2023届高考数学专项练习圆锥曲线中参数范围与最值问题含答案.pdf
2023届高考数学专项练习圆锥曲线中参数范围与最值问题2023届高考数学专项练习圆锥曲线中参数范围与最值问题【方法技巧与总结】1.求最值问题常用的两种方法【方法技巧与总结】1.求最值问题常用的两种方法(1)几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法(2)代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法2.求参数范围问题的常用方法2.求参数范围问题的常用方法构建所求几何量的含参一元函数，形如AB=f k，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：(1)二次函数；(2)“对勾函数”y=x+ax(a0)；(3)反比例函数；(4)分式函数若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决这里找自变量的取值范围在 0或者换元的过程中产生除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系利用基本不等式求出参数的取值范围利用函数值域的求法，确定参数的取值范围【题型归纳目录】题型一：弦长最值问题题型二：三角形面积最值问题题型三：四边形面积最值问题题型四：弦长的取值范围问题题型五：三角形面积的取值范围问题题型六：四边形面积的取值范围问题题型七：向量数量积的取值范围问题题型八：参数的取值范围【典例例题】题型一：弦长最值问题例1.【题型归纳目录】题型一：弦长最值问题题型二：三角形面积最值问题题型三：四边形面积最值问题题型四：弦长的取值范围问题题型五：三角形面积的取值范围问题题型六：四边形面积的取值范围问题题型七：向量数量积的取值范围问题题型八：参数的取值范围【典例例题】题型一：弦长最值问题例1.已知圆O:x2+y2=r2的任意一条切线l与椭圆M:x26+y23=1都有两个不同的交点A，B(1)求圆O半径r的取值范围；(2)是否存在圆O，满足OAOB恒成立？若存在，求出圆O的方程及|OA|OB|的最大值；若不存在，说明理由例例2.2.平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 C1:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为22，过椭圆右焦点 F 作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6(1)求椭圆的方程；(2)A，B是抛物线C2:x2=4y上两点，且 A，B处的切线相互垂直，直线 AB与椭圆C1相交于C，D两点，求弦|CD|的最大值例例3.3.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点23,2 63，且其左焦点坐标为(-1,0)()求椭圆的方程；()过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线 l，m，其中 l 交椭圆于 M，N，m 交椭圆于 P，Q，求|MN|+|PQ|的最小值变式变式1.1.已知点Q(2,1)在椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上，且点Q到C的两焦点的距离之和为4 2(1)求C的方程；(2)设圆O:x2+y2=85上任意一点P处的切线l交C于点M，N，求|OM|ON|的最小值变式变式2.2.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，点E在椭圆上当线段EF2的中垂线经过F1时，恰有cosEF2F1=2-12(1)求椭圆的标准方程；(2)直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点，且|AB|=2，P 是以 AB 为直径的圆上任意一点，O 为坐标原点，求|OP|的最大值题型二：三角形面积最值问题题型二：三角形面积最值问题例例4.4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率是22，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点以线段|F1F2|为直径的圆的内接正三角形的边长为6(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P(6，2 6)，直线l:y=x+m与椭圆C交于A，B两点，求PAB面积的最大值例例5.5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点D(2,0)，E 1,32两点(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C交于不同两点A，B，点G是线段AB的中点，点O为坐标原点，设射线OG交椭圆C于点Q，且OQ=OG 证明：2m2=4k2+1；求AOB的面积S()的解析式，并计算S()的最大值例例6.6.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴顶点分别为A，B，且短轴长为2，T为椭圆上异于A，B的任意一点，直线TA，TB的斜率之积为-13(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，圆O:x2+y2=34的切线l与椭圆C相交于P，Q两点，求POQ面积的最大值变式变式3.3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2 2，且经过点32,12(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A、B两点，求AOB(O为原点)面积的最大值变式变式4.4.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63，且点32,12在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(0,2)的直线l交椭圆C于A，B两点，求AOB的面积最大时l的方程变式变式5.5.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点2，22(1)求椭圆M的标准方程；(2)直线l:x=ky+n与椭圆M相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC面积的最大值变式变式6.6.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别是 F1，F2，离心率 e=12，请再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面的问题：椭圆C过点 1,32；以点F1为圆心，3为半径的圆与以点F2为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆 C上(只能从中选择一个作为已知)(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点F2的直线l交椭圆C于M，N两点，点 N关于x轴的对称点为N，且F2，M，N三点构成一个三角形，求证直线MN过定点，并求F2MN面积的最大值变式变式7.7.已知椭圆C:x22+y2=1的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线l与椭圆相交于A，B两点(1)若直线l的倾斜角为45，试求AB的中点坐标；(2)求ABF1面积的最大值及此时直线l的方程题型三：四边形面积最值问题题型三：四边形面积最值问题例例7.7.在直角坐标系xoy中，已知点F1(-1,0)，F2(1,0)，动点P满足：|OP+OF2|+|OP-OF2|=4(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若分别过点(-1,0)、(1,0)，作两条平行直线m，n，设m，n与轨迹C的上半部分分别交于A、B两点，求四边形面积的最大值例例8.8.已知抛物线 C:x2=2py(p 0)的焦点为 F，直线 y=kx+2 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若 k=1，则|BF|-|AF|=4 3(1)求抛物线C的方程；(2)分别过点A，B作抛物线C的切线l1、l2，若l1，l2分别交x轴于点M，N，求四边形ABNM面积的最小值例例9.9.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(ab0)和抛物线 D:y2=4x，椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，且椭圆C上有一点P满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=3:4:5，抛物线D的焦点为F2(1)求椭圆C的方程；(2)过F2作两条互相垂直的直线l1和l2，其中直线l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交抛物线D于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值变式变式8.8.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长为 4，离心率为12，一动圆C2过椭圆C1右焦点F，且与直线x=-1相切(1)求椭圆C1的方程及动圆圆心轨迹C2的方程；(2)过F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆 C1于P，Q两点，交曲线C2于M，N两点，求四边形PMQN面积的最小值变式变式9.9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上的一点，I为PF1F2的内切圆圆心，SPIF1=2SIF1F2-SPIF2，且PF1F2的周长为6(1)求椭圆C的方程(2)已知过点(0,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，若2OP=3(OA+OB)，求四边形OAPB面积的最大值题型四：弦长的取值范围问题题型四：弦长的取值范围问题例例10.10.设F1，F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点，已知椭圆的长轴为2 2，P是椭圆C上一动点，PF1 PF2 的最大值为1(1)求椭圆C的方程；(2)过点(2,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，M为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足OA+OB=mOM，其中m4 55,4 33 ，求|AB|的取值范围例例11.11.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点 1,22，且焦距为2(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(2,0)的直线l交椭圆C于点A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足OA+OB=tOP，其中t2 63,2，求|AB|的取值范围例例12.12.在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，直线y=x被椭圆C截得的线段长为8 33(I)求椭圆C的方程()直线 l 是圆 O:x2+y2=r2的任意一条切线，l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，若以 AB 为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出|AB|的取值范围变式变式10.10.已知抛物线C1:y2=4x的焦点F也是椭圆C2:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点，C1与C2的公共弦长为4 63()求椭圆C2的方程；()过椭圆C2的右焦点F作斜率为k(k0)的直线l与椭圆C2相交于A，B两点，线段AB的中点为P，过点P做垂直于AB的直线交x轴于点D，试求|DP|AB|的取值范围变式变式11.11.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD当直线AB斜率为0时，AB+CD=7(1)求椭圆的方程；(2)求AB+CD的取值范围变式变式12.12.已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1:x-2y+3 5=0相切，点A为圆上一动点，AMx轴于点M，且动点N满足ON=23OA+2 23-23OM，设动点N的轨迹为曲线C()求椭圆C的方程；()若直线l与椭圆C相交于不同两点A，B，且满足OA OB(O为坐标原点)，求线段AB长度的取值范围变式变式13.13.已知椭圆x2a2+y2b2=1的离心率为63，P(1,1)是椭圆上一点，直线y=13x+m与椭圆交于A，B两点(B在A的右侧且不同于P点)()求椭圆方程；()若直线PA的斜率为1，求直线PB的斜率；()求|PA|PB|的取值范围题型五：三角形面积的取值范围问题题型五：三角形面积的取值范围问题例例13.13.设椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率 e=12，左顶点 M(-a,0)到直线xa+yb=1 的距离 d=8 217(1)求C的方程；(2)设直线l:y=kx+m与C相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于P、Q两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率之积为-34，求OPQ面积的取值范围例例14.14.已知椭圆 C:x24+y23=1 左，右焦点分别为 F1，F2，S 为椭圆上任意一点，过 F2的直线 l 与椭圆 C 交于A，B两点(1)当ABx轴时，求SASB的最大值；(2)点M在线段AB上，且AM=2MB，点B关于原点对称的点为点P，求BPM面积的取值范围例例15.15.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，且直线xa+yb=1与圆x2+y2=2相切()求椭圆C的方程；()设直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上，记AOM、BOP的面积分别为S1、S2，求S1S2的取值范围题型六：四边形面积的取值范围问题题型六：四边形面积的取值范围问题例例16.16.如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|=5(1)求椭圆的方程；(2)求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围例例17.17.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F(-1,0)，其四个顶点围成的四边形面积为2 6()求曲线E的方程；()过点 F的直线 l 与曲线 E交于 A，B 两点，设 AB 的中点为 M，C、D 两点为曲线 E 上关于原点 O 对称的两点，且CO=OM(0)，求四边形ACBD面积的取值范围例例18.18.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，F1，F2是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，PF1 PF2 的最小值为2(1)求椭圆C的方程；(2)过点F2且与x轴不重合的直线l交椭圆C于M，N两点，圆E是以F1为圆心椭圆C的长轴长为半径的圆，过F2且与l垂直的直线与圆E交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围变式变式14.14.已知椭圆 C1:x2a2+y2b2=1(a b 0)的焦距为 4，左、右焦点分别为 F1、F2，且 C1与抛物线 C2:y2=x的交点所在的直线经过F2()求椭圆C1的方程；()分别过F1、F2作平行直线m、n，若直线m与C1交于A，B两点，与抛物线C2无公共点，直线n与C1交于 C，D两点，其中点 A，D在x轴上方，求四边形 AF1F2D的面积的取值范围题型七：向量数量积的取值范围问题题型七：向量数量积的取值范围问题例例19.19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点P(2,2)，一个焦点F的坐标为(2,0)(1)求椭圆C的方程；(2)设直线 l:y=kx+m与椭圆 C交于A，B两点，O为坐标原点，若 kOAkOB=-12，求 OA OB 的取值范围例例20.20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点P(2,2)，一个焦点F的坐标为(2,0)(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若kOAkOB=13，求OA OB 的取值范围题型八：参数的取值范围题型八：参数的取值范围例例21.21.已知曲线C:x25-m+y2m-2=1表示焦点在x轴上的椭圆(1)求m的取值范围；(2)设m=3，过点P(0,2)的直线l交椭圆于不同的两点A，B(B在A，P之间)，且满足PB=PA，求的取值范围例例22.22.设椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的左顶点为 A，右顶点为 B已知椭圆的离心率为 e=32，且以线段AB为直径的圆被直线x+3y-2=0所截得的弦长为2 3(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点M，且点M在第一象限，点M关于x轴对称点为点N，直线NB与直线l交于点P，若直线OP的斜率大于310，求直线l的斜率k的取值范围例例23.23.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为22，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆 C1过点(1,0)(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，且与圆 C1没有公共点，设 G 为椭圆 C 上一点，满足(OA+OB)=tOG(O为坐标原点)，求实数t的取值范围变式变式15.15.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点M(3,0)的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B()求椭圆C的方程；()设P为椭圆C上一点，且满足OA+OB=tOP(O为坐标原点)，试求实数t的取值范围圆锥曲线中参数范围与最值问题圆锥曲线中参数范围与最值问题【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】1.1.求最值问题常用的两种方法求最值问题常用的两种方法(1)几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法(2)代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法2.2.求参数范围问题的常用方法求参数范围问题的常用方法构建所求几何量的含参一元函数，形如AB=f k，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：(1)二次函数；(2)“对勾函数”y=x+ax(a0)；(3)反比例函数；(4)分式函数若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决这里找自变量的取值范围在 0或者换元的过程中产生除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系利用基本不等式求出参数的取值范围利用函数值域的求法，确定参数的取值范围【题型归纳目录】【题型归纳目录】题型一：弦长最值问题题型一：弦长最值问题题型二：三角形面积最值问题题型二：三角形面积最值问题题型三：四边形面积最值问题题型三：四边形面积最值问题题型四：弦长的取值范围问题题型四：弦长的取值范围问题题型五：三角形面积的取值范围问题题型五：三角形面积的取值范围问题题型六：四边形面积的取值范围问题题型六：四边形面积的取值范围问题题型七：向量数量积的取值范围问题题型七：向量数量积的取值范围问题题型八：参数的取值范围题型八：参数的取值范围【典例例题】【典例例题】题型一：弦长最值问题题型一：弦长最值问题例例1.1.已知圆O:x2+y2=r2的任意一条切线l与椭圆M:x26+y23=1都有两个不同的交点A，B(1)求圆O半径r的取值范围；(2)是否存在圆O，满足OAOB恒成立？若存在，求出圆O的方程及|OA|OB|的最大值；若不存在，说明理由【解析】解：(1)要使圆O:x2+y2=r2的任意一条切线l与椭圆M:x26+y23=1都有两个不同的交点，则圆必在椭圆的内部，0r b 0)的离心率为22，过椭圆右焦点 F 作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6(1)求椭圆的方程；(2)A，B是抛物线C2:x2=4y上两点，且 A，B处的切线相互垂直，直线 AB与椭圆C1相交于C，D两点，求弦|CD|的最大值【解析】解：(1)椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，e=ca=222a+2b2a=6a2=b2+c2，解得a=2，b=c=2，椭圆方程为x24+y22=1(2)设直线AB为：y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，由y=kx+mx2=4y，得x2-4kx-4m=0，则x1+x2=4k，x1x2=-4m，由x2=4y，得y=x2，故切线PA，PB的斜率分别为kPA=x12，kPB=x22，再由PAPB，得kPAkPB=-1，x12x22=x1x24=-4m4=-m=-1，解得m=1，这说明直线AB过抛物线C1的焦点F，由y=kx+1x24+y22=1，得(1+2k2)x2+4kx-2=0，|CD|=1+k2(4k)2-4(1+2k2)(-2)1+2k2=1+k28(1+4k2)1+2k23当且仅当k=22时取等号，弦|CD|的最大值为3例例3.3.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点23,2 63，且其左焦点坐标为(-1,0)()求椭圆的方程；()过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线 l，m，其中 l 交椭圆于 M，N，m 交椭圆于 P，Q，求|MN|+|PQ|的最小值【解析】解：()椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点23,2 63，且其左焦点坐标为(-1,0)，c=1，2a=259+249+19+249=4，b=a2-c2=3，椭圆的方程为：x24+y23=1(4分)()当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|MN|+|PQ|=7(5分)当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程y=k(x-1)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由y=k(x-1)x24+y23=1，得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2-123+4k2，|MN|=(1+k2)(x1-x2)2=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=12(1+k2)3+4k2，设直线l2的方程为y=-1k(x-1)，同理得：|PQ|=12(1+k2)4+3k2，所以|MN|+|PQ|=84(k2+1)2(4+3k2)(3+4k2)，(9分)设t=k2+1，则t1，所以1t=12时，|MN|+|PQ|有最小值487b0)上，且点Q到C的两焦点的距离之和为4 2(1)求C的方程；(2)设圆O:x2+y2=85上任意一点P处的切线l交C于点M，N，求|OM|ON|的最小值【解析】解：(1)由题意可得4a2+1b2=1，且2a=4 2，解得a=2 2，b=2，所以椭圆C的方程为x28+y22=1；(2)当直线MN的斜率不存在时，可设切线方程为x=405，代入椭圆x2+4y2=8，可得M2 105，2 105，N2 105，-2 105，则OM ON=0，且|OM|ON|=165；当直线MN的斜率存在时，设切线的方程为y=kx+m，由切线与圆x2+y2=85相切，可得|m|1+k2=85，化为5m2=8+8k2，由y=kx+m与椭圆方程联立，可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-81+4k2，OM ON=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)4m2-81+4k2+km-8km1+4k2+m2，代入m2=8+8k25，可得OM ON=0，即OMON，由OPMN，所以|OM|ON|=|OP|MN|=85|MN|，而|MN|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k264k2m2(1+4k2)2-4(4m2-8)1+4k2=1+k24 2+8k2-m21+4k2=1+k2425+32k251+4k2=4 10516k4+17k2+116k4+8k2+1=4 1051+9k216k4+8k2+14 105，当k=0时，上式取得等号所以|OM|ON|的最小值为854 105=165变式变式2.2.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，点E在椭圆上当线段EF2的中垂线经过F1时，恰有cosEF2F1=2-12(1)求椭圆的标准方程；(2)直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点，且|AB|=2，P 是以 AB 为直径的圆上任意一点，O 为坐标原点，求|OP|的最大值【解析】解：(1)由焦距为2知c=1，连结EF1，线段EF2的中垂线经过F1时，|EF1|=2c=2，cosEF2F1=2-12|F2N|F1F2|=2-12|F2N|=2-1，|EF2|=2 2-2，2a=|EF1|+|EF2|=2 2，a=2，由所以椭圆方程为x22+y2=1；(2)当l的斜率不存在时，AB恰为短轴，此时|OP|=1；当l的斜率存在时，设l:y=kx+m联立x22+y2=1y=kx+m，得到(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0，=16k2-8m2+80，x1+x2=-4km2k2+1，x1x2=2m2-22k2+1|AB|=1+k22 2 1+2k2-m22k2+1=2，化简得m2=2k2+12k2+2又设M是弦AB的中点，M-2km2k2+1,m2k2+1，|OM|2=4k2+1(2k2+1)2m2，|OM|2=4k2+1(2k2+1)22k2+12k2+2=4k2+1(2k2+1)(2k2+2)，令4k2+1=t1，则|OM|2=4t(t+1)(t+3)=4t+3t+442 3+4=4-2 3，|OM|4-2 3=3-1(仅当 t=3 时取等)，又|OP|OM|+|MP|=|OM|+13(仅当k2=3-14时取等号)综上，|OP|max=3题型二：三角形面积最值问题题型二：三角形面积最值问题例例4.4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率是22，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点以线段|F1F2|为直径的圆的内接正三角形的边长为6(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P(6，2 6)，直线l:y=x+m与椭圆C交于A，B两点，求PAB面积的最大值【解析】解：(1)由题意可知，e=ca=22，6sin60=2c，所以a=2，c=2，所以b2=a2-c2=2，所以椭圆C的标准方程为：x24+y22=1；(2)方法一：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x24+y22=1y=x+m，消去y，整理得：3x2+4mx+2m2-4=0，则=16m2-12(2m2-4)=-8m2+480，所以m26，所以-6 m6，所以x1+x2=-4m3，x1x2=2m2-43，所以|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+1-4m32-42m2-43=4 6-m23，P(6,2 6)到直线l:x-y+m=0的距离为d=|6-2 6+m|12+(-1)2=|m-6|2，所以SPAB=12|AB|d=124 6-m23|m-6|2=23(6-m)6-m2，设6-m=t(0,2 6)，则m=6-t，所以SPAB=23t-(t-6)2+6=23t2(-t2+2 6t)=23-t4+2 6t3，令g(t)=-t4+2 6t3，t(0,2 6)，则g(t)=-4t3+6 6t2=2t2(-2t+3 6)，当0t0，g(t)单调递增，当3 62t2 6 时，g(t)b0)经过点D(2,0)，E 1,32两点(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C交于不同两点A，B，点G是线段AB的中点，点O为坐标原点，设射线OG交椭圆C于点Q，且OQ=OG 证明：2m2=4k2+1；求AOB的面积S()的解析式，并计算S()的最大值【解析】(1)解：椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点D(2,0)，E 1,32两点，4a2=11a2+34b2=1 ，解得a=2，b=1，椭圆方程为x24+y2=1(2)证明：令A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y=kx+mx2+4y2=4，消去y，得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)0 x1+x2=-8km1+4k2x1x2=4m2-41+4k2，即m21，|x1-x2|=-8km1+4k22-44m2-41+4k2=4 1+4k2-m21+4k2，在AOB中，SAOB=12|m|x1-x2|，S()=2|m|2m2-m22m2=2 2-12，1，令2-1=t，t0，则S=2tt2+1=2t+1tb0)的短轴顶点分别为A，B，且短轴长为2，T为椭圆上异于A，B的任意一点，直线TA，TB的斜率之积为-13(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，圆O:x2+y2=34的切线l与椭圆C相交于P，Q两点，求POQ面积的最大值【解析】解：(1)由题意可知2b=2，b=1，A(0,1)，B(0,-1)，设T(x0，y0)，满足x20a2+y20=1，由kTAkTB=y0-1x0y0+1x0=y20-1x20=-1a2=-13，则a2=3，所以椭圆C的方程：x23+y2=1；(2)设直线PQ的方程：x=my+t，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由O到直线PQ的距离d=|t|1+m2=32，即t2=34(1+m2)，联立方程组x=my+tx23+y2=1，消去x，整理得(m2+3)y2+2mty+t2-3=0，则=(2mt)2-4(m2+3)(t2-3)=12(m2-t2+3)=3(m2+9)0，y1+y2=-2mtm2+3，y1y2=t2-3m2+3，则|PQ|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2=3(1+m2)(m2+9)(m2+3)2，由(1+m2)(m2+9)(m2+3)2=13(3+3m2)(m2+9)(m2+3)2133+3m2+m2+922(m2+3)2=43，当且仅当 3+3m2=m2+9，即m2=3，m=3 时取等号，所以|PQ|=3(1+m2)(m2+9)(m2+3)23 23=2，所以POQ面积S=12|PQ|3212232=32，所以POQ面积的最大值32变式变式3.3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2 2，且经过点32,12(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A、B两点，求AOB(O为原点)面积的最大值【解析】解：(1)由2c=2 2 c=2 a2-b2=2，由椭圆C经过点32,12，得94a2+14b2=1，联立，解得b=1，a=3，椭圆C的方程是x23+y2=1(2)由题意可知直线AB一定存在斜率，设其方程为y=kx+2，联立y=kx+2x23+y2=1，消去y，得(1+3k)x2+12kx+9=0，则=144k2-36(1+3k2)0，得k21，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=-12k1+3k2，x1x2=91+3k2，SAOB=|SPOB-SPOA|=122|x1-x2|=|x1-x2|，(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=-12k1+3k22-361+3k2=36(k2-1)(1+3k2)2，设k2-1=t(t0)，则(x1-x2)2=36t(3t+4)2=369t+16t+243629t16t+24=34，当且仅当9t=16t，即t=43时等号成立，此时k2=731，符合题意，此时AOB面积取得最大值32变式变式4.4.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63，且点32,12在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(0,2)的直线l交椭圆C于A，B两点，求AOB的面积最大时l的方程【解析】解：(1)由题意可得e=ca=63，又a2-b2=c2，点32,12在椭圆C上，可得94a2+14b2=1，解方程可得a=3，b=1，即有椭圆的方程为x23+y2=1；(2)设过点P(0,2)的直线l的方程为x=m(y-2)，代入椭圆方程，可得(3+m2)y2+4m2y+4m2-3=0，判别式为16m4-4(3+m2)(4m2-3)0，即有-1m1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=-4m23+m2，y1y2=4m2-33+m2，|AB|=1+m2|y1-y2|=1+m216m4(3+m2)2-4(4m2-3)3+m2=6 1+m21-m2(3+m2)2，由O到直线l的距离d=|2m|1+m2，则AOB的面积为S=12d|AB|=6|m|1-m2(3+m2)2，令t=1-m2，(0t1)，即有S=6(1-t)t(4-t)2，由 f(t)=t-t2(t-4)2的导数为 f(t)=7t-4(t-4)3，当0t47时，f(t)递增，47tb0)的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点2，22(1)求椭圆M的标准方程；(2)直线l:x=ky+n与椭圆M相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC面积的最大值【解析】解：(1)根据题意，设椭圆的上下顶点为B1(0,b)，B2(0,-b)，左焦点为F1(-c,0)，则B1B2F1是正三角形，所以2b=c2+b2=a，则椭圆方程为x24b2+y2b2=1，将2，22代入椭圆方程，可得24b2+12b2=1，解得a=2，b=1，故椭圆的方程为：x24+y2=1；(2)由题意，设直线l的方程为x=ky+n，联立x24+y2=1x=ky+n，整理可得：(4+k2)y2+2kny+n2-4=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=-2kn4+k2，y1y2=n2-44+k2，因为以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C(2,0)，所以CA CB=0由CA=(x1-2，y1)，CB=(x2-2，y2)，则(x1-2)(x2-2)+y1y2=0，将x1=ky1+n，x2=ky2+n代入上式并整理得(1+k2)y1y2+k(n-2)(y1+y2)+(n-2)2=0，则(1+k2)(n2-4)4+k2+-2k2n(n-2)4+k2+(n-2)2=0，化简可得(5n-6)(n-2)=0，解得：n=65，或n=2，因为直线x=ky+n不过点C(2,0)，所以n2，故n=65所以直线l恒过点65，0故SABC=12|DC|y1-y2|=122-65(y1+y2)2-4y1y2=25-125k4+k22-43625-44+k2=82525(4+k2)-26(4+k2)2设t=14+k20b0)的左、右焦点分别是 F1，F2，离心率 e=12，请再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面的问题：椭圆C过点 1,32；以点F1为圆心，3为半径的圆与以点F2为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆 C上(只能从中选择一个作为已知)(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点F2的直线l交椭圆C于M，N两点，点 N关于x轴的对称点为N，且F2，M，N三点构成一个三角形，求证直线MN过定点，并求F2MN面积的最大值【解析】解：(1)选：由题意知e=ca=121a2+94b2=1a2=b2+c2，a2=4b2=3 所以椭圆C的方程为x24+y23=1选：设圆F1与圆F2相交于点Q由题意知：|QF1|+|QF2|=3+1=4又因为点Q在椭圆上，所以2a=4，a=2又因为e=ca-12，c=1，b2=3所以椭圆C的方程为x24+y23=1(2)由题易知直线MN斜率存在且不为0，因为F2(1,0)，故设直线MN的方程为x=ty+1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x=ty+1x24+y23=1，(3t2+4)y2+6ty-9=0，y1+y2=-6t3t2+4，y1y2=-93t2+4，因为点N关于x轴的对称点为N，所以N(x2，-y2)，所以直线MN的方程为y+y2=y1+y2x1-x2(x-x2)，令y=0，x=x2+y2(x1-x2)y1+y2=x1y2+x2y1y1+y2又x=ty+1，x=2ty1y2+y1+y2y1+y2=2ty1y2y1+y2+1=2t-93t3+4-6t3t2+4+1=-18t3t2+4-6t3t2+4=3+1=4所以直线MN过定点E(4,0)，SF2MN=12|F2E|y1+y2|=123-6t3t2+4=326|t|3t2+4=3263|t|+4|t|3 34当且仅当3|t|=4|t|，即t=2 33时，取等号所以F2MN面积的最大值为3 34变式变式7.7.已知椭圆C:x22+y2=1的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线l与椭圆相交于A，B两点(1)若直线l的倾斜角为45，试求AB的中点坐标；(2)求ABF1面积的最大值及此时直线l的方程【解析】解：(1)椭圆x22+y2=1的左焦点F1(-1,0)，F2(1,0)，过F2且倾斜角为45的直线l为y=x-1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组：y=x-1x22+y2=1，消去y得：3x2-4x=0，则x1+x2=43，所以y1+y2=x1+x2-2=-23，则AB的中点坐标为23，-13；(2)当直线l垂直x轴时，直线l的方程为x=1，代入椭圆方程可得y=22，此时|AB|=2，则SABF1=12|AB|F1F2|=122 2=2；当直线l不垂直x轴时，设直线方程为x=ty+1(t0)，联立x=ty+1x22+y2=1，得(t2+2)y2+2t
