数学学科浅析应用二阶导数求函数的单调性.doc

数学论文之浅析应用二阶导数求函数的单调性   浅析应用二阶导数求函数的单调性                                               蔡圣兵  徐春桃定义：函数f（x）的（一阶）导函数f（x）在x的导数，称为函数f（x）在x的二阶导数，表示为f（x），即f（x）=limx0f(x+x)f(x)x笔者对应用二阶导数来研究函数的单调性作了小许尝试，下面就以部分地区的调研试题为例作说明：例1：（2007年东北三校）假设函数f（x）=sinxx，且0x1x21，设a=sinx1x1，b=sinx2x2，则a、b的大小关系是（）AabBabCa=bDa、b的大小不能确定【解析】此题特别容易想到去研究函数y=sinxx在x（0，1）的单调性由f（x）=sinxx得f（x）=xcosxsinxx2，再记g（x）=xcosxsinx，g（x）=xsinx+cosxcosx=xsinx，0x1，g（x）0，即函数g（x）在（0，1）上是减函数，g（x）g（0）=0，因而f（x）0，故函数f（x）在（0，1）是减函数，f（x1）f（x2），即ab，应选A【点评】此题用二阶导数的思想研究y=g（x）的单调性，从而到达求y=f（x）单调性的目的因而，此题也能够如下处理：由f（x）=xcosxsinxx2=cosx(xtanx)x2，又x（0，1）（0，2），我们易证xtanx，f（x）0，f（x）在（0，1）单调递减，f（x1）f（x2），即ab，因而选A例2：（2008黄冈模仿）已经明白函数f（x）=1+ln(x+1)x（x0）（1）函数f（x）在区间（0，+）上是增函数仍然减函数？证明你的结论；（2）假设当x0时，f（x）kx+1恒成立，求正整数k的最小值【解析】第（1）征询可直截了当求导得f（x）=1x21x+1+ln（x+1），易知f（x）0，故函数f（x）在区间（0，+）上是减函数第（2）征询：当x0时，f（x）kx+1恒成立即h（x）=(x+1)1+ln(x+1)xk对任意x0恒成立也即h（x）（x0）的最小值大于k又h（x）=x1ln(x+1)x2又记（x）=x1ln（x+1）（x0）则（x）=1x+10（x）在（0，+）上连续递增又（2）=1ln30，（3）=22ln20即（2）（3）0（x）=0存在唯一根x=m，且m（2，3）即（m）=0，也即m1ln（m+1）=0x（0，m）m（m，+）（x）0+h（x）0+h（x）极小值h（x）min=h（m）=(m+1)1+ln(m+1)m=（m+1）mm=m+1km+1又m+1（3，4）故正整数k的最大值为3【评注】此题也是通过研究（x）的单调性进而来确定f（x）的单调性另外，我们也能够按以下思路处理：先取x=1，计算得k2（1+ln2）4，并由此猜测k的最大值为3，然后再进展论证（请同学们本人尝试）例3：（武汉市2009届高中毕业生二月调研考试）已经明白函数f（x）=sinx3cosxx（0x2）（1）求f（x）的导数f（x）；（2）求证：不等式sin3xx3cosx在（0，2上恒成立；（3）求g（x）=1sin2x1x2（0x2）的最大值【解析】（1）直截了当用公式求解得f（x）=cos23x+13sin2xcos43x1.（2）记G（x）=f（x）=cos23x+13sin2xcos43x1，则G（x）=23cos-13x(sinx)+132sinxcosxcos43x+sin2x(43)cos73x(sinx)=49sin3xcos73x0.即G（x）0在x（0，2）恒成立G（x）在x（0，2）为增函数G（x）G（0）=0，也即f（x）0在x（0，2）恒成立f（x）在x（0，2）也为增函数f（x）f（0）=0，即sinx3cosxxsin3xx3cosx又当x=2时，经计算sin3xx3cosx成立因而sin3xx3cosx0在x（0，2上恒成立（3）由（2）知g（x）=2(sin3xx3cosx)x3sin3x0在x（0，2恒成立g（x）在（0，2上单调递增g（x）g（2）=142g（x）的最大值为142【点评】此题是2009年武汉市二月调考的压轴题，从学生的答卷来看，第（2）征询得分不够理想，假假设同学们熟知二阶导数的思想，那征询题就可迎刃而解了导数的应用已由处理函数、数列、不等式征询题的辅助工具上升为处理征询题的必不可少的工具，特别是利用导数来处理函数的单调性与最（极）值征询题已成为炙手可热的热点导数应用在高考中经历了2004年的“课本变式”期，2005年、2006年的“根本应用”期，2007年、2008年的“灵敏运用”期，我认为如今我们要特别关注导数应用的创新，而高等数学知识的下放又是创新的一个重要方面，因而，二阶导数的合理使用应是我们复习关注的重点（原载2009年6月语数外学习）