1.2命题及其关系、充分条件与必要条件.ppt

要点梳理要点梳理1.1.命题的概念命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的在数学中用语言、符号或式子表达的,能够能够_ _ _ _的陈述句叫做命题的陈述句叫做命题.其中其中_的语句叫真命的语句叫真命 题题,_,_的语句叫假命题的语句叫假命题.1.21.2 命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件基础知识基础知识 自主学习自主学习判断真判断真假假判断为真判断为真判断为假判断为假2.2.四种命题及其关系四种命题及其关系 (1)(1)四种命题四种命题 (2)(2)四种命题间的逆否关系四种命题间的逆否关系 命题命题表述形式表述形式原命题原命题若若p p,则则q q逆命题逆命题_否命题否命题_逆否命题逆否命题_若若q q,则则p p逆命题逆命题逆否命题逆否命题否命题否命题 (3)(3)四种命题的真假关系四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题两个命题互为逆否命题,它们有它们有_的真假性的真假性;两个命题互为逆命题或互为否命题两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假它们的真假 性性_._.3.3.充分条件与必要条件充分条件与必要条件 (1)(1)如果如果p pq q,则则p p是是q q的的_,_,q q是是p p的的_;_;(2)(2)如果如果p pq q,q qp p,则则p p是是q q的的_._.4.4.特别注意特别注意:命题的否命题是既否定命题的条件命题的否命题是既否定命题的条件,又否又否 定命题的结论定命题的结论;而命题的否定是只否定命题的结论而命题的否定是只否定命题的结论.相同相同没有关系没有关系充分条件充分条件必要条件必要条件充要条件充要条件基础自测基础自测1.1.有下列四个命题有下列四个命题:“若若x x+y y=0,=0,则则x x、y y互为相反数互为相反数”的逆命题的逆命题;“若若a a b b,则则a a2 2 b b2 2”的逆否命题的逆否命题;“若若x x-3,-3,则则x x2 2+x x-60-60”的否命题的否命题;“若若a ab b是无理数是无理数,则则a a、b b是无理数是无理数”的逆命题的逆命题.其中真命题是其中真命题是_._.解析解析 正确正确,错错,错错,在在中中,令令 则则a ab b=2=2是有理数是有理数,故故错错.2.2.（20102010南通调研）南通调研）“x x11”是是“x x2 2 x x”的的 _条件条件.解析解析 x x11x x2 2 x x,x x2 2 x xx x1.1.3.3.(2010(2010苏锡常镇四市模拟苏锡常镇四市模拟)已知集合已知集合A A=x x|x x5,5,集集 合合B B=x x|x x a a,若命题若命题“x xA A”是命题是命题“x xB B”的充的充 分不必要条件分不必要条件,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.解析解析 由题意可得由题意可得A A是是B B的真子集的真子集,故故a a55为所求为所求.a a55充分不必要充分不必要充分不必要充分不必要【例例1 1】(2010(2010南京调研南京调研)判断命题判断命题“若若a a0,0,则则x x2 2+x x-a a=0=0有实根有实根”的逆否命题的真假的逆否命题的真假.解解 方法一方法一 写出逆否命题写出逆否命题,再判断其真假再判断其真假.原命题原命题:若若a a0,0,则则x x2 2+x x-a a=0=0有实根有实根,逆否命题逆否命题:若若x x2 2+x x-a a=0=0无实根无实根,则则a a0,0,判断如下判断如下:x x2 2+x x-a a=0=0无实根无实根,=1+4=1+4a a0,0,“若若x x2 2+x x-a a=0=0无实根无实根,则则a a00,+10,方程方程x x2 2+x x-a a=0=0的判别式的判别式=4=4a a+10,+10,方程方程x x2 2+x x-a a=0=0有实根有实根,故原命题故原命题“若若a a0,0,则则x x2 2+x x-a a=0=0有实根有实根”为真命题为真命题.又因原命题与其逆否命题等价又因原命题与其逆否命题等价,所以所以“若若a a00，则，则x x2 2+x x-a a=0=0有实根有实根”的逆否命题为真的逆否命题为真命题命题.跟踪练习跟踪练习1 1 (2008(2008广东改编广东改编)命题命题:“若函数若函数f f(x x)=)=logloga ax x(a a00且且a a1)1)在其定义域内是减函数在其定义域内是减函数,则则logloga a2 2 0 00且且a a1)1)在定义域内不是减函数在定义域内不是减函数【例例2 2】指出下列命题中指出下列命题中,p p是是q q的什么条件的什么条件(在在“充分充分 不必要条件不必要条件”、“必要不充分条件必要不充分条件”、“充要条充要条 件件”、“既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件”中选出一种作答中选出一种作答).).(1)(1)在在ABCABC中中,p p:A A=B B,q q:sin:sin A A=sin=sin B B;(2)(2)对于实数对于实数x x、y y,p p:x x+y y8,8,q q:x x22或或y y6;6;(3)(3)非空集合非空集合A A、B B中中,p p:x xA AB B,q q:x xB B;(4)(4)已知已知x x、y yR R,p p:(:(x x-1)-1)2 2+(+(y y-2)-2)2 2=0,=0,q q:(:(x x-1)(-1)(y y-2)=0.-2)=0.解解 (1)(1)在在ABCABC中中,A A=B Bsinsin A A=sin=sin B B,反之反之,若若sin sin A A=sin=sin B B,因为因为A A与与B B不可能互补不可能互补(因为三因为三角形三个内角和为角形三个内角和为180180),),所以只有所以只有A A=B B.故故p p是是q q的充要条件的充要条件.(2)(2)易知易知,p p:x x+y y=8,=8,q q:x x=2=2且且y y=6,=6,显然显然 的充分不必要条件的充分不必要条件,由原命题和逆否由原命题和逆否命题的等价性知命题的等价性知,p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件.(3)(3)显然显然x xA AB B不一定有不一定有x xB B,但但x xB B一定有一定有x x A AB B,所以所以p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件.(4)(4)由已知得由已知得p p:x x=1=1且且y y=2,=2,q q:x x=1=1或或y y=2,=2,所以所以p pq q但但q pq p,故故p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件.跟踪练习跟踪练习2 2 (2010(2010扬州模拟扬州模拟)指出下列各组命题中指出下列各组命题中,p p是是q q的什么条件？的什么条件？(1)(1)p p:(:(x x-2)(-2)(x x-3)=0;-3)=0;q q:x x-2=0.-2=0.(2)(2)p p:四边形的对角线相等四边形的对角线相等;q q:四边形是平行四边形四边形是平行四边形.解解 (1)(1)(x x-2)(-2)(x x-3)=0 -3)=0 x x-2=0,-2=0,x x-2=0-2=0(x x-2)(-2)(x x-3)=0,-3)=0,p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件.(2)(2)四边形的对角线相等四边形的对角线相等 四边形是平行四边形四边形是平行四边形,四边形是平行四边形四边形是平行四边形 四边形的对角线相等四边形的对角线相等.p p是是q q的既不充分又不必要条件的既不充分又不必要条件.【例例3 3】(2010(2010威海质检威海质检)下列命题：下列命题：“全等三角形的面积相等全等三角形的面积相等”的逆命题；的逆命题；“若若abab0 0，则，则a a0 0”的否命题；的否命题；“正三角形的三个角均为正三角形的三个角均为6060”的逆否命题，的逆否命题，其中真命题的序号是其中真命题的序号是_(_(把所有真命题的序号填把所有真命题的序号填 在横线上在横线上)跟踪练习跟踪练习3 3 (2009(2009广东改编广东改编)给定下列四个命题给定下列四个命题:若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行那么这两个平面相互平行;若一个平面经过另一个平面的垂线若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个那么这两个 平面相互垂直平面相互垂直;垂直于同一直线的两条直线相互平行垂直于同一直线的两条直线相互平行;若两个平面垂直若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线那么一个平面内与它们的交线 不垂直的直线与另一个平面也不垂直不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中其中,为真命题的是为真命题的是_._.解析解析 当两个平面相交时当两个平面相交时,一个平面内的两条直线一个平面内的两条直线 可以平行于另一个平面可以平行于另一个平面,故故不对不对;由平面与平面垂由平面与平面垂 直的判定可知直的判定可知正确正确;空间中垂直于同一条直线的空间中垂直于同一条直线的 两条直线可以相交也可以异面两条直线可以相交也可以异面,故故不对不对;若两个平若两个平 面垂直面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直只有在一个平面内与它们的交线垂直的直 线才与另一个平面垂直线才与另一个平面垂直,故故正确正确.答案答案 【例例4 4】(14(14分分)已知抛物线已知抛物线C C:y y=-=-x x2 2+mxmx-1-1和点和点A A(3,0)(3,0),B B(0,3).(0,3).求证求证:抛物线抛物线C C与线段与线段ABAB有两个不同交点的有两个不同交点的 充要条件是充要条件是33m m 此类问题的证明应从两方面进行此类问题的证明应从两方面进行,即证明充即证明充 分性与必要性分性与必要性.解解 必要性必要性 由已知得线段由已知得线段ABAB的方程为的方程为y y=-=-x x+3(0+3(0 x x3).3).由于抛物线由于抛物线C C和线段和线段ABAB有两个不同的交点有两个不同的交点,所以方程组所以方程组 (*)(*)有两个不同的有两个不同的 实数解实数解.2.2分分 分析分析消元得消元得x x2 2-(-(m m+1)+1)x x+4=0(0+4=0(0 x x3).3).设设f f(x x)=)=x x2 2-(-(m m+1)+1)x x+4,+4,则有则有解之得解之得33m m 6 6分分 充分性充分性当当33m m 时时,88分分 所以方程所以方程x x2 2-(-(m m+1)+1)x x+4=0+4=0有两个不等的实根有两个不等的实根x x1 1,x x2 2,且且00 x x1 1 x x2 23,3,方程组方程组(*)(*)有两组不同的实数解有两组不同的实数解.综上综上,抛物线抛物线y y=-=-x x2 2+mxmx-1-1与线段与线段ABAB有两个不同交点的有两个不同交点的充要条件是充要条件是33m m 14 14分分 跟踪练习跟踪练习4 4 已知已知abab0,0,求证求证:a a+b b=1=1的充要条件是的充要条件是 a a3 3+b b3 3+abab-a a2 2-b b2 2=0.=0.证明证明 先证必要性先证必要性.a a+b b=1,=1,即即b b=1-=1-a a,a a3 3+b b3 3+abab-a a2 2-b b2 2 =a a3 3+(1-+(1-a a)3 3+a a(1-(1-a a)-)-a a2 2-(1-(1-a a)2 2 =a a3 3+1-3+1-3a a+3+3a a2 2-a a3 3+a a-a a2 2-a a2 2-1+2-1+2a a-a a2 2=0.=0.再证充分性再证充分性.a a3 3+b b3 3+abab-a a2 2-b b2 2=0,=0,即即(a a+b b)()(a a2 2-abab+b b2 2)-()-(a a2 2-abab+b b2 2)=0,)=0,(a a+b b-1)(-1)(a a2 2-abab+b b2 2)=0.)=0.abab0,0,即即a a00且且b b0,0,a a2 2-abab+b b2 2=a a+b b=1.=1.综上可知综上可知,当当abab00时时,a a+b b=1=1的充要条件是的充要条件是 a a3 3+b b3 3+abab-a a2 2-b b2 2=0.=0.高考中以考查充要条件的判断为重点高考中以考查充要条件的判断为重点,兼顾考查命题兼顾考查命题 的四种形式及命题的等价性的四种形式及命题的等价性;考查命题转换、逻辑推考查命题转换、逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力理能力和分析问题、解决问题的能力;有时以充要条有时以充要条件为载体件为载体.通常以填空题的形式出现通常以填空题的形式出现.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高高考动态展望高考动态展望1.1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必必 须保留大前提须保留大前提,也就是大前提不动；对于由多个并也就是大前提不动；对于由多个并 列条件组成的命题列条件组成的命题,在写其它三种命题时在写其它三种命题时,应把其中应把其中 一个一个(或或n n个个)作为大前提作为大前提.2.2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命但命 题与定理是有区别的；命题有真假之分题与定理是有区别的；命题有真假之分,而定理都而定理都 是真的是真的.方法规律总结方法规律总结3.3.命题的充要关系的判断方法命题的充要关系的判断方法 (1)(1)定义法定义法:直接判断若直接判断若p p则则q q、若、若q q则则p p的真假的真假.(2)(2)等价法等价法:即利用即利用 的等价关系的等价关系,对于条件对于条件 或结论是否定式的命题或结论是否定式的命题,一般运用等价法一般运用等价法.(3)(3)利用集合间的包含关系判断利用集合间的包含关系判断:若若A AB B，则，则A A是是B B 的充分条件或的充分条件或B B是是A A的必要条件的必要条件;若若A A=B B,则则A A是是B B的的 充要条件充要条件.返回返回