高中数学 必修四 知识点总结.doc

必修四知识点总结?必修四 知识点总结?第一章：三角函数知识要点一、任意角和弧度制ì正角:按逆时针方向旋转形成的角ï1、任意角í负角:按顺时针方向旋转形成的角 ï零角:不作任何旋转形成的角î2、象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 ak×360第二象限角的集合为：第一象限角的集合为：ak×360o<a<k×360o+90o,kÎZ o+90o<a<k×360o+180o,kÎZ 第三象限角的集合为：ak×360o+180o<a<k×360o+270o,kÎZ 第四象限角的集合为：ak×360o+270o<a<k×360o+360o,kÎZ终边在x轴上的角的集合为：aa=k×180o,kÎZ终边在y轴上的角的集合为：aa=k×180o+90o,kÎZ 终边在坐标轴上的角的集合为：aa=k×90o,kÎZ与角a终边相同的角的集合为：bb=k×360o+a,kÎZ 3、弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l，那么角a的弧度数的绝对值是a=ol roæ180öo1弧度制与角度制的换算公式：2p=360，1=，1=ç÷»57.3 180èpøpo2 假设扇形的圆心角为a(a为弧度制)，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，那么11 l=ra， C=2r+l， S=lr=ar2 22- 1 -必修四知识点总结 二、任意角的三角函数的定义： 设点P(x,y)是角a终边上异于原点的任一点，r=OP=sina=那么 yxy;cosa=tana=(x¹0). rrx三角函数在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦 各象限角的三角函数线： sina=MR，cosa=OM，tana=AT 三、同角的三角函数关系：平方关系：sina+cosa=1； 22商数关系：sinapæö=tanaça¹kp+,kÎZ÷ 用于切化弦 cosa2èø2 变形应用： (sinx±cosx)=1±2sinxcosx 正余弦“三兄妹sinx±cosx、 sinxcosx的内存联系-“知一求二 特别提醒： 平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1的代换 - 2 -必修四知识点总结四、诱导公式：ìsin(-x)=-sinxìsin(2kp+x)=sinxìsin(p+x)=-sinxïïï ícos(2kp+x)=cosx ícos(-x)=cosx ícos(p+x)=-cosx ïtan(-x)=-tanxïtan(2kp+x)=tanxïtan(p+x)=tanxîîîpìpììsin(p-x)=sinxsin(-a)=cosa+a)=cosaïïïï2ï2 ícos(p-x)=-cosx í íïtan(p-x)=-tanxïp-a)=sinaïp+a)=-sinaîïï2î2î 十字决：“奇变偶不变，符号看象限说明： 将“a始终视为锐角；。“奇，偶指的是除a外的角是90ç或oæèpö÷的奇数倍或偶数倍； 2ø“变，不变指的是函数名的变或不变；“符号指的是原函数的正负号，看象限指的是“( )内整体角所在的象限。特殊角的三角函数值： - 3 -必修四知识点总结五、三角函数的图像及其性质1、周期函数定义：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。注意：并非所有函数都有最小正周期，如：常数函数 y=sinx与y=cosx的周期是p.2py=sin(wx+j)或y=cos(wx+j)w¹0的周期T=. wy=Atan(wx+j)的周期为T=p w 2、正弦、余弦、正切函数的图像及其性质见下页表格- 4 - 5 - 六、函数y=Asin(wx+j)的图像和性质(1) 几个物理量：A-振幅；f=1-频率周期的倒数；wx+j-相位；j-初相； T(2) 函数y=Asin(wx+j)表达式确实定：A由最值确定；w由周期确定；j由图象上的特殊点确定；(3)函数y=Asin(wx+j)图象的画法：“五点法-设X=wx+j，令X0，p2,p,3p,2p求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描2点后得出图象； 图象变换法：这是作函数简图常用方法。 用“五点法画y=Asin(wx+j)的图像：(4) 图像的变换：由y=sinx变换得到y=Asin(wx+j)(A>0,w>0)j>0,向左平移j个单位®y=sin(x+j)(1)y=sinxj<0,向右平移个单位y=sin(x+j)¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®y=sin(wx+j)A>1,纵坐标伸长为原来的A倍，横坐标不变y=sin(wx+j)¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®y=Asin(wx+j)0<A<1,纵坐标缩短为原来的A倍，横坐标不变w>1,横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变w10<w<1,倍，纵坐标不变w1 ®y=sinwx(2)y=sinx¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾w>1,横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变w10<w<1,横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变w1jöùéæy=sinwx®y=sin(wx+j)=sinêwçx+÷úwøûëèA>1,纵坐标伸长为原来的A倍，横坐标不变y=sin(wx+j)¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®y=Asin(wx+j)0<A<1,横坐标缩短为原来的A倍，横坐标不变jj>0,图像向左平移个单位wjj<0,图像向右平移个单位w (5) 函数y=Asin(wx+j)的性质：将wx+j看做整体，利用复合函数的性质处理与y=Asin(wx+j)有关的问题.- 6 - 第二章：平面向量知识要点一、平面向量的有关概念：1向量的定义：既有_大小又有方向_的量叫做向量.2表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的_长度_表示向量的大小，用_箭头所指的方向_表示向量的方向.用字母a，b，或用AB，BC，表示. 特别提醒：1) 模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|AB|.2) 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. 3) 单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.4) 共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. 5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.6) 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量rr 二、向量的线性运算1.向量的加法：1定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.uuuruuur如图，向量a，bA，作AB=a，BC=b，那么向量叫做a与b的和，记uuuruuuruuur作a+b，即 a+b=AB+BC=ACBAB(1) 对于零向量与任一向量a，有 a+0=0+ a = a2法那么：_三角形法那么_ ，_平行四边形法那么_ 3运算律：， a+b+c=a+b+c- 7 - 2.向量的减法：1定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.向量a、b，求作向量(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a减法的三角形法那么作法：在平面OB= b, 那么BA= a - b即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a2法那么：_三角形法那么_ 3.实数与向量的积：1定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，规定：|a|=|a|.当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当=0时，a与a平行.2运算律：a=a， +a=a+a， a+b=a+b. 特别提醒： 1) 向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。2) 向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b=a ，即 baÛb=aa0.三、平面向量根本定理：如果e1，e2是同一平面rruruur (1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；ruruur (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)1 ，2 是被a，e1，e2唯一确定的数量 r - 8 - 四、平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系 a-b= (x1-x2,y1-y2) uuur2 假设A(x1,y1)，B(x2,y2)，那么AB=(x2-x1,y2-y1)rr3假设a=(x,y)和实数l，那么la=(lx,ly) 六、向量平行的充要条件的坐标表示rrrrrrr设a=(x1, y1) ，b=(x2, y2) 其中b¹a， 那么ab (b¹)的充要条件是x1y2-x2y1=0 - 9 - 七、平面向量的数量积1两个非零向量夹角的概念rvrvvr非零向量a与b，作OAa，OBb，那么 ÐAOB=q(0£q£p) 叫a与b的夹角.rv特别提醒：求夹角时向量a与向量b要同起点。2平面向量数量积|a|b|cosq 叫a与b的数量积，记作a×b，vrvr即有a×b = |a|b|cosq特别提醒：v1 .并规定0与任何向量的数量积为2 两个向量的数量积的性质：vr设a、b为两个非零向量， 3“投影的概念：如图 定义： |b|cosq 叫做向量b在a特别提醒：投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|；当q = 180°时投影为 -|b- 10 - 4 平面向量数量积的运算律rrvv交换律： a × b = b × arvrvrv数乘结合律： (la)×b =l(a×b) = a×(lb)rrrrvvr分配律： (a + b)×c = a×c + b×c 特别提醒：rrrrrr1结合律不成立：a×b×c¹a×b×c ()()rrrrrr2消去律不成立：a×b=a×c不能得到b=c×rrrrrr3a×b=0不能得到a=0或b=0 5平面两向量数量积的坐标表示rrrr两个非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，rrrvvrvr那么a=x1i+y1j， b=x2i+y2j 所以a×b= x1x2+y1y2 rrrv6.向量垂直的判定：设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，那么ab Ûx1x2+y1y2=0 rra×b=7.两向量夹角的余弦0£q£p ： cosq = |a|×|b|x1x2+y1y2x1+y122x2+y222 - 11 -第三章：三角恒等变换知识要点一、两角和差的三角函数公式：1sin(a±b)=sinacosb±cosasinb;2cos(a±b)=cosacosbmsinasinb;3tan(a±b)=tana±tanb. 1mtanatanb变形应用：tana±tanb=tan(a±b)(1mtanatanb).二、二倍角的三角函数公式：1sin2a=2sinacosa;2cos2a=cos3tan2a=2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a; 2tana. 21-tana1-cos2a1+cos2a2变形应用：sina=,cos2a=. 22 三、辅助角公式： basina+bcosa=(a+q)(ab¹0),其中tanq=. a - 12 -