数学学科主元思想——多元变量问题的突破口.doc

数学论文之主元思想多元变量征询题的打破口  主元思想多元变量征询题的打破口赵光新在处理多变元变量的数学征询题时，在考虑方式上，我们能够把两个或多个对象的地位或角色进展转换，将其中的某一变量看作“主元”，而把其它的变元看作常量，从而减少变元，简化运算利用这种思维策略，关于培养学生良好的思维质量，提高研究征询题和处理征询题的才能大有裨益一、“主元思想”确定恒成立征询题中的变量范围【例1】假设x(0，13，不等式1+x+(aa2)x20恒成立，求a的范围解：将原不等式化为关于a的二次不等式x2a2x2a(x+1)0，即ax(x+1)(ax+1)0.x(0，13不等式的解为a|1x0f(2)>0(2)log2x+log22x2log2x+1>02(log2x1)+log22x2log2x+1>0解得x8或0x1注：换位考虑后，将二元变为一元，防止了参数与对称轴相对位置的讨论二、主元思想证不等式【例3】已经明白|a|1，|b|1，|c|1，求证：abc+2a+b+c析：此题用常规方法较难，假设利用主元思想，将征询题转化为函数，利用函数性质求解，使征询题迎刃而解解：将a、b、c中的a看成“主元”，将bc看成常数，构造一次函数设f(x)=(bc1)xbc+2，f(1)=(bc1)bc+2=4(b+1)(c+1)|b|1，|c|1，0b+12，0c+120(b+1)(c+1)4，f(1)0又f(1)=(bc1)bc+2=(b1)(c1)0，f(x)在(1，1)上恒大于0|a|1，f(a)0(bc1)abc+20，即abc+2a+b+c【例4】假设0a1b，求证：bb21a+1法1：将a视为“主元”，构造一次函数证明：由条件0a1b即a(0，1b)，假设将a视为未知数，用x代替，即证x(0，1b)时，(bb2)1x+1，即(bb2)(x+1)10设f(x)=(bb2)x+(bb2)1即证x(0，1b)时，f(x)0而f(x)为x的一次函数，且f(0)=bb21=(b2b+1)0，f(1b)=b20当x(0，1b)，f(x)0成立原不等式成立法2：假设将b看作“主元”构造二次函数证明：由0a1b，得0b1a将b看作未知数，通过二次函数的性质来完成设g(x)=x2x+1a+1(0x1a)，对称轴为x=12(1)当1a12即a2时，g(x)在(0，1a)上是减函数，x(0，1a)时，g(x)g(1a)=1a21a+1a+1=1a2(a+1)0(2)当1a12时，x(0，1a)时，g(x)g(12)=1a+1140综合(1)(2)知：x(0，1a)时，x2x+1a+10恒成立，即xx21a+1原不等式成立三、“主元思想”求解最值【例5】已经明白F(a，)=a2+2asin+2a2+2acos+2（a，R，a0），那么关于任意的a，F(a，)的取值范围为解：设a为主元，令a2+2asin+2a2+2acos+2=y，(y1)a2+a(2ycos2sin)+2y2=00，即(ycossin)22(y1)2(y2+1)cos2(+)2(y1)22(y1)2y2+1cos2(+)123y2+3【例6】设实数x、y0，且x、y满足xy=xy，则x的最小值为解：视y为主元，将上式变为y2xy+x=0方程有根，0，即x24x0x4或x0（舍去）x的最小值为4（原载2007年1月青年智力开发报）