2019学年高中数学 第三章导数的概念 3.1.2 瞬时变化率—导数学案 苏教版选修1-1.doc

13.1.23.1.2 瞬时变化率瞬时变化率导数导数学习目标：1.理解导数的概念和定义及导数的几何意义(重点) 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)(难点)自 主 预 习·探 新 知1曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线2瞬时速度运动物体的位移S(t)对于时间t的导数，即v(t)S(t)3瞬时加速度运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，即a(t)v(t)4导数设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，当 x无限趋近于 0 时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点xx0处可导，并称y xfx0xfx0 x常数A为函数f(x)在点xx0处的导数，记作f(x0)5导函数若函数yf(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f(x)6函数yf(x)在点xx0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率基础自测1判断正误：(1)函数yf(x)在xx0处的导数值与 x值的正、负无关( )(2)在导数的定义中，x，y都不可能为零( )(3)在导数的定义中，0.( )y x【解析】 (1).x是自变量的增量，可正可负，函数f(x)在xx0处的导数与它的正负无关(2)×.y可以为 0，如常数函数(3)×.也可能是负数或 0.y x【答案】 (1) (2)× (3)×2函数f(x)x2在点(1,1)处切线的斜率是_2【解析】 k2x，当 x0 时，k2，故所求的切线的斜率1x21 x是 2.【答案】 23一辆汽车运动的速度为v(t)t22，则汽车在t3 秒时加速度为_【解析】 6t，av t3t2292 t当 t0 时， 6，故汽车的加速度为 6.a【答案】 6合 作 探 究·攻 重 难求瞬时速度与瞬时加速度(1)一辆汽车按规律s2t23 做直线运动，求这辆车在t2 时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m)(2)设一辆汽车在公路上做加速直线运动，其在t s 时的速度为v(t)t21，求汽车在t1 s 时的加速度. 【导学号：95902184】思路探究 (1)设时间变化量t求位移增量s求平均速度st令t0.结论(2)设时间变化量t求速度增量v求平均加速度vt令t0结论【自主解答】 (1)设这辆车在t2 附近的时间变化量为 t，则位移的增量 s2(2t)23(2×223)8t2(t)2，82t，s t当 t0 时，8，所以这辆车在t2 时的瞬时速度为 8 m/s.s t(2)设这辆车在t1 附近的时间变化量为 t，则速度的增量 v(1t)21(121)(t)22t，t2，当v tt0 时，2，v t所以汽车在t1 s 时的加速度为 2.规律方法 (1)求瞬时速度的步骤：求位移增量sS(t0t)S(t0)；3求平均速率；vs t求瞬时速度：当t趋近于 0 时，趋近于v.s t(2)求瞬时加速度的步骤：求平均加速度；v t令 t0，求瞬时加速度.跟踪训练1若一物体的运动方程为S7t28，则其在t_时的瞬时速度为 1.【解析】 因为7t14t0，s t7t0t287t2 08 t所以当t0 时，趋近于 14t0，即 14t01，t0.s t1 14【答案】 1 14求函数在某一点处的导数求函数yx 在x1 处的导数. 1 x【导学号：95902185】思路探究 方法一：先求 y，再求出，令 x0，可求f(1)，先求出f(x)，y x再求出f(x)在x1 处的值方法二：先求出，当 x无限趋于 0 时，即可求出f(x)在x1 处的值y x【自主解答】 方法一：y(1x)x11 1x(11 1)1 1x，当 x0 时，0，f(1)x1x11 1xx2 1xy xx 1xy x0.方法二：y xfxxfx xxx1 xx(x1 x) x1，1 xxx4当 x无限趋于 0 时，1无限趋近于 1，1 xxx1 x2即f(x)1，故f(1)0.1 x2函数yx 在x1 处的导数为 10.1 x1 12规律方法 由导数的定义知，求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的改变量 yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；y xf(x0x)f(x0) x(3)求当 x0 时，的值，即f(x0).y x跟踪训练2根据导数的定义求下列函数的导数：(1)求yx2在x1 处的导数；(2)求yx2 5 在点P处的导数1 x(2，19 2)【解】 (1)y(1x)2122x(x)2，2x，y x2xx2 x当 x无限趋近于 0 时，2x无限趋近于 2，所以f(1)2.y x(2)y(2x)254x(x)2，1 2x(221 25)x 22x4x，y x1 42x当 x0 时，4 ，故f(2).y x1 415 415 4导数的几何意义及应用探究问题1平均变化率的几何意义是什么？fx0xfx0 x【提示】 平均变化率的几何意义是过点P(x0，f(x0)和fx0xfx0 xQ(x0x，f(x0x)割线的斜率2在探究 1 中，若让 x0，割线PQ是如何变化的？【提示】 当点Q沿着曲线无限接近点P，即 x0 时，割线PQ有一个极限位置5PT，我们把直线PT称为曲线在点P处的切线3根据探究 2 的答案，导数的几何意义是什么？【提示】 函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线斜率kf (x0)4我们在初中学过圆的切线，圆是一种特殊曲线，圆的切线与圆只有一个公共点，其他曲线和它的切线也只有一个公共点吗？【提示】 曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个求双曲线y 过点的切线方程. 1 x(2，1 2)【导学号：95902186】思路探究 由导数的几何意义先求出斜率，再求方程. 【自主解答】 ，y xf2xf2 x1 2x1 2 x1 22x当 x0 时， ，即kf(2) .y x1 41 4所以由直线方程的点斜式知切线方程为：y (x2)，即yx1.1 21 41 4规律方法 1求曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程即点P的坐标既适合曲线方程，又适合切线方程，若点P处的切线斜率为f(x0)，则点P处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；如果曲线yf(x)在点P处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可由切线定义确定切线方程为xx0.2若切点未知，此时需设出切点坐标，再根据导数的定义列关于切点横坐标的方程，最后求出切点坐标或切线的方程，这种情况下求出的切线方程往往不止一条跟踪训练3已知直线y3xa和曲线yx3相切，求实数a的值【解】 设切点为M(x0，y0)，则3x3x0(x)(x)2，y xx0x3x3 0 x2 0当 x无限趋近于 0 时，3x3x0(x)(x)2无限趋近于 3x.2 02 0由题意得，3x3，解得x01 或x01.2 0所以切点坐标为(1,1)或(1，1)将点(1,1)代入直线y3xa，可得a2；将点(1，1)代入直线y3xa，可得a2.6综上可知，a2 或a2.构建·体系当 堂 达 标·固 双 基1设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2 (a，b为常数)，则f(x0)_.【解析】 ab·x，当 x0 时，fx0xfx0 xaxbx2 xa，f(x0)a.fx0xfx0 x【答案】 a2已知曲线yx3 ，则以点P(2,4)为切点的切线方程是_. 1 34 3【导学号：95902187】【解析】 x2 (x2)x·x，y x1 3xx3x3 x1 3当 x0 时，x2，所以f(x)x2，kf(2)4，y x切线方程为y44(x2)，即y4x4.【答案】 y4x43设函数f(x)ax32，若f(1)3，则a_.【解析】 3a3axa(x)2y xf1xf1 xa1x32a132 x当 x0 时，3a，所以f(1)3a3，即a1.y x【答案】 174.如图 3­1­3 所示，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx5，则f(3)f(3)_.图 3­1­3【解析】 由导数的几何意义知f(3)1，又f(3)352，f(3)f(3)2(1)3.【答案】 35以初速度v0 (v00)做竖直上抛运动的物体，t时刻的高度为s(t)v0tgt2，1 2求物体在时刻t0时的瞬时速度. 【导学号：95902188】【解】 sv0(t0t)g(t0t)2v0t0gt(v0gt0)tg(t)2，1 21 22 01 2v0gt0gt，当 t0 时，v0gt0，s t1 2s t物体在时刻 t0时的瞬时速度为 v0gt0.