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优质文本第一章 集合与函数概念课时一：集合有关概念1. 集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。2. 一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。3. 集合的中元素的三个特性：1元素确实定性：集合确定，那么一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人2元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。例：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y3元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合例：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋1用大写字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,52集合的表示方法：列举法与描述法。1列举法：将集合中的元素一一列举出来 a,b,c2描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。xÎR| x-3>2 ,x| x-3>2语言描述法：例：不是直角三角形的三角形Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。4、集合的分类：1有限集：含有有限个元素的集合2无限集：含有无限个元素的集合3空集：不含任何元素的集合例：x|x2=55、元素与集合的关系： 1元素在集合里，那么元素属于集合，即：aÎA 2元素不在集合里，那么元素不属于集合，即：a Au 注意：常用数集及其记法：非负整数集即自然数集 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R课时二、集合间的根本关系1.“包含关系子集1定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：或B注意：有两种可能1A是B的一局部，；2A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2“相等关系：A=B (55，且55，那么5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同那么两集合相等即： 任何一个集合是它本身的子集。AÍA真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) 或假设集合AÍB，存在xB且x A，那么称集合A是集合B的真子集。如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集课时三、集合的运算运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB读作A交B，即AB=x|xA，且xB由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB读作A并B，即AB =x|xA，或xB)全集：一般，假设一个集合汉语我们所研究问题中这几道的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：U设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集或余集记作，CSA=韦恩图示SA性 质A A=A A =A B=BAA BA A BBAUA=A AU=AAUB=BUA AUBAUBB(CuA)(CuB)= Cu(AUB)(CuA) U (CuB)= Cu(AB)AU(CuA)=UA(CuA)=课时四：函数的有关概念1 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA1其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；2与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域2 函数的三要素：定义域、值域、对应法那么3 函数的表示方法：1解析法：明确函数的定义域2图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。3列表法：选取的自变量要有代表性，可以反响定义域的特征。4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法A、描点法： B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换。 3函数图像变换的特点： 1函数y=f(x) 关于X轴对称y=-f(x) 2函数y=f(x) 关于Y轴对称y=f(-x) 3函数y=f(x) 关于原点对称y=-f(-x)课时五：函数的解析表达式，及函数定义域的求法1、函数解析式子的求法1、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法那么，二是要求出函数的定义域.2、求函数的解析式的主要方法有： 1代入法：2待定系数法：3换元法：4)拼凑法：2定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些根本函数通过四那么运算结合而成的.那么，它的定义域是使各局部都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.3、相同函数的判断方法：表达式相同与表示自变量和函数值的字母无关；定义域一致 (两点必须同时具备)4、区间的概念：1区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间2无穷区间3区间的数轴表示课时六：1值域 : 先考虑其定义域1观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域； 2反表示法：针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式，由X的范围类似求Y的范围。(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。 (4)代换法换元法：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。课时七 1在定义域的不同局部上有不同的解析表达式的函数。2各局部的自变量的取值情况3分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),那么 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为f、g的复合函数。4常用的分段函数1取整函数：2符号函数：3含绝对值的函数：2映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法那么f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f对应关系：A原象B象对于映射f：AB来说，那么应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数课时八函数的单调性(局部性质)及最值1、增减函数1设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2D称为y=f(x)的单调增区间.2如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种2、 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3、函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法： 任取x1，x2D，且x1<x2； 作差f(x1)f(x2)； 变形通常是因式分解和配方； 定号即判断差f(x1)f(x2)的正负； 下结论指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 课时九：函数的奇偶性整体性质1、偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数2、奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数3、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的步骤：首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；假设是不对称，那么是非奇非偶的函数；假设对称，那么进行下面判断；确定f(x)与f(x)的关系；作出相应结论：假设f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，那么f(x)是偶函数；假设f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，那么f(x)是奇函数4利用奇偶函数的四那么运算以及复合函数的奇偶性 1在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数； 奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数； 2复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，假设不对称那么函数是非奇非偶函数.假设对称，(1)再根据定义判定;(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .课时十、函数最值及性质的应用1、函数的最值 利用二次函数的性质配方法求函数的最大小值 利用图象求函数的最大小值 利用函数单调性的判断函数的最大小值：如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减那么函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增那么函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；2、函数的奇偶性与单调性 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。3、判断模糊单调性时也可以用作商法，过程与作差法类似，区别在于作差法是与0作比较，作商法是与1作比较。4、绝对值函数求最值，先分段，再通过各段的单调性，或图像求最值。5、在判断函数的奇偶性时候，假设是奇函数可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并不一定可以判断函数为奇函数。高一阶段可以利用奇函数f(0)=0。课时十四1、 指数与指数幂的运算：复习初中整数指数幂的运算性质：am*an=am+n(am)n=amn(a*b)n=anbn2、根式的概念：一般地，假设，那么叫做的次方根，其中>1，且*当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。此时，a的n次方根用符号 表示。当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n的次方根用符号 表示。正的n次方根与负的n次方根可以合并成 a>0。注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。当是奇数时，当是偶数时，式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。 3、 分数指数幂 正数的分数指数幂的，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义4、 有理数指数米的运算性质1·；2；35、无理数指数幂一般的，无理数指数幂aaa>0,a是无理数是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。课时十五：指数函数的性质及其特点11、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1为什么？2、在同以坐标平面内画出以下函数的图像：1 2 3 4 5图像特征图像特征a>1a>10<a<1a>1向、轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图像关于原点和Y轴不对称非奇非偶函数函数图像都在X轴的上方函数的值域为R+函数图象都过定点0，1a0=1自左向右看图像逐渐上升。自左向右看图像逐渐上升。增函数减函数在第一象限内图像纵坐标都大于1。在第一象限内图像纵坐标都大于1。x>0，ax>1x>0， ax <1在第二象限内图像纵坐标都小于1。在第二象限内图像纵坐标都大于1。x<0，ax <1x<0，ax>1图像上升的趋势愈来愈陡。图像上升的趋势愈来愈陡。函数值开始增加较慢，到了某一值后增长速度极快。函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢。课时十六：指数函数的性质及其特点1指数函数的图象和性质a>10<a<1定义域 R定义域 R值域y0值域y0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点0，1函数图象都过定点0，1注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：1在a，b上，值域是或；2假设，那么；取遍所有正数当且仅当；3对于指数函数，总有；4当a>1时，假设X1<X2 ,那么有f(X1)<f(X2)。二、对数函数一对数1对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作： 底数， 真数， 对数式说明： 注意底数的限制，且； ； 注意对数的书写格式两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数； 自然对数：以无理数为底的对数的对数u 指数式与对数式的互化 幂值 真数 N b 底数 指数 对数二对数的运算性质如果，且，那么： ·； ； 注意：换底公式 ，且；，且；利用换底公式推导下面的结论1；2二对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是0，+注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意区分。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 对数函数对底数的限制：，且2、对数函数的性质：a>10<a<1定义域x0定义域x0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点1，0函数图象都过定点1，0三幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳1所有的幂函数在0，+都有定义并且图象都过点1，1；2时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；3时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴