2019高中数学 第二章 平面向量检测A 新人教B版必修4.doc
1第二章平面向量第二章平面向量检测(A)(时间:90 分钟 满分:120 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.1.下列说法中正确的是( )A.两个单位向量的数量积为 1B.若 a a·b=ab=a·c c,且 a a0 0,则 b=cb=cC. = + D.若 b bc c,则(a+ca+c)·b=ab=a·b b解析:由于 b bc c,所以 b b·c c=0,因此(a+ca+c)·b=ab=a·b+cb+c·b=ab=a·b b,故 D 项正确.答案:D2.2.设 e e 是单位向量,=2e e,=-2e e,|=2,则四边形ABCD一定是( )A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析:由=2e e,=-2e e 知,所以四边形ABCD为平行四边形. = 又|=|=|=2,所以四边形ABCD为菱形.答案:B3.3.已知 a a=(-6,y),b b=(-2,1),且 a a 与 b b 共线,则y等于( )A.-6B.6C.3D.-3解析:由于 a ab b,所以-6×1=-2y,y=3.答案:C4.4.已知|a a|=|b b|=1,a a 与 b b 的夹角为 90°,且 c c=2a a+3b b,d d=ka a-4b b,若 c cd d,则实数k的值为 ( )A.6B.-6C.3D.-3解析:因为 c cd d,所以 c c·d d=0,即(2a+a+3b b)·(ka a-4b b)=2k-12=0,解得k=6.答案:A25.5.已知|a a|=1,|b b|=,且 a a(a-ba-b),则向量 a a 与向量 b b 的夹角是( )2A.30°B.45°C.90°D.135°解析:因为 a a(a-ba-b),所以 a a·(a-ba-b)= =0,即|a|a|2-a-a·b=b=0,于是 1-1××cos=0,cos=,22 2故=45°.答案:B6.6.已知一物体在共点力 F F1=(lg 5,lg 2),F F2=(lg 2,lg 2)的作用下产生位移 s s=(2lg 5,1),则此物体在共点力的作用下所做的功为( )A.lg 2B.lg 5C.2D.3解析:所做的功W=(F F1+F F2)·s s=(lg 5+lg 2,2lg 2)·(2lg 5,1)=(1,2lg 2)·(2lg 5,1)=2lg 5+2lg 2=2.答案:C7.7.在ABC中,若()·=|2,则ABC的形状一定是( ) + A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析:()·=()·()=|2-|2, + + 于是|2-|2=|2,所以|2=|2+|2,故ABC是直角三角形.答案:C8.8.在ABC中,M是BC的中点,AM=1,若点P在AM上,且满足=2,则·()等于( ) + A.-B.-C.D.解析:因为AM=1,=2,所以|=.于是·()=·(2)=-|2=- . + ·4 93答案:A9.9.在ABC中,AB边的高为CD,若=a a,=b b,a a·b b=0,|a a|=1,|b b|=2,则等于( )A. a-ba-bB. a-ba-bC. a-ba-bD. a-ba-b解析:因为 a a·b b=0,所以ACB=90°,于是AB=,CD=,52 5 5所以BD=,AD=,即ADBD=41,5 54 5 5所以)=a-a- b b. =4 5 =4 5( 4 54 5答案:D10.10.定义:|a ab|=|a|bb|=|a|b|sin ,其中为向量 a a 与 b b 的夹角.若|a a|=2,|b b|=5,a a·b b=-6,则|a|ab|b|等于( )A.-8B.8C.8 或-8D.6解析:因为 a a·b b=-6,所以-6=2×5×cos ,于是 cos =-,从而 sin =,3 54 5故|a ab b|=|a a|b b|sin =2×5× =8.4 5答案:B二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.11.已知单位向量 e e1,e e2的夹角为 60°,则|2e e1-e e2|= . 解析:|2e e1-e-e2|=|=.(21- 2)2= 4|1|2- 41·2+ |2|2= 4 - 4 ×1 2+ 1 = 3答案:312.12.已知|a a|=10,|b b|=8,a a 与 b b 的夹角为 120°,则向量 b b 在向量 a a 方向上的射影的数量等于 .解析:b b 在 a a 方向上的射影的数量为=|b=|b|cos=8×cos 120°=-4.·|答案:-413.13.已知 a a=(1,1), b b=(1,0),c c 满足 a a·c=c=0,且|a|=|c|a|=|c|,b b·c>c>0,则 c=c= . 4解析:设 c c=(x,y).由 a a·c c=0,得x+y=0.由|a a|=|c c|,得x2+y2=2.由,得 = 1, = - 1?或 = - 1, = 1.?b b·c c>0,x>0,c c=(1,-1).答案:(1,-1)14.14.在菱形ABCD中,若AC=2,则= . ·解析:设两对角线AC与BD交于点O,则AO=OC=1,于是=2·()=2-2|2=0-· ·2=-2.答案:-215.15.若 a a=(sin ,cos -2sin ),b b=(1,2),且|a a|=|b b|,则钝角等于 . 解析:因为|a|=|ba|=|b|,所以,2 + ( - 2)2= 5即 sin2+cos2+4sin2-4sin cos =5,于是 sin2-sin cos =1,从而-sin cos =cos2.因为是钝角,所以 cos 0,于是-sin =cos ,tan =-1,故=.3 4答案:3 4来源:Zxxk.Com三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.16.(8 分)已知向量 a a=(2,0),b b=(1,4).(1)求 2a+a+3b b,a-a-2b b;(2)若向量ka a+b b 与 a+a+2b b 平行,求k的值.解:(1)a a=(2,0),b b=(1,4),2a+a+3b b=2(2,0)+3(1,4)=(4,0)+(3,12)=(7,12),a-a-2b b=(2,0)-2(1,4)=(2,0)-(2,8)=(0,-8).(2)依题意得ka a+b b=(2k,0)+(1,4)=(2k+1,4),a+a+2b b=(2,0)+(2,8)=(4,8).向量ka a+b b 与 a a+2b b 平行,8(2k+1)-4×4=0,解得k= .1 2517.17.(8 分)已知向量 a a=(sin -cos ,2cos +sin ),b b=(1,2).(1)若 a ab b,求 tan 的值;(2)若 a ab b,求的值.解:(1)由 a ab b,得 2(sin -cos )=2cos +sin ,即 2sin -2cos =2cos +sin ,所以 sin =4cos ,于是 tan =4. (2)由 a ab b,得 sin -cos +2(2cos +sin )=0,即 3sin +3cos =0,即 sin +cos =0,从而 tan =-1,故=k+(kZ Z).3 418.18.(9 分)如图,已知AC,BD是梯形ABCD的对角线,E,F分别是BD,AC的中点.求证:EFBC.证明设=a a,=b b,则=b-ab-a. = ,=b b(R R,0,且1). E为BD的中点,(b-ab-a). =1 2 =1 2F为AC的中点, = + = +1 2=) +1 2( =)=)=(b b-a a),1 2( + 1 2( 1 2(b b-a a)-(b-ab-a) = =1 21 2=b b=.(1 2 -1 2)1 (1 2 -1 2)6EFBC.19.19.(10 分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.解:(1)由题设知=(3,5),=(-1,1),则=(2,6),=(4,4). + 所以|=2,|=4. + 22+ 6210 42+ 422故所求的两条对角线的长分别为 2,4.102(2)由题设知=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)·=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,从而 5t=-11,所以t=-.11 520.20.(10 分)如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN=BM.(1)求证:M是CD的中点;(2)若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求的最小值.·(1)证明设=m=n,由题意知)=+m)=. =2 3 =2 3( + 2 3(2 3 +2 3又+n+n()=(1-n)+n, = + = = + 72 3= 1 - ,2 3 = ,?解得 =1 2, =1 3.?=m,即M是CD的中点. =1 2(2)解:以B为原点,AB所在直线为x轴,BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则由题意可设点H(-x,x),且 0<x1,A(-2,0),B(0,0).=(2-x,x),=(x,-x),=(2-x)x-x2=2x-2x2·=-2.( -1 2)2+1 2又 0<x1,当x=1,即H与M重合时,取得最小值,且最小值为 0.·
