2.3等比数列一.ppt
等等 比比 数数 列（一）列（一）猜一猜给你一张足够大的纸，假设给你一张足够大的纸，假设其厚度为其厚度为0.1毫米，那么当你毫米，那么当你把这张纸对折了把这张纸对折了51次的时候，次的时候，所达到的厚度有多少？所达到的厚度有多少？猜一猜：把一张纸折叠把一张纸折叠5151次，得到的次，得到的大大约约是地球与太阳之间的距离是地球与太阳之间的距离！那些实现远大目标的人，那些实现远大目标的人，也是在这样一次次重复而也是在这样一次次重复而单调的行动中创造奇迹的单调的行动中创造奇迹的2.2.某种汽车某种汽车20112011年购买时的价格是年购买时的价格是3636万元，每万元，每年的折旧率是年的折旧率是10%10%，求这辆车各年开始时的价格，求这辆车各年开始时的价格（单位：万元）。（单位：万元）。3636，36360.90.9，36360.90.92 2,360.93,各年汽车的价格组成数列：各年汽车的价格组成数列：十年后呢？十年后呢？国际象棋起源于印度，关于国际象国际象棋起源于印度，关于国际象棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：么要求，发明者说：“请在棋盘上的第一个格子上放请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，粒麦子，第二个格子上放第二个格子上放2粒麦子，第三个格子上放粒麦子，第三个格子上放4粒麦子，第四个格粒麦子，第四个格子上放子上放8粒麦子，依次类推，即每一个格子中放的麦粒都必须是粒麦子，依次类推，即每一个格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的前一个格子麦粒数目的2倍，直到第倍，直到第64个格子放满为止。个格子放满为止。”国国王慷慨地答应了他。王慷慨地答应了他。你认为国王有能力满足上述要求吗？你认为国王有能力满足上述要求吗？左图为国际象棋的棋盘，棋左图为国际象棋的棋盘，棋盘有盘有8*8=64格格 1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：情景展示（情景展示（3 3）曰：曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭.”庄子庄子天下天下 意思：意思：“一尺长的木一尺长的木棒，每日取其一半，棒，每日取其一半，永远也取不完永远也取不完”。如果将如果将如果将如果将“一尺之棰一尺之棰一尺之棰一尺之棰”视为一份，视为一份，视为一份，视为一份，则每日剩下的部分依次为：则每日剩下的部分依次为：则每日剩下的部分依次为：则每日剩下的部分依次为：9 9，9 92 2，9 93 3，9 94 4，9 95 5，9 96 6，9 97 7堤、木，巢、鸟、雏、毛、色依次构成数列：堤、木，巢、鸟、雏、毛、色依次构成数列：出门见九堤，每堤有九木，每木有九巢，出门见九堤，每堤有九木，每木有九巢，每巢有九鸟，每鸟有九雏，每雏有九毛，问每巢有九鸟，每鸟有九雏，每雏有九毛，问共有几堤，几木，几巢，几鸟，几雏，几毛，共有几堤，几木，几巢，几鸟，几雏，几毛，几色几色？（孙子算经孙子算经）1,3,5,7,9;(1)3,0,-3,-6,;(2)忆一忆什么是等差数列？什么是等差数列？一般地一般地一般地一般地，如果一个数列从第如果一个数列从第如果一个数列从第如果一个数列从第2 2 2 2项起，每一项与前一项起，每一项与前一项起，每一项与前一项起，每一项与前一项的差等于项的差等于项的差等于项的差等于同一个常数同一个常数同一个常数同一个常数，那么这个数列叫做，那么这个数列叫做，那么这个数列叫做，那么这个数列叫做等差数列等差数列等差数列等差数列。这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的公差公差公差公差，用，用，用，用d d d d表示。表示。表示。表示。比一比共同特点？共同特点？从第从第2项起，每一项项起，每一项与与前前一项的比都等于一项的比都等于同一常数同一常数。(1)(2)(3）9 9，9 92 2，9 93 3，9 94 4，9 95 5，9 96 6，9 97 73636，36360.90.9，36360.90.92 2,360.93,（4）等比数列定义等比数列定义 一般的，如果一个数列从一般的，如果一个数列从第第2项起项起，每一，每一项与它前一项的项与它前一项的比等于同一个常数比等于同一个常数，这个数列，这个数列就叫做就叫做等比数列等比数列。这个这个常数常数叫做等比数列的叫做等比数列的公公比比，公比通常用，公比通常用字母字母q表示。表示。(q0）或或思考思考：？其数学表达式：其数学表达式：名名称称等差数列等差数列等比数列等比数列定定义义如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起，每一项与前一项起，每一项与前一项的项的差差都等于都等于同一个同一个常数常数，那么这个数列，那么这个数列叫做等差数列叫做等差数列.这个这个常数叫做等差数列的常数叫做等差数列的公差，用公差，用d d表示表示如如果果一一个个数数列列从从第第2 2项项起起，每每一一项项与与它它前前前前一一项项的的比比都都等等于于同同同同一一一一个个个个常常常常数数数数,那那么么这这个个数数列列叫做等比数列叫做等比数列.这个常数叫做等比这个常数叫做等比数列的公比，用数列的公比，用q表示表示.注意：1.公比是等比数列，从第公比是等比数列，从第2项起，每一项起，每一项与前一项的比，不能颠倒。项与前一项的比，不能颠倒。2.对于一个给定的等比数列，它的公比对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个常数。是同一个常数。例例1、判别下列数列是否为等比数列、判别下列数列是否为等比数列?(1)、1,1,1,1；(2)、0,1,2,4,8；(3)、1，-1/2,1/4，-1/8，1/16；(4)、1,0,1,0；练习：指出下列数列是不是等比数列，若练习：指出下列数列是不是等比数列，若是，说明公比；若不是，说出理由是，说明公比；若不是，说出理由(3)2,-2,2,-2,2(1),2,4,16,64,(2)16,8,1,2,0,不是不是是是不是不是不一定不一定(4)a,a,a,a,a 思考：等比数列中思考：等比数列中(1)公比公比q为什么不能等于？首项能等于吗？为什么不能等于？首项能等于吗？(2)公比公比q=1时是什么数列？时是什么数列？(3)q0数列递增吗？数列递增吗？q0数列递减吗？数列递减吗？说明：说明：(1)公比公比q0，则，则an0(nN)；(2)既是等差又是等比数列为非零常数列；既是等差又是等比数列为非零常数列；(3)q=1，常数列；常数列；q0q0，摆动数列；摆动数列；例例2:求出下列等比数列中的未知项求出下列等比数列中的未知项.(1)2.a,8(2)-4,b,c,解：解：解得解得a=4或或a=-4等比中项等比中项 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：者三个数就会成为一个等比数列：（1）1，9 （2）-1，-4（3）-12，-3 （4）1，13261 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a，G，b成成等比数列，那么等比数列，那么G叫做叫做a与与b的的等比中项等比中项。例例3、（、（1）在等比数列）在等比数列an中，是否有中，是否有an2=an-1an+1（n2）？）？（2）如果数列）如果数列an中，对于任意的正整中，对于任意的正整数数n（n2），都有），都有an2=an-1an+1，那么那么，an一定是等比数列吗？一定是等比数列吗？练习：课本练习：课本P47页练习页练习4，5练习：课本练习：课本P47页练习页练习4，5补充例题补充例题总总 结：结：等比数列的等比数列的概念。概念。定义法定义法等比中项法。等比中项法。类比法类比法知识内容知识内容研究方法研究方法证明方法证明方法龟兔赛跑悖论龟兔赛跑悖论:假定兔子的速度是每分钟假定兔子的速度是每分钟100米，乌龟的速度米，乌龟的速度为每分钟为每分钟10米，即乌龟的速度是兔子的十分之一；米，即乌龟的速度是兔子的十分之一；让乌龟先跑让乌龟先跑100米，兔子再开始跑。问题是：兔子米，兔子再开始跑。问题是：兔子到底能不能超过乌龟到底能不能超过乌龟?按常理兔子肯定是可以超过乌龟的，比如说兔按常理兔子肯定是可以超过乌龟的，比如说兔子跑了子跑了2分钟后，离起点分钟后，离起点200米，乌龟离起点只有米，乌龟离起点只有120米，兔子已经超过乌龟了。其实不然，让我来米，兔子已经超过乌龟了。其实不然，让我来给大家分析一下给大家分析一下:当兔子起跑时，乌龟领先兔子当兔子起跑时，乌龟领先兔子100米米;当兔子跑完这当兔子跑完这100米，用去米，用去1分钟时间，乌龟分钟时间，乌龟又领先兔子又领先兔子10米米;当兔子跑完这当兔子跑完这10米，用去米，用去0.1分钟时间，乌分钟时间，乌龟又领先兔子龟又领先兔子1米米;当兔子跑完这当兔子跑完这1米，用去米，用去0.01分钟时间，乌分钟时间，乌龟又领先兔子龟又领先兔子0.1米米;当兔子跑完这当兔子跑完这0.1米，用去米，用去0.001分钟时间，分钟时间，乌龟又领先兔子乌龟又领先兔子0.01米米如此循环往复，兔子岂能追上乌龟？如此循环往复，兔子岂能追上乌龟？如果时间和长度都是无限可分的，我的结论如果时间和长度都是无限可分的，我的结论是兔子永远不可能追上乌龟，更不可能超过了是兔子永远不可能追上乌龟，更不可能超过了！
