2.1 导数的概念54458.ppt

第二章第二章 导数与微分导数与微分一、导数的引入一、导数的引入二、导数的定义二、导数的定义四、导数的几何意义四、导数的几何意义三、求导数举例三、求导数举例五、函数的可导性与连续性的关系五、函数的可导性与连续性的关系第一节 导数的概念 一、一、引入引入1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率两个问题的共性共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题二、导数的定义二、导数的定义定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导可导,在点的导数导数.运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线在 M 点处的切线斜率在点的某个右右 邻域内若极限则称此极限值为在 处的右右 导数导数,记作即(左)(左左)例如例如,在 x=0 处有定义定义2.设函数有定义,存在,在点且存在简写为可导的充分必要条件是此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:若函数在开区间 I 内每点都可导,就称函数在 I 内可导.若上述极限不存在,在点 不可导.若也称在就说函数的导数为无穷大.三、求导数举例三、求导数举例例例1.求函数(C 为常数)的导数.解解:即例例2.求函数解解:说明：说明：对一般幂函数(为常数)例如，例如，（以后将证明）例例3.求函数的导数.解解:即类似可证得例例4.求函数的导数.解解:即原式是否可按下述方法作:例例5.证明函数在 x=0 不可导.证证:不存在,例例6.设存在,求极限解解:原式四、四、导数的几何意义导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;若切线与 x 轴垂直.曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:当例例7.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解解:令得对应则在点(1,1),(1,1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线五、五、函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.证证:设在点 x 处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点 x 连续.注意注意:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.例例:在 x=0 处连续,但不可导.即1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;内容小结内容小结