2.1 导数的概念64273.ppt
返回返回上页上页下页下页目录目录高等数学(经管类)多媒体课件牛顿（牛顿（Newton）莱布尼兹（莱布尼兹（Leibniz）12/29/20221返回返回上页上页下页下页目录目录第一节第一节 导数概念导数概念 第二章第二章 三、导数的几何意义三、导数的几何意义二、导数的定义二、导数的定义一、引一、引 例例五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系五、小结与思考题五、小结与思考题（The Concept of Derivative）四、单侧导数四、单侧导数12/29/20222返回返回上页上页下页下页目录目录例例1.1.瞬时速度问题瞬时速度问题 求求:质点在质点在时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度设有一质点作变速直线运动设有一质点作变速直线运动,其运动方程为其运动方程为一一.导数问题举例导数问题举例 12/29/20223返回返回上页上页下页下页目录目录时时 刻瞬时速度刻瞬时速度变化不大变化不大,所以质点在所以质点在在在t 时间内速度时间内速度2.若质点作变速直线运动若质点作变速直线运动 1.1.若质点作匀速直线运动若质点作匀速直线运动s0由于速度是连续变化的由于速度是连续变化的,可以近似地用平均速度可以近似地用平均速度 代替代替瞬时速度瞬时速度分析分析：12/29/20224返回返回上页上页下页下页目录目录于是当于是当时时,的极限即为的极限即为越小越小,近似的程度越好近似的程度越好12/29/20225返回返回上页上页下页下页目录目录称为曲线称为曲线 L 上点上点 P 处的切线处的切线例2:曲线的切线斜率曲线的切线斜率切线的一般定义切线的一般定义:设设 P 是曲线是曲线 L 上的一个定点上的一个定点,Q 是曲线是曲线 L 上的另一个点上的另一个点,过点过点 P 与点与点 Q 作一条直线作一条直线 PQ,称称 PQ 为曲线为曲线 L 的的 割线割线,当点当点 Q 沿着曲线沿着曲线 L 趋向定点趋向定点 P 时时,割线割线 PQ 的极限位置的极限位置 PTLPQT12/29/20226返回返回上页上页下页下页目录目录设设曲线曲线 L 的方程为的方程为 y=f(x),越接近于越接近于 k,x 越小越小,Q 越接近于越接近于 P,PQ 越接近于越接近于 PT,切线的倾角为切线的倾角为 ,则有则有:分析分析:如图如图,割线的倾角为割线的倾角为,求此曲线上点求此曲线上点 P 处的切线斜率处的切线斜率 k.LPQT12/29/20227返回返回上页上页下页下页目录目录曲线在曲线在 P 处的切线斜率为处的切线斜率为:当自变量的增量趋于当自变量的增量趋于 0 时的极限时的极限.即即:函数的增量与自变量增量之比函数的增量与自变量增量之比,12/29/20228返回返回上页上页下页下页目录目录二、导数的定义二、导数的定义（Definition of Derivatives）1.函数在一点的导数与导函数函数在一点的导数与导函数.定义定义1 设函数在点存在,并称此极限为记作:则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导可导,在点的导数导数.即12/29/20229返回返回上页上页下页下页目录目录若上述极限不存在,在点 不可导.若也称在就说函数的导数为无穷大.12/29/202210返回返回上页上页下页下页目录目录例.求函数在x=1处的导数 .解 由导数定义有由导数定义有 12/29/202211返回返回上页上页下页下页目录目录在点的某个右右 邻域内若极限则称此极限值为在 处的右右 导数导数,记作(左)(左左)定义定义2 设函数有定义,存在,2.单侧导数单侧导数.在点可导的充分必要条件充分必要条件注注1：函数且是注注2：若函数与在开区间 内可导,且都存在,则称在闭区间 上可导.12/29/202212返回返回上页上页下页下页目录目录在 x=0 不可导.例例 证明函数证证:因此，函数在 x=0 不可导.一般地，如果函数的图形在某点出现一般地，如果函数的图形在某点出现“尖角尖角”，那，那么在该点就没有切线，从而函数在该点不可导么在该点就没有切线，从而函数在该点不可导.12/29/202213返回返回上页上页下页下页目录目录若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意注意:就称函数在 I 内可导.二二.导函数导函数12/29/202214返回返回上页上页下页下页目录目录12/29/202215返回返回上页上页下页下页目录目录三、导数的几何意义三、导数的几何意义（Geometric Interpretation）曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;若切线与 x 轴垂直.曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:12/29/202216返回返回上页上页下页下页目录目录解解 法线斜率为法线斜率为 12/29/202217返回返回上页上页下页下页目录目录五、函数的可导性与连续性的关系五、函数的可导性与连续性的关系定理定理证证:设在点 x 处可导,存在,故即所以函数在点 x 连续.注意注意:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x=0 处连续,但不可导.12/29/202218返回返回上页上页下页下页目录目录解解(1)因为因为 12/29/202219返回返回上页上页下页下页目录目录(2)因为因为 有有 又又 12/29/202220返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1.本节通过两个引例抽象出导数的定义：本节通过两个引例抽象出导数的定义：12/29/202221返回返回上页上页下页下页目录目录2.利用导数的定义得出以下导数公式：利用导数的定义得出以下导数公式：3.判断可导性判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.4.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率;5.函数的可导性与连续性的关系：函数的可导性与连续性的关系：可导必连续,但连续不一定可导。12/29/202222返回返回上页上页下页下页目录目录课后练习课后练习习习 题题 2-1 1；4；5；6;思考与练习思考与练习1.函数 在某点 处的导数有什么区别与联系?与导函数区别:是函数,是数值;联系:注意注意:？12/29/202223返回返回上页上页下页下页目录目录3.已知则存在,则2.设4.设存在,求极限解解:原式12/29/202224返回返回上页上页下页下页目录目录,问 a 取何值时,在都存在,并求出解解:故时此时在都存在,显然该函数在 x=0 连续.5.设12/29/202225返回返回上页上页下页下页目录目录解解:因为存在,且求所以6.设12/29/202226返回返回上页上页下页下页目录目录在 处连续,且存在，证明:在处可导.证证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.故7.设12/29/202227
