第10章圆锥曲线-1 椭圆及其性质（理科）.docx

第十章圆锥曲线第1节椭圆及其性质题型113椭圆的定义与标准方程221. （2014大纲理6）已知椭圆C：=+与=1（4>。）的左、右焦点为耳，鸟，离心 a tr率为手.，过尸2的直线/交。于A，6两点，若耳3的周长为4"，则c的方程为22A.二+匕二132B, + y2 = 1322C, 土+ 上=112 822D. 土+ 乙=112 42. （2014安徽理14）设，尸2分别是椭圆£：2. （2014安徽理14）设，尸2分别是椭圆£：2/+： = 1的左、右焦点,已知双曲线£过点片的直线交椭圆石于A , 3两点，若1M1 = 3忸用，轴，则椭圆石的方程为223. （2014辽宁理15）已知椭圆C： 土+ 2L = 1，点/与。的焦点不重合.若加关于。94的焦点的对称点分别为A , B，线段脑V的中点在。上，则AN + BN =（2014福建理19）（本小题满分13分） 030）的两条渐近线分别为4 ： y = 21,l2:y = -2x.（1）求双曲线E的离心率；（2）如图所示，。为坐标原点，动直线/分别交直线/1,，2于45两点（A,B 分别在第一，四象限），且OA8的面积恒为8,试探究：是否存在总与直线/有 且只有一个公共点的双曲线E?若存在，求出双曲线£的方程；若不存在，说明理由.Pb交于点M，与y轴交于点E.若直线3M经过。石的中点，则C的离心率为 ( ).A.-B.C.-D.一32341L A解析 根据题意，作出图像，如图所示.因为点N为的中点，所以OF OE a 1 a ac 1ON _ a _2，又二，所以二，得，= 3。，即£= 二 .7777 =MF a-c 2 a-c a + ca 3MF a + c MF故选A.12. (2016浙江理19)如图所示，设椭圆+y2=i a(1)求直线丁 二丘+ 1被椭圆截得的线段长(用。、k表示)；(2)若任意以点4(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.13. 解析(1)设直线=h+ 1被椭圆截得的线段为40，y = kx + 联立方程公二1得（1 + ci k x + 242Ax 0 ,解得 X = 0 ,_202k 因此 I ap 卜 VTTI7 w _ 司=.(2)联立圆与椭圆的方程，观察易知圆与椭圆的公共点至多有4个.当有4个公共点时, 由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点尸，。，满足|力尸| 二 |ZQ|.记直线为尸，力。的斜率分别为勺，k?,所以左，女20，匕工人2所以直线4P，AP =AP =2a2 k Jl + k； 'MQ.+ a2kl,所以 2a2 图 += 2a-'1+ a2kl + a2k；/Q的方程为y =左户+ 1, 丁 =左2尤+ 1.由(1)知,变形得一%）1 +左；+后+"2（2_q2尼片=0 由于匕k2,kk2 0得1+左：+后+2（2一2）%2月二。,因此、+ 1 =1+2（/一2）,7因为式关于K，k2的方程有解的充要条件是1 + / （/2）1,即, C V CT 1由 e = =a a, C V CT 1由 e = =a a因此，任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1 V2，1-4 ，得所求离心率的取值范围为0怎少22214. （2107全国3卷理科10）已知椭圆十 ? = 1（。匕0）的左、右顶点分别为A，a2,且以线段44为直径的圆与直线云砂+2出? = 0相切，则。的离心率为（）.1 D.313.解析 因为以44为直径的圆与直线区-电+ 2h=。相切，所以圆心到直线的距离d等于半径，即d = 7粤=。，又因为。（）力（）,则上式可化简为片=3必.因为从=/ 3 可得"=3（/一/）,即二=2,所以e = £ =如.故选a. /3a 32215. （2018全国2卷理科 已知不 F?是椭圆C 5 + = 1（。"°）的左，右焦点，A是。的左顶点，点P在过A且斜率为走6A是。的左顶点，点P在过A且斜率为走6的直线上，PEE为等腰三角形,N4月P = 120。，则。的离心率为（）.A-1c- ID.4X + 4），14.解析由题意知，耳（c,0）, e（g。），A（4,0）,直线AP的方程为 =走（6因为耳鸟为等腰三角形，/片与。=120。，所以|尸闻二|耳闾= 2c, ZPF2x = 600,设点 P 的坐标为（%,%），则玉）=c + 2c- cos60 =2c , % =2csin60 = J5c ，将 P（2c,百c）代入=与（九+ q）得，J5c = （2c + q），所以q = 4c,所以椭圆C的离心 率e = £ = ' .故选D.a 42215. （2018上海13）设P是椭圆工+匕=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之 53和为（）.（A） 2a/2（B） 273（C） 275（D） 472.解析由题意得，=石，根据椭圆的定义可得点P到两焦点的距离之和为2。= 26. 故选C.15 .（2018北京理14）已知椭圆 丫22,双曲线 22.若双曲线N的两条V：f + = = 1N:r= = 1a bm n渐近线与椭圆m的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的 离心率为;双曲线n的离心率为.16.解析 设正六边形边长为/；根据椭圆的定义2 = （6 + 1），2c = 2t, e椭圆=£ =6-1.双曲线的渐近线方程为y = ±Gx, 2 =百，所以e双曲线=$=2.八乂aa题型115椭圆焦点三角形暂无5. （2016北京理19 （1）已知椭圆。：b0）的离心率为B（0,b）, 0（0,0）, 。钻的面积为1.求椭圆。的方程;5 .解析可先作出本题的图形：八走a 2由题设，可得/=/+/（）171ab = 12解得。=2力=1 ,所以椭圆。的方程是七+y2=l.46. （2016山东理21 （1）平面直角坐标系中，椭圆C：22+与=1 (人。)的离a2 b2心率是 2抛物线E： / = 2的焦点F是C的一个顶点.求椭圆C的方程;6.解析由题意知如± =且 a 2（1）可得：a = 2b .因为抛物线E的焦点为尸0,-,所以I 2J所以椭圆C的方程为V+4y2=L7. (2016天津理19 (1)设椭圆二+匕=1 a2 3的右焦点为尸，右顶点为A ,已知11 3e两+两二两其中。为原点，e为椭圆的离心率.求椭圆的方程.8. 解析由1 3c1=OF OA FA1 1 3cn 0，即厂厂时？可得优c=3c.22又Q?/=2=3,所以。2=1,因此 2 =4,所以椭圆的方程为土+匕=1.4 3A/ B指 C - D -33398.解析由椭圆方程可得，=9万=4,所以02=>2=5 ,所以 =3, c = 5e = g = X| .故选 B.a 3229.(2017江苏17(1)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：二+二=1 (>b>0) a- b的左、右焦点分别为白，鸟，离心率为;，两准线之间的距离为8 .点P在椭圆£上，且位于第一象限，过点鸟作直线尸耳的垂线4,过点尸2作直线尸尸2的垂线4.求椭圆E的标准 方程.9.解析设椭圆的半焦距为c,由题意c 1e = = a 22/ 二8一 c解得=5所以椭圆石的标准方程为9 x2210. (2017山东理21 (1)在平面直角坐标系工。)，中，椭圆石:1+斗=1(万0)的离 a b心率为也，焦距为2 .求椭圆石的方程. 21。.解析由题意知e = - = -, 2c = 2,所以a = 6，b = T ,因此椭圆石的方程为 a 22211.(2107全国 1 卷理科20(1)已知椭圆 C：1 + 方( 匕0),四点 4(1,1), £(0,1),片-1，弓，心"，等中恰有三点在椭圆C上.求。的方程；11 .解析 根据椭圆对称性，必过2,又2横坐标为1,椭圆必不过4,所以过p?，P、，4三点,将鸟（。，1），A -ip?，P、，4三点,将鸟（。，1），A -i2)代入椭圆方程得b23± + i = lU2 h2解得片=4,r2片“所以椭圆c的方程为丁x2 %212. （2018天津理19）设椭圆f + f = 1（>"）的左焦点为R上顶点为及已知椭圆的离 a b心率为点A的坐标为3,0）,且恒3|AB|=6a/2.（I）求椭圆的方程;（II）设直线/： > =日（左>0）与椭圆在第一象限的交点为P,且/与直线A8交于点Q.若24 = sin/AOQ（。为原点），求我的值.PQ 4 丫12.命题意图 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.c2 5解析（I）设椭圆的焦距为2c,由己知有二=3,又由/=从+。2,可得加= 30.a2 9由已知可得,FB = a9 AB = >/2b9 FB-AB = 6>/2 ,可得。/? = 6,从而。=3, b = 2.22所以，椭圆的方程为上+乙=1. 94（II ）设点P的坐标为（%, %）,点。的坐标为（孙为）由己知有y >%> 0，故|PQsin ZAOQ = yx- y2 又因为|2| =-夏 ，而 OAB = ,故 |AQ| = 0%由 =,可得 5y =9为,sin ZOAB4PQ 4由方程组产区'6kx2 y2 1消去x,可得乂 =不194易知直线AB的方程为x+y-2 = 0,由方程组y = kx,2k-2 =。，消去可得%由5y=叫，可得（攵+1）-3飞9k2 + 4，两边平方，整理得56850攵+ 11 = 0，解得攵=：,或左二£ 228所以，%的值为1或点 Z Zo题型114椭圆离心率的值及取值范围九21. （2013江苏12）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为： ay2+ 次=1("0乃0),右焦点为尸，右准线为/,短轴的一个端点为8,设原点到直线3尸的距离为4,尸到/的距离为&，若出=后4,则椭圆。的离心率为一r22. （2013福建理14）椭圆:二CT2+方=1（ > b0）的左右焦点分别为耳,耳，焦距为2c,若直线丁 =6（ +。）与椭圆厂的一个交点满足则该椭圆的离心率等于3. （2014湖北理9）已知月，工是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且IT/FPF?= 一，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）.A.名B.lC.3D.2334. （2014江西理15）过点”（1,1）作斜率为-;的直线与椭圆C：相交于A3两点，若M是线段48的中点，则椭圆C的离心率等于5. （2014江苏理17）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1,2x2 分别是椭圆二十CIy1=1 （。>6>0）的左、右焦点，顶点8的坐标为3（0涉），连结38并延长交椭圆于点A,过点A作X轴的垂线交椭圆于另一点。，连结打<4 1A/-（1）若点。的坐标为，且陷=也，求椭圆的方程 3 3y（2）若大C，AB,求椭圆离心率e的值.6. （2014北京理19）（本小题14分）已知椭圆C：/ + 2y2 = 4,（1）求椭圆。的离心率.7. （2015安徽理20）设椭圆£的方程为22方方=1（八"0），点。为坐标原点，点A的坐标为（，0）,点3的坐标为（0"）,点M在线段43上，满足忸M| = 2|M4,直线。用的斜率为且.10（1）求椭圆E的离心率e；（2）设点。的坐标为（0,一3，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵7坐标为不，求椭圆£的方程.2.解析（1）由题设条件知，点M的坐标为又从而2 =正，13 3 J 0” w 2a 10即。=回，所以c = J1=加 故e 一二正. a 5点N的坐标为-b,b 22则线段NS的中点7的坐标为（7 A.设点N关于直线A3的对称点S的坐标为 加彳I 2 J又点T在直线上，且攵码38=一1，从而有=122解得人=3,所以 =3石，所以椭圆E的方程为土+乙=1. 45 97. （2015重庆理21）如图所示，椭圆T +方=1（人0）的左、右焦点分别为£，过尸2的直线交椭圆于尸，。两点，且P0_L尸片.若|P制= 2 + JL |P£| = 2 JL 求椭圆的标准方程.（2）若归凰=|尸。,求椭圆的离心率e.8.解析 由椭圆的定义2 = |P耳| + |尸周=（2 +&）+（2&） = 4,故 =2. 设椭圆的半焦距为c,由已知尸尸2 1P£,因此2° =山周=J|尸制2+归国2 = J（2 + V5）2+（2 &）2 =26，即0 二百，从而 b =.r2故所求椭圆的标准方程为二+V =1.4（2）如图所示，连接。耳，由椭圆的定义，|防| +局=2，|Q制+|。闾=2, 从而由归耳|=|尸0,有I。耳|=4a-2|尸团.又由P"_LPQ, |P4|=|尸。,知|04| =阀耳I，因此,4 - 2|/制二拒 P耳|,得归制=2（2 0）a.从而 1Pgi = 2一|尸盟=2a 22 y/2a = 2y/2 la.由PF2 1片，知|P用之+|P图2 =,目2 =（2c）2 ,因此 e = £ = M*RP用2 = J（2& 丫+（血 1）2=6 = 6好 a 2a22（2016浙江理7）已知椭圆G：二+ /=1（根1）与双曲线C：。丁=1（0）的 mrr焦点重合，q, J分别为G，。2的离心率，则（）.A.” > 且 ee2 > 1B.m> 且6G <19 .A解析 因为两个圆锥曲线的焦点重合，所以加21 = "+1，即加2二，+2.因为e： = m 1m-n +1 一 ,厂，所以n/ + 2/ + 1 n + 2n22210 .（2016江苏10）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，尸是椭圆1 +=1 （ab0）b的右焦点，直线y =.与椭圆交于伉。两点，且ZB/C = 90。，则该椭圆的离心率是小亍，5）由/B/C = 90°,可得丽丽=0，BF =8a b'C H,227IO.如 解析 由题意得尸（C,O）,直线y = g与椭圆方程联立, 3可得3 ,，2 231则/_/+2=o,由/ /3 n 1 ?c可得了则e =二42a评注另外也可以结合评注另外也可以结合CF + BF = 2a A，得 CF2+2CFBF + BF2=4"，BC =CFBF = -a2 2而 S&BCF而 S&BCF= -CFBF = -a2 =-CBJt = -进而e = B.设BC与y轴的交点为A,则经典转化ZB/C = 90。O 以5C为直径的圆 3过点尸u丽.丽= 0oAb = ；3C.22. （2016全国丙理11）已知0为坐标原点，方是椭圆C： 0 +3=1（。/?。）的左焦点，A，8分别为。的左，右顶点.P为。上一点，且轴.过点A的直线/与线段228.（2017浙江2）椭圆土 +匕=1的离心率是（）.94（2）由题设条件和的计算结果可得直线48的方程为及+楙=1,