新人教版高考数学大一轮复习《三角恒等变换》ppt课件.ppt
第五节三角恒等变换【知识梳理知识梳理】1.1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式C C(-)(-):cos(-)=_.:cos(-)=_.C C(+)(+):cos(+)=_.:cos(+)=_.S S(+)(+):sin(+)=_.:sin(+)=_.cos cos+sin sin cos cos+sin sin cos cos-sin sin cos cos-sin sin sin cos+cos sin sin cos+cos sin S S(-)(-):sin(-)=_.:sin(-)=_.T T(+)(+):tan(+)=_(,+:tan(+)=_(,+k,kZ).+k,kZ).T T(-)(-):tan(-)=_(,-:tan(-)=_(,-+k,kZ).+k,kZ).sin cos-cos sin sin cos-cos sin 2.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式S S22:sin 2=_.:sin 2=_.C C22:cos 2=_=_=_.:cos 2=_=_=_.T T22:tan 2=_ :tan 2=_ 2sin cos 2sin cos coscos2 2-sin-sin2 2 2cos2cos2 2-1-1 1-2sin1-2sin2 2【常用结论常用结论】1.1.一组重要关系一组重要关系2.2.四个必备结论四个必备结论(1)(1)降幂公式降幂公式:(2)(2)升幂公式升幂公式:1+cos 2=2cos:1+cos 2=2cos2 2,1-cos 2=2sin,1-cos 2=2sin2 2.(3)(3)公式变形公式变形:tan tan=tan()(1:tan tan=tan()(1 tan tan).tan tan).(4)(4)辅助角公式辅助角公式:asin x+bcos x=(x+:asin x+bcos x=(x+)【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”错误的打错误的打“”)”)(1)(1)存在实数存在实数,使等式使等式sin(+)=sin+sin sin(+)=sin+sin 成立成立.()(2)(2)在锐角在锐角ABCABC中中,sin Asin B,sin Asin B和和cos Acos Bcos Acos B大小不确大小不确定定.()(3)(3)公式公式tan(+)=tan(+)=可以变形为可以变形为tan+tan+tan=tan(+)(1-tan tan),tan=tan(+)(1-tan tan),且对任意角且对任意角,都成立都成立.()(4)(4)公式公式asin x+bcos x=(x+asin x+bcos x=(x+)中中的取值的取值与与a,ba,b的值无关的值无关.()提示提示:根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知(2)(3)(4)(2)(3)(4)是错误的是错误的,(1),(1)是正确的是正确的.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.cos 20 cos 10-sin 20 sin 10=_.2.cos 20 cos 10-sin 20 sin 10=_.【解析解析】cos 20cos 10-sin 20sin 10cos 20cos 10-sin 20sin 10=cos(20+10)=cos 30=cos(20+10)=cos 30=答案答案:3.3.已知已知(0,),(0,),【解析解析】由已知得由已知得 所以所以 答案答案:4.4.的值是的值是_._.【解析解析】因为因为tan+tan=tan(+)(1-tan+tan=tan(+)(1-tan tan),tan tan),所以所以 答案答案:题组二题组二:走进教材走进教材1.(1.(必修必修4P1294P129例例3 3改编改编)若若 是第三象限的是第三象限的角角,则则 ()【解析解析】选选C.C.因为因为 是第三象限的角是第三象限的角,所以所以 2.(2.(必修必修4P135 T24P135 T2改编改编)已知已知sin-cos=sin-cos=则则sin 2=sin 2=()【解析解析】选选A.sin 2=2sin cos=A.sin 2=2sin cos=3.(3.(必修必修4P143 B4P143 B组组T2T2改编改编)若若sin 80=m,sin 80=m,则用含则用含m m的式的式子表示子表示cos 5=_.cos 5=_.【解析解析】因为因为sin 80=m,sin 80=m,所以所以cos 10=m,cos 10=m,所以所以cos 5=cos 5=答案答案:考点一三角函数式的化简求值考点一三角函数式的化简求值【题组练透题组练透】1.(20171.(2017全国卷全国卷)函数函数f(x)=f(x)=的最大值为的最大值为()【解析解析】选选A.A.由两角和差公式得由两角和差公式得因为因为 故函数故函数f(x)f(x)的最大值为的最大值为 2.2.计算：计算：【解析解析】答案答案:3.3.()A.1A.1B.1-cos 2xB.1-cos 2xC.1+cos 2xC.1+cos 2xD.1+sin 2xD.1+sin 2x【解析解析】选选D.D.=(1+sin 2x+1+sin 2x)=1+sin 2x.=(1+sin 2x+1+sin 2x)=1+sin 2x.4.4.化简化简:sin:sin2 2sinsin2 2+cos+cos2 2coscos2 2-cos 2cos 2-cos 2cos 2=_.=_.【解析解析】原式原式答案答案:【一题多解微课一题多解微课】本题还可以采用以下方法本题还可以采用以下方法:方法一方法一:原式原式=(1-cos=(1-cos2 2)(1-cos)(1-cos2 2)+cos)+cos2 2coscos2 2-(2cos (2cos2 2-1)(2cos-1)(2cos2 2-1)-1)=1-cos=1-cos2 2-cos-cos2 2+cos+cos2 2coscos2 2+cos+cos2 2coscos2 2-(4cos (4cos2 2coscos2 2-2cos-2cos2 2-2cos-2cos2 2+1)+1)=1-cos=1-cos2 2-cos-cos2 2+2cos+2cos2 2coscos2 2-2cos-2cos2 2coscos2 2+cos+cos2 2+cos+cos2 2-=.-=.答案答案:方法二方法二:原式原式=sin=sin2 2sinsin2 2+cos+cos2 2coscos2 2-(cos-(cos2 2-sinsin2 2)(cos)(cos2 2-sin-sin2 2)=(2sin=(2sin2 2sinsin2 2+2cos+2cos2 2coscos2 2-cos-cos2 2coscos2 2+cos+cos2 2sinsin2 2+sin+sin2 2coscos2 2-sin-sin2 2sinsin2 2)答案答案:【规律方法规律方法】应用三角公式化简求值的策略应用三角公式化简求值的策略(1)(1)使用两角和、差及倍角公式使用两角和、差及倍角公式,首先要记住公式的结首先要记住公式的结构特征和符号变化规律构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记例如两角差的余弦公式可简记为为:“:“同名相乘同名相乘,符号反符号反”.(2)(2)使用公式求值使用公式求值,应注意与同角三角函数基本关系、应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用诱导公式的综合应用.(3)(3)使用公式求值使用公式求值,应注意配方法、因式分解和整体代应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用换思想的应用.考点二三角恒等变换的综合问题考点二三角恒等变换的综合问题【典例典例】(1)(1)如图如图,在矩形在矩形OABCOABC中中,AB=1,OA=2,AB=1,OA=2,以以B B为圆为圆心心,BA,BA为半径在矩形内部作弧为半径在矩形内部作弧,点点P P是弧上一动点是弧上一动点,PM,PMOA,OA,垂足为垂足为M,PNOC,M,PNOC,垂足为垂足为N,N,求四边形求四边形OMPNOMPN的周长的的周长的最小值最小值.(2)(2018(2)(2018杭州模拟杭州模拟)设函数设函数f(x)=sinf(x)=sin2 2x-cosx-cos2 2x+x+sin xcos x+sin xcos x+的图象关于直线的图象关于直线x=x=对称对称,其中其中,为常数为常数,且且求函数求函数f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期.若若y=f(x)y=f(x)的图象经过点的图象经过点 ,求函数求函数f(x)f(x)在区间在区间 上的取值范围上的取值范围.【解析解析】(1)(1)连接连接BP,BP,设设CBP=,CBP=,其中其中 则则PM=1-sin,PN=2-cos,PM=1-sin,PN=2-cos,则周长则周长C=6-2(sin+cos)C=6-2(sin+cos)因为因为 故当故当 时时,周长周长C C有最小值有最小值 (2)f(x)=sin(2)f(x)=sin2 2x+sin xx+sin xcos x-cos x-coscos2 2x+x+因为图象关于直线因为图象关于直线x=x=对称对称,所以所以 所以所以 令令k=1k=1时时,符合要求符合要求,所以函数所以函数f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为 因为因为 所以所以 所以所以f(x)f(x)所以函数所以函数f(x)f(x)在区间在区间 上的取值范围为上的取值范围为 【互动探究互动探究】1.1.若典例若典例(1)(1)中条件中条件“OA=2”OA=2”改为改为“OA=1”,OA=1”,其他条件不变其他条件不变,求四边形求四边形OMPNOMPN面积的最大值面积的最大值.【解析解析】连接连接BP,BP,设设CBP=,CBP=,其中其中 则则PM=1-sin,PN=1-cos,PM=1-sin,PN=1-cos,四边形四边形OMPNOMPN的面积的面积 令令sin+cos=t,sin+cos=t,则则sin cos=sin cos=因为因为 由由 所以所以 当当 2.2.若典例若典例(1)(1)中条件改为中条件改为“以以BCBC中点中点E E为圆心为圆心,1,1为半径为半径在矩形内部作弧在矩形内部作弧CD(CD(其中其中D D为为OAOA中点中点),),点点P P是弧上一动点是弧上一动点,PMBC,PMBC,垂足为垂足为M,PNAB,M,PNAB,垂足为垂足为N”,N”,其他条件不变其他条件不变,求四边形求四边形PMBNPMBN的周长的最大值的周长的最大值.【解析解析】连接连接EP,EP,设设CEP=,CEP=,则则 所以所以BM=1+BM=1+cos,PM=sin,cos,PM=sin,所以四边形所以四边形PMBNPMBN的周长为的周长为2(1+cos+sin)=2(1+cos+sin)=2+2(cos+sin)=2+2(cos+sin)=因为因为 所以所以 所以所以 的最大值为的最大值为 【规律方法规律方法】1.1.三角函数应用题的处理方法三角函数应用题的处理方法(1)(1)结合具体图形引进角为参数结合具体图形引进角为参数,利用三角函数的有关利用三角函数的有关公式进行化简公式进行化简,解决最优化问题解决最优化问题.(2)(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样,先建模先建模,再讨论变量的范围再讨论变量的范围,最后得出结论并回答问题最后得出结论并回答问题.2.2.三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用(1)(1)图象变换问题图象变换问题:先根据和角公式、倍角公式把函数先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数表达式变为正弦型函数y=Asin(x+y=Asin(x+)+b)+b或余弦型函或余弦型函数数y=Acos(x+y=Acos(x+)+b)+b的形式的形式,再进行图象变换再进行图象变换.(2)(2)函数性质问题函数性质问题:求函数周期、最值、单调区间的方求函数周期、最值、单调区间的方法步骤法步骤利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成化成y=Asin(x+y=Asin(x+)+b)+b或或y=Acos(x+y=Acos(x+)+b)+b的形式的形式;利用公式利用公式T=(0)T=(0)求周期求周期;根据自变量的范围确定根据自变量的范围确定x+x+的范围的范围,根据相应的正根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时另外求最值时,根据根据所给关系式的特点所给关系式的特点,也可换元转化为求二次函数的最值也可换元转化为求二次函数的最值;根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=y=Asin(x+Asin(x+)+b)+b或或y=Acos(x+y=Acos(x+)+b)+b的单调区间的单调区间.【对点训练对点训练】1.1.如图是半径为如图是半径为1 1的半圆的半圆,且四边形且四边形PQRSPQRS是半圆的内接是半圆的内接矩形矩形,设设SOP=,SOP=,求求为何值时矩形的面积最大为何值时矩形的面积最大,并求并求出最大值出最大值.【解析解析】因为因为SOP=,SOP=,所以所以PS=sin,SR=2cos,PS=sin,SR=2cos,故故S S矩形矩形PQRSPQRS=SR=SRPS=2cos PS=2cos sin=sin 2,sin=sin 2,故当故当=时时,矩形的面积有最大值矩形的面积有最大值1.1.2.2.已知已知 其中其中0,0,若若f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为4.4.(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的单调递增区间的单调递增区间.(2)(2)锐角三角形锐角三角形ABCABC中中,(2a-c)cos B=bcos C,(2a-c)cos B=bcos C,求求f(A)f(A)的的取值范围取值范围.【解析解析】(1)f(x)=(1)f(x)=因为最小正周期为因为最小正周期为4,4,所以所以 所以所以f(x)=f(x)=令令 即即 所以所以f(x)f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为 (2)(2)因为因为(2a-c)cos B=bcos C,(2a-c)cos B=bcos C,所以所以(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,整理得整理得2sin Acos B=sin A,2sin Acos B=sin A,因为因为ABCABC为锐角三角形为锐角三角形,所以所以 所以所以 所以所以 考点三条件求值问题考点三条件求值问题【明考点明考点知考法知考法】条件求值问题是在高考中必考的内容之一条件求值问题是在高考中必考的内容之一,试题常试题常以选择题、填空题形式出现以选择题、填空题形式出现,考查给角求值、变角求值、考查给角求值、变角求值、给值求值等问题给值求值等问题.命题角度命题角度1 1给角求值给角求值【典例典例】计算计算:tan 25+tan 35+tan 25:tan 25+tan 35+tan 25tan 35=_.tan 35=_.【解析解析】原式原式=tan(25+35)(1-tan 25tan 35)=tan(25+35)(1-tan 25tan 35)+tan 25tan 35+tan 25tan 35=(1-tan 25tan 35)+tan 25tan 35=(1-tan 25tan 35)+tan 25tan 35=答案答案:【状元笔记状元笔记】求解给角求值问题的三个注意点求解给角求值问题的三个注意点(1)(1)观察角观察角,分析角之间的差异分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分巧用诱导公式或拆分.(2)(2)观察名观察名,尽可能使函数统一名称尽可能使函数统一名称.(3)(3)观察结构观察结构,利用公式利用公式,整体化简整体化简.命题角度命题角度2 2变角求值变角求值【典例典例】(2018(2018抚顺模拟抚顺模拟)已知函数已知函数f(x)=f(x)=(其中其中0)0)的最小正周期为的最小正周期为10.10.(1)(1)求求的值的值.(2)(2)设设,求求cos(+)cos(+)的值的值.【解析解析】(1)(1)由于函数由于函数f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为10,10,所以所以 (2)(2)由由(1)(1)知知f(x)=f(x)=又因为又因为 所以所以 所以所以 又因为又因为 所以所以 所以所以 又因为又因为 所以所以cos(+)=cos cos-sin sin cos(+)=cos cos-sin sin 【状元笔记状元笔记】凑角的技巧凑角的技巧在求值的过程中在求值的过程中“拼凑拼凑”对求值往往起到对求值往往起到“峰回路峰回路转转”的效果的效果.通过适当地拆角、凑角来利用所给条件通过适当地拆角、凑角来利用所给条件.常见的技巧有常见的技巧有 命题角度命题角度3 3给值求值给值求值【典例典例】(1)(2018(1)(2018全国卷全国卷)若若 则则cos 2=cos 2=()(2)(2018(2)(2018全国卷全国卷)已知已知 则则tan tan=_.=_.【解析解析】(1)(1)选选B.cos 2=1-2sinB.cos 2=1-2sin2 2=1-2 =1-2 (2)(2)因为因为 所以所以 答案答案:【状元笔记状元笔记】给值求值问题的求解思路给值求值问题的求解思路(1)(1)化简所求式子化简所求式子.(2)(2)观察已知条件与所求式子之间的联系观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数从三角函数名及角入手名及角入手).).(3)(3)将已知条件代入所求式子将已知条件代入所求式子,化简求值化简求值.【对点练对点练找规律找规律】1.1.计算计算 的值为的值为()【解析解析】选选B.B.原式原式=2.2.已知已知 则则sin sin 的值等于的值等于()【解析解析】选选C.C.因为因为 所以所以 得得 则则sin=sin=3.3.已知已知 ()【解析解析】选选D.D.由题意得由题意得 所以所以 数学能力系列数学能力系列1212三角恒等变换中的逻辑推理三角恒等变换中的逻辑推理【能力诠释能力诠释】逻辑推理是指从一些事实和命题出发逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依依据逻辑规则推出一个命题的思维过程据逻辑规则推出一个命题的思维过程.主要包括两类主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳与类推理形式主要有归纳与类比比;另一类是从一般到特殊的推理另一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎推理形式主要有演绎.【典例典例】已知已知:tan 10tan 20+tan 20tan 60:tan 10tan 20+tan 20tan 60+tan 60tan 10=1,tan 5tan 10+tan 60tan 10=1,tan 5tan 10+tan 10tan 75+tan 75tan 5=1,tan 10tan 75+tan 75tan 5=1,tan 20tan 30+tan 30tan 40+tan 40tan 20tan 30+tan 30tan 40+tan 40tan 20=1tan 20=1成立成立.由此得到一个由特殊到一般的推广由此得到一个由特殊到一般的推广.此此推广是什么推广是什么?并证明并证明.【解析解析】观察到观察到:10+20+60=90,5+75+:10+20+60=90,5+75+10=90,20+30+40=90,10=90,20+30+40=90,猜想此推广为猜想此推广为:若若+=90,+=90,且且,都不为都不为k180+90k180+90(kZ),(kZ),则则tan tan+tan tan+tan tan tan tan+tan tan+tan tan=1.=1.证明如下证明如下:因为因为+=90,+=90,所以所以=90-(+),=90-(+),故故tan=tan90-(+)=tan=tan90-(+)=所以所以tan tan+tan tan=1-tan tan,tan tan+tan tan=1-tan tan,即即tan tan+tan tan+tan tan=1.tan tan+tan tan+tan tan=1.【技法点拨技法点拨】逻辑推理的解题要点逻辑推理的解题要点与数字有关的等式的归纳推理与数字有关的等式的归纳推理,观察数字特点观察数字特点,找出等找出等式左右两侧的规律及符号即可式左右两侧的规律及符号即可.【即时训练即时训练】给出以下四个式子给出以下四个式子:sinsin2 28+cos8+cos2 222-sin 8cos 22;22-sin 8cos 22;sinsin2 215+cos15+cos2 215-sin 15cos 15;15-sin 15cos 15;sinsin2 216+cos16+cos2 214-sin 16cos 14;14-sin 16cos 14;sinsin2 2(-5)+cos(-5)+cos2 235-sin(-5)cos 35;35-sin(-5)cos 35;(1)(1)已知所给各式都等于同一个常数已知所给各式都等于同一个常数,试从上述四个式试从上述四个式子中任选一个子中任选一个,求出这个常数求出这个常数.(2)(2)分析以上各式的共同特点分析以上各式的共同特点,写出能反映一般规律的写出能反映一般规律的等式等式,并对等式正确性作出证明并对等式正确性作出证明.【解析解析】(1)sin(1)sin2 215+cos15+cos2 215-sin 15 cos 1515-sin 15 cos 15 (2)sin(2)sin2 2+cos+cos2 2(30-)-sin cos(30-)=(30-)-sin cos(30-)=证明如下证明如下:sinsin2 2+cos+cos2 2(30-)-sin cos(30-)(30-)-sin cos(30-)=sin=sin2 2+(cos 30 cos+sin 30 sin)+(cos 30 cos+sin 30 sin)2 2-sin(cos 30 sin(cos 30 cos+sin 30 sin)cos+sin 30 sin)
