数字信号处理第一章差分方程、抽样.ppt

1.3离散时间系统的时域描述离散时间系统的时域描述差分方程差分方程一、常系数线性差分方程的一般表达式一、常系数线性差分方程的一般表达式或或其中其中ak，br都是常数。都是常数。连连续续时时间间系系统统用用微微分分方方程程描描述述系系统统输输出出输输入入之之间间的关系。的关系。离离散散时时间间系系统统用用差差分分方方程程描描述述或或研研究究输输出出输输入入之之间的关系。间的关系。说明：说明：1）常系数：）常系数：是指是指ak，br都是常数，不含变数都是常数，不含变数n n。2）阶数：）阶数：差分方程的阶数是由方程差分方程的阶数是由方程y(n-k)项中的项中的k取值取值最大与最小之差确定的。最大与最小之差确定的。3）线性：）线性：y（nk）和）和x(n r)项都只有一次幂且不存在项都只有一次幂且不存在相乘项。相乘项。二、差分方程的求解二、差分方程的求解u时域经典法：时域经典法：类似于解微分方程，即求齐次解和特解，类似于解微分方程，即求齐次解和特解，过程繁琐，应用很少，但物理概念比较清楚。过程繁琐，应用很少，但物理概念比较清楚。u迭代法迭代法(递推法递推法)：比较简单，且适合于计算机求解，但比较简单，且适合于计算机求解，但不能直接给出一个完整的解析式作为解答（也称闭合形不能直接给出一个完整的解析式作为解答（也称闭合形式解答）。式解答）。u卷积法：卷积法：适用于系统起始状态为零时的求解。适用于系统起始状态为零时的求解。u变变换换域域方方法法：类类似似于于连连续续时时间间系系统统的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换，这这里里采采用用Z变变换换法法来来求求解解差差分分方方程程，这这在在实实际际使使用用上上是是最最简单有效的方法。简单有效的方法。例题：例题：解：解：（1）令）令x(n)=(n)，y(n)=h(n)=0，n0 根据初始条件可递推如下根据初始条件可递推如下y(0)=ay(-1)+(0)=1 y(1)=ay(0)+(1)=a y(2)=ay(1)+(2)=a2 y(n)=ay(n-1)=an 因此，因此，h(n)=y(n)=anu(n)，该系统是因果系统。，该系统是因果系统。若系统用差分方程若系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，输入序列描述，输入序列x(n)=(n)，求初始条件分别为，求初始条件分别为：（：（1）h(n)=0，n0时的单位脉冲响应时的单位脉冲响应h(n)。(n)作用下，输出作用下，输出y(n)就是就是 h(n)已知：已知：y(n)=ay(n-1)+x(n)，求，求h(n)=0，n0时的时的h(n)（2）将差分方程改写成将差分方程改写成y(n-1)=a-1y(n)-x(n)根据初始条件可递推如下根据初始条件可递推如下 y(0)=a-1y(1)-(1)=0 y(-1)=a-1y(0)-(0)=-a-1 y(n)=ay(n-1)=-an 因此，因此，h(n)=y(n)=-anu(-n-1)，是非因果系统。，是非因果系统。以上结果说明：以上结果说明：（1 1）一个常系数线性差分方程不一定代表一个因果系统。）一个常系数线性差分方程不一定代表一个因果系统。（2 2）一个常系数线性差分方程，如果没有附加的起始条件，）一个常系数线性差分方程，如果没有附加的起始条件，不能唯一的确定一个系统的输入输出关系，并且只有当起不能唯一的确定一个系统的输入输出关系，并且只有当起始条件选择合适时，才相当于一个线性时不变系统。始条件选择合适时，才相当于一个线性时不变系统。在在以以下下的的讨讨论论中中，除除非非特特别别声声明明，我我们们都都假假设设常常系系数数线线性性差差分分方方程程所所表表示示的的系系统统都都是是指指线线性性时时不不变变系系统统，并并且且多多数数是指因果系统。是指因果系统。Z Z-1-1a ax(n)x(n)y(n)y(n)采用差分方程描述系统简便，容易得到系统的运算结构采用差分方程描述系统简便，容易得到系统的运算结构差分方程差分方程系统结构系统结构 该式说明，系统在该式说明，系统在某时刻某时刻n的输出值的输出值y(n)不仅与不仅与该该时刻时刻的输入的输入x(n)有关，还与有关，还与该时刻以前该时刻以前的输出值的输出值y(n-1)，y(n-2)等有关。等有关。1.4 1.4 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样前置预前置预滤波器滤波器A/D变换器变换器数字信号数字信号处理器处理器D/A变换器变换器模拟模拟滤波器滤波器模拟模拟xa(t)PrFADCDSPDACPoF模拟模拟ya(t)采样采样采样恢复采样恢复一、采样的基本概念一、采样的基本概念采样的原理框图采样的原理框图采样器采样器连续信号连续信号采样脉冲采样脉冲采样信号采样信号所所谓谓“采采样样”，就就是是利利用用采采样样脉脉冲冲序序列列从从连连续续时时间间信信号号中中抽抽取取一一系系列列的的离离散散样样值值，由由此此得得到到的的离离散散时时间间信信号号通通常称为采样信号，以常称为采样信号，以 表示。表示。两种采样方式两种采样方式（a）实际采样）实际采样（b）理想采样）理想采样采样前后信号频谱的变化？采样前后信号频谱的变化？研究讨论：研究讨论：什什么么条条件件下下，可可以以从从采采样样信信号号 不不失失真真地地恢恢复复出原信号？出原信号？二、理想采样二、理想采样 1.时域分析时域分析 数学模型数学模型 采样脉冲：采样脉冲：理想采样输出理想采样输出:2.频域分析频域分析 映射 时域相乘时域相乘 频域卷积频域卷积 （模拟系统）（模拟系统）2.频域分析频域分析（1)冲激函数序列冲激函数序列T(t)的频谱的频谱 可求解出可求解出:因为因为（2）理想采样信号）理想采样信号的频谱的频谱（2）理想采样信号）理想采样信号的频谱的频谱上式表明：上式表明：（1）频谱产生周期延拓频谱产生周期延拓。即采样信号的频谱是频率的周即采样信号的频谱是频率的周期函数，其周期为期函数，其周期为s。（2）频谱的幅度是）频谱的幅度是Xa(j)的的1/T倍。倍。三、时域采样定理三、时域采样定理 如果信号如果信号xa(t)是带是带限信号，且最高频率不超过限信号，且最高频率不超过s/2，即，即 那么采样频谱中，那么采样频谱中，基带频谱基带频谱以及以及各次谐波频谱各次谐波频谱彼此是不彼此是不重叠的。用一个带宽为重叠的。用一个带宽为s/2的理想低通滤波器，可以不的理想低通滤波器，可以不失真的还原出原来的连续信号。失真的还原出原来的连续信号。频谱混叠现象：频谱混叠现象：如果信号最高频率超过如果信号最高频率超过s/2，那么在采样频谱中，各，那么在采样频谱中，各次调制频谱就会相互交叠起来次调制频谱就会相互交叠起来折叠频率：折叠频率：s/2 或或 fs/2采样信号的频谱图采样信号的频谱图奈奎斯特采样定理奈奎斯特采样定理：若原始信号是带限信号，为使采样后能不失真的还原出若原始信号是带限信号，为使采样后能不失真的还原出原信号，抽样频率必须大于两倍信号最高频率，即原信号，抽样频率必须大于两倍信号最高频率，即 为为避避免免混混叠叠，一一般般在在抽抽样样器器前前加加入入一一个个保保护护性性的的前前置置低通滤波器，将高于折叠频率的分量滤除掉。低通滤波器，将高于折叠频率的分量滤除掉。工程上一般取工程上一般取四、采样的恢复（内插）四、采样的恢复（内插）1.频域分析频域分析2.时域分析时域分析 把输出看成是把输出看成是 与理想低通单位冲激响应与理想低通单位冲激响应h(t)的卷积。的卷积。理想低通理想低通H(j)的冲激响应为：的冲激响应为：根据卷积公式，低通滤波器的输出为：根据卷积公式，低通滤波器的输出为：采样内插公式采样内插公式 内插函数内插函数权内插公式内内插插函函数数有有一一个个重重要要特特点点：在在抽抽样样点点nT上上函函数数值值为为1，在其余抽样点上函数值都为在其余抽样点上函数值都为0 内插结果使得被恢复的信号在内插结果使得被恢复的信号在采样点的值就等于采样点的值就等于xa(nT)，采样点之间的信号则是由采样点之间的信号则是由各采样值内插函数的波形延伸各采样值内插函数的波形延伸叠加叠加而成的。而成的。采样内插公式说明，只要采样频率高于两倍信号最采样内插公式说明，只要采样频率高于两倍信号最高频率，则整个连续信号就可以完全用它的采样值来代高频率，则整个连续信号就可以完全用它的采样值来代表，而不会丢掉任何信息。这就是表，而不会丢掉任何信息。这就是奈奎斯特定理的意义奈奎斯特定理的意义。奈奎斯特定理的意义奈奎斯特定理的意义五、实际抽样五、实际抽样抽样脉冲抽样脉冲不是冲激函数，而是一定宽度的矩形周期脉冲不是冲激函数，而是一定宽度的矩形周期脉冲其中系数其中系数Ck随随k变化变化抽样信号频谱抽样信号频谱抽样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为抽样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为s若若满足奈奎斯特抽样定理，则不产生频谱混叠失真满足奈奎斯特抽样定理，则不产生频谱混叠失真抽样后频谱幅度随着频率的增加而下降抽样后频谱幅度随着频率的增加而下降幅度变化并不影响信号幅度变化并不影响信号恢复恢复 例例：模拟信号：模拟信号 ，其中，其中1）求）求xa(t)的周期，采样频率应为多少？采样间隔应为的周期，采样频率应为多少？采样间隔应为多少？多少？2）若选采样频率）若选采样频率fs=200Hz，采样间隔为多少？写出采，采样间隔为多少？写出采样信号样信号 的表达式。的表达式。3）画出对应）画出对应 的时域离散信号的时域离散信号x(n)的波形，并求出的波形，并求出x(n)的周期。的周期。解：解：1）由由 ，可得，可得 2），由，由 ，可得，可得 3）的周期为的周期为N=4。