2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.2 抛物线的几何性质学案 苏教版选修1-1.doc

12.4.22.4.2 抛物线的几何性质抛物线的几何性质学习目标：1.了解抛物线的简单的几何性质，如范围、对称性、顶点和离心率等 2.会用抛物线的几何性质处理简单的实际问题(难点)自 主 预 习·探 新 知抛物线的几何性质类型y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)图象焦点F(p 2，0)F(p 2，0)F(0，p 2)F(0，p 2)准线xp 2xp 2yp 2yp 2范围x0，yR Rx0，yR RxR R，y0xR R，y0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e1性质开口方向向右向左向上向下基础自测1判断正误：(1)抛物线是中心对称图形( )(2)抛物线的范围是xR R.( )(3)抛物线是轴对称图形( )【解析】 (1)×.在抛物线方程中，以x代x，y代y，方程发生了变化，故抛物线不是中心对称图形(2)×.抛物线的方程不同，其范围就不同，如y22px(p0)的范围是x0，yR R.(3).抛物线y2±2py(p0)的对称轴是x轴，抛物线x2±2py(p0)的对称轴是y轴【答案】 (1)× (2)× (3)2抛物线y22px(p0)上一点M到焦点的距离是a，则点M的横坐标是(ap 2)_. 【导学号：95902138】2【解析】 由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a .p 2p 2【答案】 ap 2合 作 探 究·攻 重 难抛物线的方程及其几何性质(1)设O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若2PF4，则POF的面积为_2(2)已知拋物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与拋物线交于A、B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于 4，求此拋物线的标准方程. 思路探究 (1)利用抛物线的对称性及等边三角形的性质求解；(2)设出抛物线的标准方程，根据抛物线的对称性表示出三角形的面积，解方程可得抛物线方程中的参数，即得抛物线的方程【自主解答】 (1)如图，设P(x0，y0)，由PFx04，22得x03，代入抛物线方程得y4×324.22 022所以y02.所以SPOFOF·y0 ××22.61 21 2263【答案】 23(2)由题意，设拋物线方程为y2ax(a0)焦点F，直线l：x ，(a 4，0)a 4A、B两点的坐标分别为，(a 4，a 2) (a 4，a 2)ABa，OAB的面积为 4， · ·a4，a±4，拋物线的方程为y2±4x.1 2a 422规律方法 1求抛物线的标准方程时，目标就是求解p，只要列出一个关于p的方程即可求解2求抛物线的标准方程要明确四个步骤：(1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口)；(2)设方程(根据焦点和开口设出标准方程)；3(3)找关系(根据条件列出关于p的方程)；(4)得出抛物线的标准方程跟踪训练1已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为 2，若抛物线x2 a2y2 b2C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为 2，求抛物线C2的方程. 【导学号：95902139】【解】 双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为 2，x2 a2y2 b2 2，ba，c aa2b2a3双曲线的渐近线方程为x±yc，3抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为(0，p 2)2，p8，|3 × 0 ±p 2| 2所求的抛物线方程为x216y.抛物线中的应用题河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水面宽为 8 米，一小船宽 4 米，高 2 米，载货后船露出水面上的部分高 米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小3 4船开始不能通航？思路探究 建系设方程求方程求出相关量解决问题【自主解答】 如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x22py(p>0)，由题意，将B(4，5)代入方程得p ，抛物线方程为x2y.当船的两侧和8 516 5拱桥接触时船不能通航设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由 22yA，得yA .16 55 4又知船露出水面上部分为 米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h|yA| 2(米)，3 43 4即水面上涨到距抛物线拱顶 2 米时，小船不能通航4规律方法 1本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题2以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线主要体现在：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程(2)利用已求方程求点的坐标跟踪训练2某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如 2­4­1 图所示，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽 3 米，车与箱共高 4.5 米，问此车能否通过此隧道？说明理由. 【导学号：95902140】图 2­4­1【解】 建立如图所示的平面直角坐标系，则B(3，3)，A(3，3)设抛物线方程为x22py(p0)，将B点的坐标代入，得 92p·(3)，p ，抛物线方程为x23y(3y0)3 2车与箱共高 4.5 m，集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶 0.5 m设抛物线上点D的坐标为(x0，0.5)，D的坐标为(x0，0.5)，则x3×(0.5)，解得x0±±.2 03 262|DD|2|x0|3，故此车不能通过隧道.6直线与抛物线的综合应用探究问题1直线l过抛物线y22px(p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB的长是多少？【提示】 由抛物线的定义可知AFx1 ，BFx2 ，p 2p 25所以ABAFBFx1 x2 x1x2p.p 2p 22斜率为k的直线l与抛物线y22px(p0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的长是多少？【提示】 设直线l的方程为ykxm，则ABx1x22y1y22x1x22kx1mkx2m2|x1x2|.1k2x1x221k2这个公式称为弦长公式(1)已知过抛物线y26x焦点的弦长为 12，则该弦所在直线的倾斜角是_(2)求顶点在原点，焦点在x轴上且截直线 2xy10 所得弦长为的抛物线方15程思路探究 (1)应用焦半径公式求解；(2)应用弦长公式求解【自主解答】 (1)抛物线的焦点为.设直线方程为yk，与方程y26x(3 2，0)(x3 2)联立得：4k2x2(12k224)x9k20.设直线与抛物线交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)x1x2，x1x23312.3k26 k23k26 k2k21，k±1.故弦所在直线的倾斜角是或 . 43 4【答案】 或 43 4(2)设所求抛物线方程为y2ax(a0) 直线方程变形为y2x1 设抛物线截直线得弦长为AB，将代入整理得 4x2(4a)x10，则AB.解得a12 或a4.15故所求抛物线方程为y212x或y24x.规律方法 直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于Ax1，y1，Bx2，y2两点，直线的斜率为k.1一般的弦长公式：|AB|x1x2|.1k22焦点弦长公式：当直线经过抛物线y22pxp0的焦点时，弦长|AB|x1x2p.3求弦长时，为简化计算常常借助根与系数的关系，这样可以避免分别求x1，x2的麻烦，如果是利用弦长求参数的问题，只需要列出参数的方程或不等式即可求解，而6x1，y2或y1，x2一般是求不出来的.跟踪训练3过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为 45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为 8，则p_. 【导学号：95902141】【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线倾斜角为 45°，过抛物线焦点，所以可设直线方程为yx ，代入抛物线方程得2px，即x23px0，故p 2(xp 2)2p2 4x1x23p，由抛物线的定义可知，|AB|x1 x2 x1x2p4p8，因此p2.p 2p 2【答案】 2构建·体系当 堂 达 标·固 双 基1过抛物线y24x的焦点作直线与抛物线相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1x28，则PQ的值为_. 【导学号：95902142】【解析】 PQx1x2210.【答案】 102.如图 2­4­2，已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y26x上，O是坐标原点，则AOB的边长为_图 2­4­2【解析】 设AOB边长为a，则A，6×a.a12.(32a，a2)a2 4323【答案】 1233.如图 2­4­3 所示是抛物线形拱桥，当水面在 1 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，水面宽_米. 7【导学号：95902143】图 2­4­3【解析】 设水面与拱桥的一个交点为A，如图所示，建立平面直角坐标系，则A的坐标为(2，2)设抛物线方程为x22py(p>0)，则 222p×(2)，得p1.设水位下降 1 米后水面与拱桥的交点坐标为(x0，3)，则x6，解得x0±，所2 06以水面宽为 2米6【答案】 264已知点P(6，y)在抛物线y22px(p0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于_【解析】 抛物线y22px(p0)的准线为x ，因为P(6，y)为抛物线上的点，p 2所以P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以 6 8，所以p4，焦点F到抛物线p 2准线的距离等于 4.【答案】 45若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且AM，AF3，求此抛物线的标准方程17【解】 设所求抛物线的标准方程为x22py(p0)，设A(x0，y0)，由题知M.AF3，y0 3，AM，(0，p 2)p 217x17，2 0(y0p 2)2x8，代入方程x2py0得，82p，解得p2 或p4.2 02 0(3p 2)所求抛物线的标准方程为 x24y 或 x28y.