1)3b，即切线斜率k23b.两曲线在交点(1，c)处有公切线，2a3b.又a11b，即 ab，故可得Error!