数学学科数学概括及在数学学习中的作用.doc

数学论文之数学概括及在数学学习中的作用 一、数学概括数学概括是一种特别的概括，这是由数学学科的特点所决定的。数学概括是在数学符号、数量和空间关系、数学对象和运算等方面的概括。它具有以下明显的特点：1.数学研究对象本身已是概括的产物我们明白，数学的研究对象是客观世界的数量关系和空间方式。它取自于客观世界，但却不是现实中的真正原型，而是从现实世界中概括出来的数学模型事物中的纯数量关系和空间方式。例如自然数、点、线、面等原始概念，确实是从现实世界中概括出来的。2.数学概括具有层次性数学概括是在概括根底上所进展的再概括，数学是从原始概念开场，在此根底上进展新的抽象，从而得到概括程度更高的新概念。在数学中往往要进展一系列地、逐级地概括，由此可得到概括水平越来越高的概念、法则和方法。这恰是数学在抽象思维方面具有相对封闭性的缘故所在。正如德国数学家汉克尔的生动描绘：“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的制造被另一个人所破坏，唯独数学，每一代人都在这陈旧的大厦上添加一层楼。”这说明数学的开展表现为明显的概括性质：它的每一次开展都把原来的数学作为某种特例包含在新的数学中去。例如数系的扩张；中学里对三角函数的概括；从数列极限到函数极限的概括。从定理内容上也可体会出数学概括的层次性，例如数学归纳法定理。3.数学概括用数学语言来表述二、数学概括在数学学习中的作用学生的数学学习，主要表现为数学知识、数学才能和数学思维活动的学习。而所有这些学习都是以数学概括为根底，都离不开数学概括才能的支持与辅佐。在此仅以数学才能的学习为例。中学数学教学大纲明确指出：“通过数学教学，要培养学生具有正确迅速的运算才能，逻辑思维才能和空间想象才能，从而逐步培养运用数学分析和处理实际征询题的才能。”在运算才能方面，欲达“正确迅速”目的，就需在各类运算中概括出相应的运算规律，将其归纳为一般方式。数学概括在培养学生逻辑思维才能方面的作用也十分重要。逻辑思维是人类提示客观世界的本质和规律的极其重要的思维活动，它几乎浸透到人类获取所有理论和新认识的每一过程，而数学则是表达逻辑最完全的一门学科。学生在学习中遵照着数学的逻辑规律，他们从最基储最简单的数学概念出发，在这些根本概念的根底上进展概括，得到概括程度更高的新概念。例如：在初中，仅研究0°360°间角的三角函数，到了高中，通过角概念的推行和弧度制的引入，概括出任意角三角函数，并从集合和映射的观点出发加以研究。即在数学思想方法上也采纳了概括性更强的更一般的方法集合和映射的思想方法。由上述各例可看出，学生逻辑思维才能的构成和开展离不开数学概括，数学概括不仅阻碍着学生逻辑思维的构成和开展，而且决定着学生逻辑思维的水平和质量，概括水平越高，其逻辑思维的才能就越强。数学概括在培养和构成学生的空间想象才能大小更是不可或缺。由于空间想象才能的构成不仅需要按部就班的逻辑推理过程，而且需要有猜测、想象、直觉等灵感思维的协助，而直觉思维更离不开数学概括的支持，尽管它有时表现的并不那么直截了当，但却是头脑所积累的数学概括水平的综合运用，需要具备更高的数学概括才能。由于在三维立体空间（现实空间）或更高维的空间（非现实空间）中调查数学征询题时，它与空间的相关性加强了许多，它的位置关系，空间方式和数量关系都有了更丰富的内涵（与二维相比），这势必要求在数学概括上应具有更高的水平。例如，在平面内，对一个直角三角形的研究仅限于边、角关系的讨论，但在立体空间，除此以外（这种关系已经缩小到在同一平面讨论征询题的范围）还存在着它与空间平面、空间直线的各种位置关系、空间方式及数量关系等。比方立体几何中的三垂线定理和逆定理，说确实实是直角三角形的斜边与平面直线的位置关系，这种关系的寻找与确定就需要更广泛的数学概括。空间想象才能还表如今对现实空间中几何物体的数学觉察上。例如人们对蜂房的数学觉察乃至物理觉察：蜂房底部菱形的锐角是70°，这个尺寸经推算知，在体积一定的条件下它可使蜂房的外表积为最小，即用料（蜂蜡）最省，不仅如此，蜂房的特别形：侧面是六棱柱，底由三全等菱形组成的倒角锥面，其物理功能也十分的好，它抗压、防震、轻巧而稳定，所有这些结果都是将其概括为数学征询题所获得的。