2019学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 导数在实际生活中的应用学案 苏教版选修1-1.doc

13.43.4 导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用学习目标：1.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法(重点) 2.通过对实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高(难点)自 主 预 习·探 新 知1导数的实际应用导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决2用导数解决实际生活问题的基本思路基础自测1判断正误：(1)应用导数可以解决所有实际问题中的最值问题( )(2)应用导数解决实际应用问题，首先应建立函数模型，写出函数关系式( )(3)应用导数解决实际问题需明确实际背景( )【解析】 (1)×.如果实际问题中所涉及的函数不可导、就不能应用导数求解(2).求解实际问题一般要建立函数模型，然后利用函数的性质解决实际问题(3).要根据实际问题的意义确定自变量的取值【答案】 (1)× (2) (3)2生产某种商品x单位的利润L(x)500x0.001x2，生产_单位这种商品时利润最大，最大利润是_【解析】 L(x)10.002x，令L(x)0，得x500，当x500 时，最大利润为 750.【答案】 500 750合 作 探 究·攻 重 难面积容积的最值问题有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上设CD2x，梯形的面积为S.(1)求面积S关于x的函数，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值. 2【导学号：95902246】思路探究 (1)建立适当的坐标系，按照椭圆方程和对称性求面积S关于x的函数式；(2)根据S的函数的等价函数求最大值【自主解答】 (1)依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系如图所示，则点C的坐标为(x，y)点C在椭圆上，点C满足方程1(y0)，x2 r2y2 4r2则y2(0< x <r)，S (2x2r)·22(xr)(0< x r2x21 2r2x2r2x2<r)(2)记S4(xr)2(r2x2)(0xr)则S8(xr)2(r2x)令S0，解得xr或xr(舍去)1 2当x变化时， S，S的变化情况如下表：x(0，r 2)r 2(r 2，r)S0S3 3r22xr时，S取得最大值，即梯形面积S的最大值为.1 23 3r223 3r22规律方法 1求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，利用导数的方法来求解2选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，以利于解决问题跟踪训练1.在一个半径为 1 的半球材料中截取两个高度均为h的圆柱，其轴截面如图 3­4­1 所示设两个圆柱体积之和为Vf(h)3图 3­4­1(1)求f(h)的表达式，并写出h的取值范围(2)求两个圆柱体积之和V的最大值【解】 (1)自下而上两个圆柱的底面半径分别为：r1，1h2r2.12h2它们的高均为h，所以体积之和Vf(h)r hr hh.2 12 2(1h2)(14h2)(2h5h3)因为 02h1，所以h的取值范围是.(0，1 2)(2)由f(h)(2h5h3)，得f(h)(215h2)，令f(h)0，因为h，得h.(0，1 2)3015所以当h时，f(h)0；当h时，f(h)0.(0，3015)(3015，12)所以f(h)在上为增函数，在上为减函数，(0，3015)(3015，12)所以当h时，f(h)取得极大值也是最大值，3015f(h)的最大值为f.(3015)4 3045答：两个圆柱体积之和V的最大值为.4 3045用料最省、节能减耗问题如图 3­4­2 所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海岸的同侧，乙厂位于离海岸 40 km 的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距 50 4km.两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米 3a元和 5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？ 【导学号：95902247】 图 3­4­2思路探究 先列出自变量，通过三角知识列出水管费用的函数，然后求导，根据单调性求出最小值【自主解答】 设C点距D点x km，则BD40 km，AC(50x)km，BC(km)又设总的水管费用为y元，依题意， BD2CD2402x2得y3a(50x) 5a(0x50)，则y3a，令y0，x24025axx2402解得x30.当x0,30)时，y0，当x(30,50时，y0, 当x30 时函数取得最小值，此时AC50x20(km)，即供水站建在A，D之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省规律方法 1像本例节能减耗问题，背景新颖，信息较多，应准确把握信息，正确理清关系，才能恰当建立函数模型2实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f(x)0 求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)后，函数满足左减右增，此时惟一的极小值就是所求函数的最小值跟踪训练2某工厂需要建一个面积为 512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长为_，宽为_【解析】 如图所示，设场地一边长为x m，则另一边长为 m，512 x因此新墙总长度L2x(x0)，L2.令L20，得x16 或512 x512 x2512 x2x16.x0，x16.L在(0，)上只有一个极值点，它必是最小值点5x16，32.故当堆料场的宽为 16 m，长为 32 m 时，可使砌墙所用的材料最512 x省【答案】 16 m 32 m利润最大问题探究问题1在有关利润最大问题中，经常涉及“成本、单价、销售量”等词语，你能解释它们的含义吗？【提示】 成本是指企业进行生产经营所耗费的货币计量，一般包括固定成本(如建设厂房、购买机器等一次性投入)和可变成本(如生产过程中购买原料、燃料和工人工资等费用)，单价是指单位商品的价格，销售量是指所销售商品的数量2什么是销售额(销售收入)？什么是利润？【提示】 销售额单价×销售量，利润销售额成本3根据我们以前所掌握的解决实际应用问题的思路，你认为解决利润最大问题的基本思路是什么？【提示】 在解决利润最大问题时，其基本思路如图所示某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：w4，且投入的肥料费用不超过 5 百元此外，还需3 x1要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元已知这种水蜜桃的市场售价为 16 元/千克(即 16 百元/百千克)，且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)(1)求利润函数L(x)的函数关系式，并写出定义域；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？思路探究 (1)利润收入总成本其中，收入产量×售价，总成本肥料费用其他成本；(2)利用求导、列表、定最值【自主解答】 (1)当肥料费用为x百元时，收入为 16百元，总成本为(43 x1)(x2x)百元6所以L(x)16(x2x)643x(百元)，其中x0,5(43 x1)48 x1(2)L(x)3，x0,548 x12令L(x)0，得x3.列表如下：x0(0,3)3(3,5)5L(x)0L(x)极大值由上表可知，L(x)maxL(3)43.答：当投入的肥料费用为 300 元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是 4 300元规律方法 解决最优化问题的一般步骤：1根据各个量之间的关系列出数学模型；2对函数求导，并求出导函数的零点，确定函数极值；3比较区间端点处函数值和极值之间的大小，得到最优解.跟踪训练3某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为 20 元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数，且 2t5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25x40)，根据市场调查，日销售量q与 ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为 30 元时，日销售量为100 公斤(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；(2)若t5，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的每日利润最大？并求最大值. 【导学号：95902248】【解】 (1)设日销量q，则100，k100e30，k exk e30日销量q，100e30 exy(25x40)100e30x20t ex(2)当t5 时，y，100e30x25 exy.100e3026x ex由y0，得 25x26，由y0，得 26x40，7y在25,26)上单调递增，在(26,40上单调递减，当x26 时，ymax100e4.故当每公斤蘑菇的出厂价为 26 元时，该工厂的每日利润最大，最大值为 100e4元构建·体系当 堂 达 标·固 双 基1一个圆锥形漏斗的母线长为 20，高为h，则体积V的表达式为_【解析】 设圆锥的高为h，则圆锥的底面半径为r，则V (400h2)400h21 3h.【答案】 (400h2)h1 32某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y117x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产_千台. 【导学号：95902249】【解析】 构造利润函数yy1y218x22x3(x0)，y36x6x2，由y0 是x6(x0 舍去)，x6 是函数y在(0，)上唯一的极大值点，也是最大值点即生产 6 千台时，利润最大【答案】 63某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)x2(0x60)，则当箱子的容(60x 2)积最大时，箱子底面边长为_【解析】 V(x)2x·x2·x260xx(x40)(60x 2)(1 2)3 23 2令V(x)0，得x40 或x0(舍)不难确定x40 时，V(x)有最大值即当底面边长为 40 时，箱子容积最大【答案】 404做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积是 27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_【解析】 设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则VR2L27，L.27 R28要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，S表R22RLR22·， 27 RS表2R.令S0，解得R3.54 R2R(0,3)时，S表单调递减，R(3，)时，S表单调递增，当R3 时，S表最小【答案】 35某厂生产某种产品x件的总成本c(x)1200x3(万元)，已知产品单价的平方2 75与产品件数x成反比，生产 100 件这样的产品单价为 50 万元，则产量定为多少件时，总利润最大？并求出最大总利润【解】 由题意，可设p2 ，其中k为比例系数因为当x100 时，p50，所以k xk250 000，所以p2，p，x0.设总利润为y万元，250 000 x500x则y·x1200x3500x31 200.500x2 75x2 75求导数得，yx2.令y0 得x25.故当x25 时，y0；当x25 时，250x2 25y0.因此当x25 时，函数y取得极大值，也是最大值，即最大利润为万元2 650 3【答案】 25