2022-2023学年高二数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019）常考题型07 求解圆的方程及与圆有关的最值问题含解析.pdf
2022-20232022-2023 学年高二数学上学期期中期末常考题型重点突破学年高二数学上学期期中期末常考题型重点突破常常考题型考题型 0707 求解圆的方程及与圆有关的最值问题求解圆的方程及与圆有关的最值问题1.圆的标准方程：圆心为 C(a，b)，半径长为 r 的圆的方程：(xa)2(yb)2r2.2.点 M(x0，y0)与圆 C：(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点 M 在圆上|CM|r(x0a)2(y0b)2r2点 M 在圆外|CM|r(x0a)2(y0b)2r2点 M 在圆内|CM|r(x0a)2(y0b)20 时，二元二次方程 x2y2DxEyF0 称为圆的一般方程4.方程 x2y2DxEyF0 表示的图形条件图形D2E24F0表示以D2，E2 为圆心，以D2E24F2为半径的圆考法一：考法一：求圆的方程求圆的方程1.直接法:根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.这种方法一般需要先画出图形，利用数形结合求解.2.待定系数法(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，进而求出 a，b，r 的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程022FEyDxyx，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值.考法二：考法二：求与圆有关的轨迹方程求与圆有关的轨迹方程1.直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.2.定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可根据定义写出动点的轨迹方程.3.代入法：若动点 P(x，y)随着圆上的另一动点 Q(1x，1y)的运动而运动，且1x，1y可用 x，y 表示，则可将 Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点 P 的轨迹方程.考法三：考法三：与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题4 种常见转化法(1)形如axby的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如 t=ax+by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如22)()(byax的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(4)圆外一定点到圆上的点的距离的最值可转化为该点到圆心的距离再加（最大值）减（最小值）半径.探究一：探究一：求圆的方程求圆的方程圆C上的点1,2关于直线0 xy的对称点仍在圆C上，且该圆的半径为5，则圆C的方程为（）A225xyB22(1)(1)5xyC225xy或22(1)(1)5xyD225xy或22(1)(1)5xy思路分析：思路分析：先判断圆心在直线0 xy上，设圆心的坐标为(,)aa，由半径，列出方程，求出a的值，即可得到答案。【变式练习】【变式练习】1已知圆C关于直线10 xy 对称的圆的方程22111xy，则圆C的方程为（）A2221xyB2221xyC2221xyD 22+21xy 2已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是5,6，3,4，则这个圆的方程为（）A224270 xyxyB228290 xyxyC228260 xyxyD224250 xyxy探究二：探究二：求与圆有关的轨迹方程求与圆有关的轨迹方程已知点(1,1)A，(2,0)C，点A关于直线10 xy 的对称点为点B，在PBC中，2PCPB，则PBC面积的最大值为（）A16 2B8 2C4 2D2 2思路分析：思路分析：先根据对称的性质求出点B的坐标，设(,)P x y，再由2PCPB可求出点P的轨迹方程，由图可知PBC中BC边上的高为圆的半径时，PBC面积最大，从而可求得结果。【变式练习】【变式练习】1阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点 M 与两定点 Q，P 的距离之比0,1MQMP，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆 已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221xy，定点Q为x轴上一点，1,02P且2，若点1,1B，则2 MPMB的最小值为（）A6B7C10D112若两定点()1,0A，4,0B，动点 M 满足2 MAMB，则动点 M 的轨迹围成区域的面积为（）A2B5C3D4探究三：探究三：与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k kk的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆若平面内两定点 A，B 的距离为 2，动点 P 满足|3|PBPA，若点P 不在直线AB上，则PAB面积的最大值为（）A1B3C2D2 3思路分析：思路分析：设经过点 A，B 的直线为 x 轴，AB 的方向为 x 轴正方向，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，利用坐标法计算。【变式练习】【变式练习】1 已知点 M，N 分别在圆221:129Cxy与圆222:2864Cxy上，则MN的最大值为（）A511B17C3711D152 在长方体1111ABCDABC D中，3AB，12ADBB，点 P 是底面 ABCD 内的动点，且满足APDP，则线段1B P长度的最小值为（）A5B2 2C2 3D3一、单选题一、单选题1已知点,m n在过2,0点且与直线20 xy垂直的直线上，则圆C：223 514xy上的点到点,M m n的轨迹的距离的最小值为（）A1B2C5D3 52与圆22210 xyaxy 关于直线10 xy 对称的圆的方程为22430 xyx，则a等于（）A0B1C2D33已知圆22:140Cxym m和两点2,0A，10B,，若圆 C 上存在点 P，使得2PAPB，则 m 的取值范围是（）A8，64B9，64C8，49D9，494几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点 M，N 是锐角AQB的一边 QA 上的两点，试在 QB 边上找一点 P，使得MPN最大”如图，其结论是：点 P 为过 M，N 两点且和射线 QB 相切的圆与射线 QB 的切点 根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点 M（-1，2），N（1，4），点 P 在 x 轴上移动，当MPN取最大值时，点 P 的横坐标是（）A1B-7C1 或-1D2 或-75某公司要在甲、乙、丙三地搭建三座 5G 信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域，以实现 5G 商用，已知甲、乙两地相距 8km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的3倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积是（）A28 3kmB216 3kmC212 6kmD216 6km6已知圆22135xy关于直线20axby对称，0,0ab，则12ab的最小值为（）A72 62B762C72 62D7627实数 a，b 满足2410abab，则下列说法正确的是（）A5252aB94 594 5aC2323bD94 594 5b8过坐标原点O作直线:(2)(1)60laxay的垂线，垂足为(,)H m n，则22mn的取值范围是（）A0,2 2B0,22C0,8D0,8二、多选题二、多选题9圆上的点（2，1）关于直线 xy0 的对称点仍在圆上，且圆的半径为5，则圆的方程可能是（）A225xyB22135xyC2225xyD22115xy10已知圆22:49O xy，直线 l 过点(2,6)N，且交圆 O 于 P，Q 两点，点 M 为线段 PQ 的中点，则下列结论正确的是（）A点 M 的轨迹是圆B|PQ的最小值为 6C使|PQ为整数的直线 l 共有 9 条D使|PQ为整数的直线 l 共有 16 条11已知圆22:14C xy，直线:2l yk x交圆 C 于点 A，B，线段 AB 的中点为 M，则以下各点在点 M 的轨迹上的有（）A511,2B11,2骣琪-琪桫C511,22D511,2212已知圆M的一般方程为22860 xyxy，则下列说法正确的是（）A圆M的圆心为4,3B圆M被x轴截得的弦长为 10C圆M的半径为 5D圆M被y轴截得的弦长为 8三、填空题三、填空题13唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为22(2)3xy，若将军从点(4 0)A ，处出发，河岸线所在直线方程为10 xy，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为_14经过点1,5A和2,2 2B，且圆心在 x 轴上的圆的一般方程为_15已知点 P(m，n)在圆22:229Cxy上运动，则2221mn的最大值为_，最小值为_，22mn的范围为_16在ABC中，2AB，1ACkBC k，则当ABC面积的最大值为2 2时，k_四、解答题四、解答题17已知ABC中，点1,5A，边BC所在直线1l的方程为7180 xy，边AB上的中线所在直线2l的方程为yx.(1)求点B和点C的坐标；(2)以3,2M为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程.18已知线段 AB 的端点 B 的坐标是6,5，端点 A 在圆221:434Cxy上运动(1)求线段 AB 的中点 P 的轨迹2C的方程；(2)若点 C 在曲线2C上运动，点 Q 在 x 轴上运动，求QAQC的最小值19已知定点(1,0)M，(2,0)N，动点 P 满足|2|PNPM.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)已知点 B（6，0），点 A 在轨迹 C 运动，求线段 AB 上靠近点 B 的三等分点 Q 的轨迹方程.20数学家欧拉在 1765 年提出：三角形的外心重心垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.若ABC的顶点2,0,0,4AB，且ABC的欧拉线的方程为20 xy.(1)求ABC外接圆方程；(2)求BC边上的高线AD截ABC外接圆的弦长.常考题型常考题型 0707 求解圆的方程及与圆有关的最值问题求解圆的方程及与圆有关的最值问题1.圆的标准方程：圆心为 C(a，b)，半径长为 r 的圆的方程：(xa)2(yb)2r2.2.点 M(x0，y0)与圆 C：(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点 M 在圆上|CM|r(x0a)2(y0b)2r2点 M 在圆外|CM|r(x0a)2(y0b)2r2点 M 在圆内|CM|r(x0a)2(y0b)20 时，二元二次方程 x2y2DxEyF0 称为圆的一般方程4.方程 x2y2DxEyF0 表示的图形条件图形D2E24F0表示以D2，E2 为圆心，以D2E24F2为半径的圆考法一：考法一：求圆的方程求圆的方程1.直接法:根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.这种方法一般需要先画出图形，利用数形结合求解.2.待定系数法(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，进而求出 a，b，r 的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程022FEyDxyx，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值.考法二：考法二：求与圆有关的轨迹方程求与圆有关的轨迹方程1.直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.2.定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可根据定义写出动点的轨迹方程.3.代入法：若动点 P(x，y)随着圆上的另一动点 Q(1x，1y)的运动而运动，且1x，1y可用 x，y 表示，则可将 Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点 P 的轨迹方程.考法三：考法三：与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题4 种常见转化法(1)形如axby的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如 t=ax+by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如22)()(byax的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(4)圆外一定点到圆上的点的距离的最值可转化为该点到圆心的距离再加（最大值）减（最小值）半径.探究一：探究一：求圆的方程求圆的方程圆C上的点1,2关于直线0 xy的对称点仍在圆C上，且该圆的半径为5，则圆C的方程为（）A225xyB22(1)(1)5xyC225xy或22(1)(1)5xyD225xy或22(1)(1)5xy思路分析：思路分析：先判断圆心在直线0 xy上，设圆心的坐标为(,)aa，由半径，列出方程，求出a的值，即可得到答案。【解析】解：因为圆C上的点(1,2)关于直线0 xy的对称点仍在圆C上，所以圆心在直线0 xy上，设圆心的坐标为(,)C aa，因为该圆的半径为5，则22(1)(2)5aa ，解得0a 或1a ，所以圆心C为(0,0)或(1,1)，则圆C的方程为0 xy或22(1)(1)5xy故选：D【答案】D【变式练习】【变式练习】1已知圆C关于直线10 xy 对称的圆的方程22111xy，则圆C的方程为（）A2221xyB2221xyC2221xyD 22+21xy 【答案】C【解析】因为圆22111xy的圆心为(1,1)，设(1,1)关于10 xy 的对称点(,)C x y，则1111111022yxxy ，解得02xy，即圆 C 的圆心为(0,2)，半径为 1，所以方程为2221xy.故选：C2已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是5,6，3,4，则这个圆的方程为（）A224270 xyxyB228290 xyxyC228260 xyxyD224250 xyxy【答案】B【解析】由题意，圆心(4,1)，圆的直径为22(53)(64)2 26，半径为26所以圆C的方程为22(4)(1)26xy，即228290 xyxy，故选：B探究二：探究二：求与圆有关的轨迹方程求与圆有关的轨迹方程已知点(1,1)A，(2,0)C，点A关于直线10 xy 的对称点为点B，在PBC中，2PCPB，则PBC面积的最大值为（）A16 2B8 2C4 2D2 2思路分析：思路分析：先根据对称的性质求出点B的坐标，设(,)P x y，再由2PCPB可求出点P的轨迹方程，由图可知PBC中BC边上的高为圆的半径时，PBC面积最大，从而可求得结果。【解析】设B的坐标为00,xy，则00000011,2,10,111022yxxyxy 则B的坐标为(2,0)，设(,)P x y，22222(2)2(2)2PCPBxyxy221240 xyx，22(6)32xymax114 244 28 222PBCSBC 故选：B【答案】B【变式练习】【变式练习】1阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点 M 与两定点 Q，P 的距离之比0,1MQMP，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆 已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221xy，定点Q为x轴上一点，1,02P且2，若点1,1B，则2 MPMB的最小值为（）A6B7C10D11【答案】C【解析】设,0Q a，,M x y，所以22MQxay，又1,02P，所以2212MPxy因为MQMP且2，所以2222212xayxy，整理可得22242133aaxyx，又动点 M 的轨迹是221xy，所以24203113aa，解得2a ，所以2,0Q，又2MQMP，所以2 MPMBMQMB，因为1,1B，所以2 MPMB的最小值为221 21 010BQ故选：C2若两定点()1,0A，4,0B，动点 M 满足2 MAMB，则动点 M 的轨迹围成区域的面积为（）A2B5C3D4【答案】D【解析】设(,)M x y，依题意，22222(1)(4)xyxy，化简整理得：224xy，因此，动点 M 的轨迹是以原点为圆心，2 为半径的圆，所以动点 M 的轨迹围成区域的面积为4.故选：D探究三：探究三：与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k kk的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆若平面内两定点 A，B 的距离为 2，动点 P 满足|3|PBPA，若点P 不在直线AB上，则PAB面积的最大值为（）A1B3C2D2 3思路分析：思路分析：设经过点 A，B 的直线为 x 轴，AB 的方向为 x 轴正方向，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，利用坐标法计算。【解析】设经过点 A，B 的直线为 x 轴，AB 的方向为 x 轴正方向，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，线段 AB 的中点 O 为原点，建立平面直角坐标系.则1,0A，10B,，设,P x y，|3|PBPA，2222131xyxy，两边平方并整理得22410 xyx，即2223xy要使PAB的面积最大，只需点 P 到 AB（x 轴）的距离最大时，即为圆2223xy的半径3，此时面积为12332故选：B.【答案】B【变式练习】【变式练习】1 已知点 M，N 分别在圆221:129Cxy与圆222:2864Cxy上，则MN的最大值为（）A511B17C3711D15【答案】C【解析】圆1C的圆心11,2C，半径13r，圆2C的圆心22,8C，半径28r，则221212max2 182383711MNC Crr故选：C2 在长方体1111ABCDABC D中，3AB，12ADBB，点 P 是底面 ABCD 内的动点，且满足APDP，则线段1B P长度的最小值为（）A5B2 2C2 3D3【答案】A【解析】设AD的中点为E，因为APDP，所以点 P 在以 AD 为直径的圆 E 上，因为1BB 平面ABCD，BP 平面ABCD，所以1BBBP所以21122B PBBBP，又1BB是定值，所以欲使线段1B P的长度最小，只需使 BP 最小即可又BPBEPE,当且仅当,B P E三点共线，且P位于,B E之间时等号成立，因为223 12BEABAE，1EP，所以BP的最小值为 1，所以线段1B P长度的最小值为5故选：A.一、单选题一、单选题1已知点,m n在过2,0点且与直线20 xy垂直的直线上，则圆C：223 514xy上的点到点,M m n的轨迹的距离的最小值为（）A1B2C5D3 5【答案】A【解析】过点2,0且与直线20 xy垂直的直线为：1(2)2yx，已知点,m n在该直线上，所以1(2)2nm，即220mn，所以点,M m n的轨迹方程为220 xy，又圆C：223 514xy，所以圆心(3 5,1)C，半径2r，所以圆C上的点到点,M m n的轨迹的距离的最小值为：min3 52223215d.故 A，B，D 错误.故选：A.2与圆22210 xyaxy 关于直线10 xy 对称的圆的方程为22430 xyx，则a等于（）A0B1C2D3【答案】C【解析】解：由22210 xyaxy 可得222124aaxy，所以圆心为,12a，由22430 xyx可得2221xy，所以圆心为2,0，因为与圆22210 xyaxy 关于直线10 xy 对称的圆的方程为22430 xyx，所以,12a关于直线10 xy 对称的点为2,0，且半径相等，所以,12a与2,0的中点在10 xy 上，即2121022a 解得2a，满足题意，故选：C3已知圆22:140Cxym m和两点2,0A，10B,，若圆 C 上存在点 P，使得2PAPB，则 m 的取值范围是（）A8，64B9，64C8，49D9，49【答案】D【解析】解：设 P 的坐标为,x y，因为2PAPB，2,0A，10B,，所以2222221xyxy，化简得2224xy，又因为点 P 在圆22:140Cxym m上，所以圆2224xy与圆 C 有公共点，所以2222 142mm且0m，解得949m，故选：D4几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点 M，N 是锐角AQB的一边 QA 上的两点，试在 QB 边上找一点 P，使得MPN最大”如图，其结论是：点 P 为过 M，N 两点且和射线 QB 相切的圆与射线 QB 的切点 根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点 M（-1，2），N（1，4），点 P 在 x 轴上移动，当MPN取最大值时，点 P 的横坐标是（）A1B-7C1 或-1D2 或-7【答案】A【解析】由题 M（-1，2），N（1，4），则线段 MN 的中点坐标为（0，3），易知1MNk，则经过 M，N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线3yx上设圆心为,3S aa，则圆 S 的方程为22232 1xayaa 当MPN取最大值时，圆S必与x轴相切于点P（由题中结论得），则此时 P 的坐标为,0a，代入圆 S 的方程，得222 13aa，解得1a 或7a ，即对应的切点分别为 P（1，0）和7,0P 因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，又过点 M，N，P的圆的半径大于过点 M，N，P 的圆的半径，所以MPNMP N，故点 P（1，0）为所求，即点 P 的横坐标为 1.故选:A5某公司要在甲、乙、丙三地搭建三座 5G 信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域，以实现 5G 商用，已知甲、乙两地相距 8km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的3倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积是（）A28 3kmB216 3kmC212 6kmD216 6km【答案】B【解析】以点 A，B，C 分别表示甲、乙、丙三地，以线段 AB 的中点 O 为原点，线段 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A（4，0），B（4，0），设点 C（x，y），则3ACBC，即2222434xyxy，整理可得22848xy，点 C 的轨迹是以点（8，0）为圆心，4 3为半径的圆，18 4 316 32ABCS 故选：B.6已知圆22135xy关于直线20axby对称，0,0ab，则12ab的最小值为（）A72 62B762C72 62D762【答案】A【解析】由题意知，直线20axby过圆心1,3，则320ab，即32ab，又0,0ab，则121 12121272 631672222233aaabababbbabab，当且仅当32baba，即2 62122 6,515ab时取等，则12ab的最小值为72 62.故选：A.7实数 a，b 满足2410abab，则下列说法正确的是（）A5252aB94 594 5aC2323bD94 594 5b【答案】B【解析】由题知2410abab，即44214ababbb，即22(2)(1)4abb，则22(2)(1)4abb表示在xab，yb的坐标系下，圆心坐标为(2,1)，半径为2的圆，22()()aabb表示的几何意义为圆上一点到原点的距离的平方，所以22()()aabb22(52),(52)94 5,94 5，同理2()0,9bb.故选：B.8过坐标原点O作直线:(2)(1)60laxay的垂线，垂足为(,)H m n，则22mn的取值范围是（）A0,2 2B0,22C0,8D0,8【答案】D【解析】直线:2160laxay，即()260a xyxy，令0260 xyxy，解得22xy，即直线:2160laxay过定点(2,2)A,由过坐标原点O作直线:2160laxay的垂线，垂足为(,)H m n，可知：(,)H m n落在以 OA 为直径的圆上，而以 OA 为直径的圆为22(1)(1)2xy，如图示：故22mn可看作是圆上的点(,)H m n到原点距离的平方，而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为|2 2OA，但将原点坐标代入直线:(2)(1)60laxay中，60不成立，即直线 l 不过原点，所以(,)H m n不可能和原点重合，故22(0,8mn，故选：D二、多选题二、多选题9圆上的点（2，1）关于直线 xy0 的对称点仍在圆上，且圆的半径为5，则圆的方程可能是（）A0 xyB22135xyC2225xyD22115xy【答案】AD【解析】由题意可知圆心在直线 xy0 上，设圆心坐标为（a，a），则22215aa，解得 a0 或 a1，所求圆的方程为22115xy或0 xy,故选：AD10已知圆22:49O xy，直线 l 过点(2,6)N，且交圆 O 于 P，Q 两点，点 M 为线段 PQ 的中点，则下列结论正确的是（）A点 M 的轨迹是圆B|PQ的最小值为 6C使|PQ为整数的直线 l 共有 9 条D使|PQ为整数的直线 l 共有 16 条【答案】ABD【解析】因为直线 l 恒过点(2,6)N，且点 M 为弦 PQ 的中点，所以OMMN，则易得点 M 的轨迹是圆，故 A 对；圆心 O 到直线 l 的距离为22OMONMN，故当0MN 时有最大值，即22max262 10OMON，故|PQ的最小值为2m2ax22 49406OrM，故 B 对；由过定点最短弦与最长弦有唯一性，以及长度在最短弦与最长弦之间的弦有对称性可知，使|PQ为整数的直线 l 有22(1461)16（条），故 C 错，D 对.故选：ABD11已知圆22:14C xy，直线:2l yk x交圆 C 于点 A，B，线段 AB 的中点为 M，则以下各点在点 M 的轨迹上的有（）A511,2B11,2骣琪-琪桫C511,22D511,22【答案】AC【解析】由题意可知，如图所示点 M 的轨迹是以点0,1C和点2,0P 为直径的圆，且在圆 C 内的部分.点 M 的轨迹方程是2215124xy（点2,1H 和点63,55I之间的优弧，不含端点）.对于 A,将点511,2代入2215124xy中，得22511511224，所以点511,2在点 M 的轨迹上，故 A 正确；对于 B,将点11,2骣琪-琪桫代入2215124xy中，得22115110224，所以点11,2骣琪-琪桫在点 M 的轨迹上，故 B 不正确；对于 C，将点511,22代入2215124xy中，得2251151 12224，所以点511,22在点 M 的轨迹上，故 C 正确；对于 D，点511,22不在点 M 的轨迹上，故 D 不正确.故选：AC.12已知圆M的一般方程为22860 xyxy，则下列说法正确的是（）A圆M的圆心为4,3B圆M被x轴截得的弦长为 10C圆M的半径为 5D圆M被y轴截得的弦长为 8【答案】AC【解析】由圆M的一般方程为22860 xyxy，则圆222:(4)(3)5Mxy，故圆心为(4,3)，半径为5，则 AC 正确；令0 x，得0y 或6y ，弦长为 6，故 D 不正确；令0y，得0 x 或8x，弦长为 8，故 B 不正确.故选：AC三、填空题三、填空题13唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为22(2)3xy，若将军从点(4 0)A ，处出发，河岸线所在直线方程为10 xy，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为_【答案】5 23【解析】设点(4 0)A ，关于直线10 xy 的对称点(,)A a b，则AA的中点为4(,)22ab，4AAbka,故(1)1441022baab 解得15ab，由22(2)3xy知军营所在区域中心为(0,2)C，要使从点(4 0)A ，到军营总路程最短，即为点A到军营最短的距离为3A C，“将军饮马”的最短总路程为2215235 23，故答案为：5 2314经过点1,5A和2,2 2B，且圆心在 x 轴上的圆的一般方程为_【答案】2260 xyx【解析】解：设圆的方程为2222040 xyDxEyFDEF，因为圆心在 x 轴上，所以02E，即0E，又圆经过点(1,5)A和(22 2)B，所以22221(5)02(2 2)20DFDF 即602120DFDF，解得60DF，故所求圆的一般方程为2260 xyx，故答案为：2260 xyx15已知点 P(m，n)在圆22:229Cxy上运动，则2221mn的最大值为_，最小值为_，22mn的范围为_【答案】64432 2,32 2【解析】由圆 C 的圆心为(2,2)，半径为 3，且 P 在圆C上，则2221mn表示在圆C上点到(2,1)距离的平方，而圆心到(2,1)的距离为222(2)2(1)53 ，所以在圆C上点到(2,1)距离的最大值为 8，最小值为 2，故2221mn的最大值为 64，最小值为 4；又22mn表示在圆C上点到原点的距离，而圆心到原点距离为2 23，所以22mn的范围为32 2,32 2.故答案为：64，4，32 2,32 216在ABC中，2AB，1ACkBC k，则当ABC面积的最大值为2 2时，k_【答案】2【解析】解：不妨设 A（1，0），B（1,0，,C x y，因为ACkBC，所以2222211xykxy，整理可得222222112110kxkykxk，即222222211111kkxykk，又1k，所以点 C 的轨迹是圆心为221,01kk，半径为222111krk的圆，当点 C 到 AB 的距离最大时，ABC的面积最大，即当点 C 到 AB 的距离 d 等于半径 r 时面积最大，所以ABC面积的最大值是122 22r，解得2 2r，所以2222112 21kk，解得22k或212k（舍去），所以2k 故答案为：2.四、解答题四、解答题17已知ABC中，点1,5A，边BC所在直线1l的方程为7180 xy，边AB上的中线所在直线2l的方程为yx.(1)求点B和点C的坐标；(2)以3,2M为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程.【答案】(1)2,4B，3,3C(2)223225xy【解析】（1）设11,B x y，22,C xy，AB的中点1115,22xyD，由题意可得直线CD的直线方程：2:lyx，则22227180yxxy，解得2233xy，111115227180 xyxy，解得1124xy，故2,4B，3,3C.（2）221 3525AM ，22234237BM ，223 3321CM，由1537，则圆方程为223225xy.18已知线段 AB 的端点 B 的坐标是6,5，端点 A 在圆221:434Cxy上运动(1)求线段 AB 的中点 P 的轨迹2C的方程；(2)若点 C 在曲线2C上运动，点 Q 在 x 轴上运动，求QAQC的最小值【答案】(1)22541xy；(2)5 23【解析】（1）解：设点 P 的坐标为,x y，点 A 的坐标为00,xy，由于点 B 的坐标为6,5，且点 P 是线段AB 的中点，所以062xx，052yy于是有026xx，025yy因为点 A 在圆221:434Cxy上运动，所以点 A 的坐标满足方程22434xy=，即2200434xy把代入，得222642534xy ，整理，得22541xy，所以点 P 的轨迹2C的方程为22541xy（2）解：圆1C的圆心为4,3，半径12r，圆2C的圆心为5,4，半径21r，所以1122123QAQCQCrQCrQCQC当且仅当 A 在线段1QC上且 C 在线段2QC上时，取等号取14,3C关于 x 轴的对称点34,3C，当点 Q 为直线23C C与 x 轴的交点时，12QCQC取得最小值，且23min125 2CQQCCC，所以QAQC的最小值为5 2319已知定点(1,0)M，(2,0)N，动点 P 满足|2|PNPM.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)已知点 B（6，0），点 A 在轨迹 C 运动，求线段 AB 上靠近点 B 的三等分点 Q 的轨迹方程.【答案】(1)222xy；(2)222(4)9xy【解析】（1）设动点 P 的坐标为(,)x y，因为(1,0)M，(2,0)N，且|2|PNPM，所以2222(2)2(1)xyxy，整理得222xy，所以动点 P 的轨迹 C 的方程为222xy；（2）设点Q的坐标为(,)x y，点 A 坐标为(,)AAxy，因为 Q 是线段 AB 上靠近点 B 的三等分点，所以2AQQB，即(,)2(6,)AAxxyyxy，解得3123 AAxxyy，又点 A 在轨迹 C 运动，由（1）有：22(312)(3)2xy，化简得：222(4)9yx，即 Q 的轨迹方程：222(4)9yx.20数学家欧拉在 1765 年提出：三角形的外心重心垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.若ABC的顶点2,0,0,4AB，且ABC的欧拉线的方程为20 xy.(1)求ABC外接圆方程；(2)求BC边上的高线AD截ABC外接圆的弦长.【答案】(1)22(1)(1)10 xy；(2)4 2【解析】(1)设,C m n，因为2,0,0,4AB，由重心坐标公式得重心为24,33mn，代入欧拉线方程得：40mn又AB的中点为(1,2)，40202ABk，所以AB的中垂线方程为230 xy，联立23020 xyxy，解得11xy，所以ABC的外心为(1,1)，由三角形外心到两个顶点的距离相等，则2222(1)(1)3110mn，化简得：22228mnmn联立得：4,0mn 或0,4mn，当0,4mn时，B、C重合，舍去，所以顶点C的坐标是(4,0)设ABC外接圆的方程为222()()xaybr，将,A B C三点的坐标代入，则222222222200440abrabrabr，解得21110abr 所以ABC外接圆的方程为22(1)(1)10 xy(2)0,4B，4,0C，1BCk，1ADk 则BC边上的高线AD的方程为20 xy圆心(1,1)到直线AD的距离1 1222d 则BC边上的高线AD截圆的弦长2222 1024 2rd。常考题型常考题型 0808 直线与圆、圆与圆的位置关系问题直线与圆、圆与圆的位置关系问题1.直线 AxByC0 与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系位置关系相交相切相离公共点个数2 个1 个0 个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为 d|AaBbC|A2B2dr代数法：由AxByC0，xa2yb2r2，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式00r1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|考法一：考法一：判定直线与圆的位置关系判定直线与圆的位置关系1.几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系:dr相离，即可判断直线与圆的位置关系，这种方法的特点是计算量较小.2.代数法：将直线方程与圆的方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系，即=acb42，0相交，=0相切，这种方法具有一般性.0相离.考法二：考法二：求圆的切线方程求圆的切线方程1.求过圆上一点(0 x，0y)的圆的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率 k，若 k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程为 y=0y；若 k=0，则结合图形可直接写出切线方程为 x=0 x；若 k 存在且 k0，则由垂直关系知切线的斜率为一k1，由点斜式可写出切线方程.2.求过圆外一点(0 x，0y)的圆的切线方程的两种方法(1)几何法当斜率存在时，设为 k，则切线方程为 y-0y=k(x-0 x)，即 kx-y+0y-k0 x=0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出 k 的值，进而写出切线方程.(2)代数法当斜率存在时，设为 k，则切线方程为 y-0y=k(x-0 x)，即 y=kx-k0 x+0y，代入圆的方程，得到一个关于 x的一元二次方程，由=0，求得 k，进而写出切线方程.考法三：考法三：圆的弦长
