2022-2023学年高二数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019）常考题型11 抛物线的标准方程及最值问题含解析.pdf
2022-20232022-2023 学年高二数学上学期期中期末常考题型重点突破学年高二数学上学期期中期末常考题型重点突破常常考题型考题型 1111 抛物线的标准方程及最值问题抛物线的标准方程及最值问题1.抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)p2，0 xp2y22px(p0)p2，0 xp2x22py(p0)0，p2yp2x22py(p0)0，p2yp22.抛物线的简单几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴x 轴x 轴y 轴y 轴焦点坐标Fp2，0Fp2，0F0，p2F0，p2准线方程xp2xp2yp2yp2顶点坐标O(0,0)离心率e1通径长2p考法一：考法一：求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程1.定义法和待定系数法若题目已给出抛物线的方程(含有未知数 p)，那么只需求出 p 即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为axy 2(a0)，a 的正负由题设来定；焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程可设为ayx 2(a0)，这样就减少了不必要的讨论.2.3 个注意点(1)当坐标系已建立时，应先确定抛物线方程属于哪种类型；(2)注意抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离.考法二：考法二：利用抛物线的定义解最值问题利用抛物线的定义解最值问题与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得以解决.(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决.探究一：探究一：求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程已知抛物线 C 的顶点与坐标原点重合，焦点为(3,0)F.过 F 且斜率为正的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，若4ABFB ，则 l 的方程为（）A390 xyB4 343 30 xyC330 xyD33 30 xy思路分析：思路分析：根据给定条件，求出抛物线 C 的方程，设出直线 l 的方程，与 C 的方程联立，结合4ABFB 关系求解作答。【变式练习】【变式练习】1如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b（ab），原点O为边AD的中点，抛物线220ypx p经过C，F两点，则ba（）A12B12C1D22已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率54e，且双曲线 C 的两条渐近线与抛物线22(0)ypx p的准线围成的三角形的面积为 3，则 p 的值为（）A1B2C2 2D4探究二：探究二：利用抛物线的定义解最值问题利用抛物线的定义解最值问题已知抛物线C：28yx，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：22430 xyx作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（）A1B2C3D5思路分析：思路分析：由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则Rt2PADPADBSSPA四边形，而21PAPD，所以当PD最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果。【变式练习】【变式练习】1已知F为抛物线22yx的焦点，00,A xy为抛物线上的动点，点1,0B.则221ABAF 最大值的为（）A12B2C62DP A D B2已知圆 C 经过点1,0P，且与直线1x 相切，则其圆心到直线30 xy 距离的最小值为（）A3B2C3D2一、单选题一、单选题1在抛物线 y216x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（）A4 2,2B4 2,2C2,4 2D2,4 22我们知道，二次函数2yaxbxc的图象是抛物线，有同学发现经过抛物线这一节的学习，结合函数图象平移的性质可求出该抛物线的焦点坐标.则二次函数221631yxx的图象的焦点坐标为（）A94,8B14,2C74,8D34,23 已知抛物线220ypx p上一点1,0Mmm 到其焦点的距离为 5，双曲线2210,0 xyabab的左顶点为A，离心率为52，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则双曲线的方程为（）A2214yx B2214xyC2241xyD2221xy4已知抛物线2(0)ymxm上的点02x,到该抛物线焦点F的距离为114，则m（）A4B3C14D135抛物线26yx上一点11,M x y到其焦点的距离为92，则点M到坐标原点的距离为（）A3 3B2 3C3D26直线过抛物线24xy的焦点，且平分圆2211xy，则该直线的方程为（）A1yxB1yx C1y D0 x 7已知抛物线:2ypx（其中p为常数）过点A（1，3），则抛物线的焦点到准线的距离等于（）A112B16C32D38已知点 F 为抛物线24yx的焦点，1,0A，点 M 为抛物线上一动点，当MFMA最小时，点 M 恰好在以A，F 为焦点的双曲线 C 上，则双曲线 C 的渐近线斜率的平方是（）A512B22 2C32 3D2 214二、多选题二、多选题9设抛物线C：22ypx（0p）的焦点为F，准线为l，A 为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点若90ABD，且ABF的面积为9 3，则（）AABF是等边三角形B3BF C点F到准线的距离为 3D抛物线C的方程为26yx10已知抛物线22ypx（0p）上一点M到其准线及对称轴的距离分别为 3 和2 2，则p的可能取值为（）A1B2C3D411已知C：220ypx p的焦点为F，斜率为3且经过点F的直线l与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若4AF，则（）A2p BF为线段AD的中点C2 BDBFD2BF 12已知点00,P xy是抛物线 C：24yx上一动点，则（）AC 的焦点坐标为2,0BC 的准线方程为10 x C2200011xxy D02011xy的最小值为34三、填空题三、填空题13与抛物线24xy关于直线0 xy对称的抛物线的焦点坐标是_14设抛物线24yx的焦点弦被焦点分为长是,p q的两部分，请写出一个,p q必然满足的恒等式_15已知抛物线C：24yx的焦点为F，准线为l，P为C上在第一象限的一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴相交于点R，若60NRF，则FR _.16已知点 A 是抛物线28xy的对称轴与准线的交点，点 B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上在PAB 中，sinsinPABmPBA mR，当 m 取最小值时，点 P 恰好在以 A，B 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为_四、解答题四、解答题17已知椭圆 C：222210 xyabab的一个焦点与抛物线24yx的焦点相同，12,F F为 C 的左、右焦点，M 为 C 上任意一点，12MF FS最大值为 1(1)求椭圆 C 的方程；(2)设不过点 F2的直线 l：ykx+m（m0）交椭圆 C 于 A，B 两点若 x 轴上任意一点到直线 AF2与 BF2距离相等，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标18已知抛物线22(0)ypx p的焦点 F 到其准线的距离为 4(1)求 p 的值；(2)过焦点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线交于 A，B 两点，求|AB19已知一个半径为32的圆的圆心在抛物线2:20C ypx p上，该圆经过坐标原点且与 C 的准线 l 相切.过抛物线 C 的焦点 F 的直线 AB 交 C 于 A，B 两点，过弦 AB 的中点 M 作平行于 x 轴的直线，与直线 OA，OB，l 分别相交于 P，Q，N 三点.(1)求抛物线 C 的方程；(2)当13PQMN时，求直线 AB 的方程.20已知抛物线2:20P ypx p上的点3,4a到其焦点的距离为1(1)求p和a的值；(2)若直线:l yxm交抛物线P于A、B两点，线段AB的垂直平分线交抛物线P于C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆常考题型常考题型 1111 抛物线的标准方程及最值问题抛物线的标准方程及最值问题1.抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)p2，0 xp2y22px(p0)p2，0 xp2x22py(p0)0，p2yp2x22py(p0)0，p2yp22.抛物线的简单几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴x 轴x 轴y 轴y 轴焦点坐标Fp2，0Fp2，0F0，p2F0，p2准线方程xp2xp2yp2yp2顶点坐标O(0,0)离心率e1通径长2p考法一：考法一：求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程1.定义法和待定系数法若题目已给出抛物线的方程(含有未知数 p)，那么只需求出 p 即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为axy 2(a0)，a 的正负由题设来定；焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程可设为ayx 2(a0)，这样就减少了不必要的讨论.2.3 个注意点(1)当坐标系已建立时，应先确定抛物线方程属于哪种类型；(2)注意抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离.考法二：考法二：利用抛物线的定义解最值问题利用抛物线的定义解最值问题与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得以解决.(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决.探究一：探究一：求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程已知抛物线 C 的顶点与坐标原点重合，焦点为(3,0)F.过 F 且斜率为正的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，若4ABFB ，则 l 的方程为（）A390 xyB4 343 30 xyC330 xyD33 30 xy思路分析：思路分析：根据给定条件，求出抛物线 C 的方程，设出直线 l 的方程，与 C 的方程联立，结合4ABFB 关系求解作答。【解析】依题意，抛物线 C 的方程：212yx，显然直线 l 不垂直于 y 轴，设其方程为：3xky，由2312xkyyx消去 x 并整理得：212360yky，设1122(,),(,)A x yB xy，于是得121212,36yyk y y，而直线 l 的斜率为正，且4ABFB ，即3AFFBuuu ruur，有120,0yy，即有123yy，则2212y，解得22 3y ，因此21224 3ky，解得33k，所以直线 l 的方程为：333xy，即33 30 xy.故选：D【答案】D【变式练习】【变式练习】1如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b（ab），原点O为边AD的中点，抛物线220ypx p经过C，F两点，则ba（）A12B12C1D2【答案】A【解析】由题意，得点C的坐标为,2aa，点F的坐标为,2ab b，C，F两点都在抛物线22ypx上，222222aapabpb，即2220abab，即2120bbaa，解得12ba 或12ba，又0ab，12ba,故选:A2已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率54e，且双曲线 C 的两条渐近线与抛物线22(0)ypx p的准线围成的三角形的面积为 3，则 p 的值为（）A1B2C2 2D4【答案】D【解析】解：根据题意，2514cbeaa，可得2916ba，所以双曲线的渐近线方程为34yx=，抛物线的准线方程为2px ，设准线与抛物线的交点分别为 M，N，则,23,4pxyx ，可解得3,28ppM，同理3,28ppN，所以2133322416OMNppSp，解得4p.故选：D探究二：探究二：利用抛物线的定义解最值问题利用抛物线的定义解最值问题已知抛物线C：28yx，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：22430 xyx作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（）A1B2C3D5思路分析：思路分析：由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则Rt2PADPADBSSPA四边形，而21PAPD，所以当PD最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果。【解析】如图，连接PD，圆D：2221xy，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为 1，则Rt2PADPADBSSPA四边形又21PAPD，所以当四边形PADB的面积最小时，PD最小过点P向抛物线的准线2x 作垂线，垂足为E，则PDPE，当点P与坐标原点重合时，PE最小，此时2PE 故2minmin13PADBSPD四边形故选：C【答案】C【变式练习】【变式练习】1已知F为抛物线22yx的焦点，00,A xy为抛物线上的动点，点1,0B.则221ABAF 最大值的为（）A12B2C62DP A D B【答案】C【解析】由题意知：00 x，1,02F；2220000141ABxyxx，012AFx，2200000022414121221ABxxxxAFxx；令01 1tx，则01xt，2222141122222121ttABttAFtttt，则当12142t，即2t 时，221ABAF 取最大值，此时26212ABAF.故选：C.2已知圆 C 经过点1,0P，且与直线1x 相切，则其圆心到直线30 xy 距离的最小值为（）A3B2C3D2【答案】D【解析】解：依题意，设圆 C 的圆心,C x y，动点 C 到点 P 的距离等于到直线1x 的距离，根据抛物线的定义可得圆心 C 的轨迹方程为24yx，设圆心 C 到直线30 xy 距离为 d，222132841234224 24 2yyyyyxyd，当2y 时，min2d，故选：D一、单选题一、单选题1在抛物线 y216x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（）A4 2,2B4 2,2C2,4 2D2,4 2【答案】D【解析】抛物线216yx的顶点为0,0O，焦点为4,0F，设,P x y符合题意，则有22222164yxxyxy，即2162yxx，解得4 22yx，所以符合条件的点为2,4 2，故选：D2我们知道，二次函数2yaxbxc的图象是抛物线，有同学发现经过抛物线这一节的学习，结合函数图象平移的性质可求出该抛物线的焦点坐标.则二次函数221631yxx的图象的焦点坐标为（）A94,8B14,2C74,8D34,2【答案】C【解析】由抛物线2221631241yxxx知21142yx可以看做时抛物线212yx(焦点坐标10,8)先向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位，故221631yxx的焦点坐标为74,8故选：C3 已知抛物线220ypx p上一点1,0Mmm 到其焦点的距离为 5，双曲线2210,0 xyabab的左顶点为A，离心率为52，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则双曲线的方程为（）A2214yx B2214xyC2241xyD2221xy【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F，则抛物线的定义可得152pMF ，解得8p，所以抛物线的方程为216yx，因为点1,0Mmm 在抛物线上，所以216m，得4m，所以(1,4)M，由题意得(,0)Aa，双曲线的渐近线方程为byxa，因为离心率为52，所以52ca，所以2222254cabaa，得2ab，因为双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，所以411baa，得4(1)ba a，所以由4(1)2ba aab，得112ab，所以双曲线的方程为22114yx，即2241xy，故选：C4已知抛物线2(0)ymxm上的点02x,到该抛物线焦点F的距离为114，则m（）A4B3C14D13【答案】D【解析】由题意，抛物线2(0)ymxm的准线方程为14ym，根据抛物线的定义，可得点02x,到焦点F的距离等于到准线14ym 的距离，可得111244m，解得13m 故选：D.5抛物线26yx上一点11,M x y到其焦点的距离为92，则点M到坐标原点的距离为（）A3 3B2 3C3D2【答案】A【解析】由题意知，焦点坐标为3,02，准线方程为32x ，由11,M x y到焦点距离等于到准线距离，得13922x，则13x，2118y，可得223 3xy，故选：A.6直线过抛物线24xy的焦点，且平分圆2211xy，则该直线的方程为（）A1yxB1yx C1y D0 x【答案】B【解析】抛物线24xy的焦点为0,1，由于直线平分圆，故直线l经过圆心1,0，所以可得直线l经过点0,1和1,0，故斜率1 010 1k，由斜截式可得方程为：1yx ，故选：B7已知抛物线:2ypx（其中p为常数）过点A（1，3），则抛物线的焦点到准线的距离等于（）A112B16C32D3【答案】B【解析】由抛物线 ypx2(其中 p 为常数)过点 A(1,3)，可得 p3，则抛物线的标准方程为 x213y，则抛物线的焦点到准线的距离等于16.故选：B8已知点 F 为抛物线24yx的焦点，1,0A，点 M 为抛物线上一动点，当MFMA最小时，点 M 恰好在以A，F 为焦点的双曲线 C 上，则双曲线 C 的渐近线斜率的平方是（）A512B22 2C32 3D2 214【答案】B【解析】由抛物线的对称性，不妨设M为抛物线第一象限内点，如图所示：故点M作MB垂直于抛物线的准线于点 B，由抛物线的定义知|MFMB，易知/MBx轴，可得MAFBMA coscosMFMBABMAAMAM FM当MAF取得最大值时，MFMA取得最小值，此时AM与抛物线24yx相切，设直线AM方程为：1yk x，联立241yxyk x，整理得2222240k xkxk，其中216160k ，解得：1k ，由M为抛物线第一象限内点，则1k，则24210 xx，解得：1x，此时24y，即2y 或2y 所以点M的坐标且(1,2)M由题意知，双曲线的左焦点为1,0A，右焦点为1,0F设双曲线的实轴长为 2a，则2|2 22aAMMF，21a，又1c，则12121ca，故渐近线斜率的平方为2222222121122 2bcacaaa 故选：B二、多选题二、多选题9设抛物线C：22ypx（0p）的焦点为F，准线为l，A 为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点若90ABD，且ABF的面积为9 3，则（）AABF是等边三角形B3BF C点F到准线的距离为 3D抛物线C的方程为26yx【答案】ACD【解析】根据题意作图，如图所示:因为以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，所以FAFB，又90ABD，故ABl，A 在抛物线上，所以FAAB，所以ABF为等边三角形，故 A 正确；因为90ABD，则ABx轴，过F作FEAB于点E，则点E为AB的中点，点E的横坐标为2p，点B的横坐标为2p，所以点 A 的横坐标为32p，则2ABp，所以223349 344ABFSABp，解得3p，则26BFABp，故 B 错误；焦点F到准线的距离为3p，故 C 正确；抛物线C的方程为26yx，故 D 正确故选：ACD10已知抛物线22ypx（0p）上一点M到其准线及对称轴的距离分别为 3 和2 2，则p的可能取值为（）A1B2C3D4【答案】BD【解析】因为抛物线22ypx（0p）上一点M到其准线及对称轴的距离分别为 3 和2 2，所以2 232MMypx，即2 232MMypx，代入抛物线方程可得8232pp，整理得2680pp，解得2p 或4p,故选:BD11已知C：220ypx p的焦点为F，斜率为3且经过点F的直线l与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若4AF，则（）A2p BF为线段AD的中点C2 BDBFD2BF【答案】AB【解析】解：易知,02pF，由题意可得直线l的方程为32pyx由2232ypxpyx，消去y并整理，得22122030 xpxp，解得32Axp，16Bxp由242AppAxF，得2p，423BxBpF 过点B作BN垂直准线于点N，易知60DBN，8cos60cos603BNBFBD，2BDBF.84433DFBDBF，F为线段AD的中点故选：AB12已知点00,P xy是抛物线 C：24yx上一动点，则（）AC 的焦点坐标为2,0BC 的准线方程为10 x C2200011xxy D02011xy的最小值为34【答案】BCD【解析】由抛物线的方程知，焦点坐标为1,0，准线方程为1x 故 A 错误，B 正确根据抛物线的定义可得点 P 到焦点的距离等于点 P 到准线的距离，即2200011xxy，故 C 正确因为2004yx，所以22000222000111111132141414444yyxyyy（当且仅当20201141yy，即201y 时，等号成立），故02011xy的最小值为34，故 D 正确故选：BCD.三、填空题三、填空题13与抛物线24xy关于直线0 xy对称的抛物线的焦点坐标是_【答案】1,0【解析】解：因为抛物线24xy的焦点为(0,1)，设点(0,1)关于直线0 xy对称的点为(,)a b，则有111022baab，解得10ab，所以点(0,1)关于直线0 xy对称的点为1,0.故答案为：1,0.14设抛物线24yx的焦点弦被焦点分为长是,p q的两部分，请写出一个,p q必然满足的恒等式_【答案】pqpq【解析】若斜率存在，设为k，则过焦点的直线方程为(1)yk x，联立214yk xyx，可得2222240k xkxk，21212224,1kxxx xk，由抛物线定义可得221222412422kkpqxxkk221212122241241112kkpqxxx xxxkk 所以pqpq若斜率不存在，则2pq，符合pqpq故答案为：pqpq15已知抛物线C：24yx的焦点为F，准线为l，P为C上在第一象限的一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴相交于点R，若60NRF，则FR _.【答案】2【解析】解：如图所示，连接MF，QF，设准线与x轴交于点H，由题意得2FH，PFPQ.M，N分别为PQ，PF的中点，MNQF.PQ垂直l于点Q，PQOR，四边形FRMQ为平行四边形，FRQM，60PQFNRF，又PQPF，PQF为等边三角形，FMPQ，则四边形HFMQ为矩形，2QMFH，2FRQM.故答案为：216已知点 A 是抛物线28xy的对称轴与准线的交点，点 B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上在PAB 中，sinsinPABmPBA mR，当 m 取最小值时，点 P 恰好在以 A，B 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为_【答案】21【解析】如图，作PH垂直于准线于 H，sinsinPABmPBA，PBPBm PAmPA，根据抛物线的定义有PHPB，sinPHmPAHPA，当 m 最小时，sinPAH最小.故当直线 AP 与抛物线相切时，PAH 最小易知点 A（0，2），设直线 AP 方程为2ykx，联立22288160646402xyxkxkykx1,4,2kP，4 2PA，4PHPB此时，椭圆中24 24aPAPB，24c 椭圆离心率21cea故答案为：21.四、解答题四、解答题17已知椭圆 C：222210 xyabab的一个焦点与抛物线24yx的焦点相同，12,F F为 C 的左、右焦点，M 为 C 上任意一点，12MF FS最大值为 1(1)求椭圆 C 的方程；(2)设不过点 F2的直线 l：ykx+m（m0）交椭圆 C 于 A，B 两点若 x 轴上任意一点到直线 AF2与 BF2距离相等，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标【答案】(1)2212xy(2)证明见解析，定点坐标为2,0【解析】（1）由抛物线的方程24yx得其焦点为10，则1c，当点 M 为椭圆的短轴端点时，12MF F面积最大，此时1 21212MF FSc b，则1b，所以2a，故椭圆的方程为2212xy.（2）联立2212xyykxm得，222124220kxkmxm，222222164 1 2228 210k mkmkm，设11,A x y，22,B xy，则122412kmxxk，21222212mx xk，1122121122,1111ykxmykxmkkxxxx，由题意可得120kk，1212011kxmkxmxx，即1212220kx xmkxxm，2222242201212mkmkmkmkk，解得2mk，所以直线l的方程为2yk x，故直线l恒过定点，该定点坐标为2,018已知抛物线22(0)ypx p的焦点 F 到其准线的距离为 4(1)求 p 的值；(2)过焦点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线交于 A，B 两点，求|AB【答案】(1)4p；(2)|16|AB【解析】（1）由抛物线22(0)ypx p可得焦点,02pF，准线方程为2px ，又因为抛物线22(0)ypx p的焦点到其准线的距离为4，所以4p；（2）由（1）可得抛物线的方程为28yx，所以焦点(2,0)F，则直线AB的方程为2,yx设1122,A x yB x y，联立228yxyx，整理可得21240 xx，所以1212xx，由抛物线的性质可得12|12416ABxxp19已知一个半径为32的圆的圆心在抛物线2:20C ypx p上，该圆经过坐标原点且与 C 的准线 l 相切.过抛物线 C 的焦点 F 的直线 AB 交 C 于 A，B 两点，过弦 AB 的中点 M 作平行于 x 轴的直线，与直线 OA，OB，l 分别相交于 P，Q，N 三点.(1)求抛物线 C 的方程；(2)当13PQMN时，求直线 AB 的方程.【答案】(1)24yx；(2)2 22 2yx或2 22 2yx【解析】（1）设圆的圆心坐标为00,xy，可得2002ypx.易知抛物线的焦点为,02p，准线方程为2px ，由题意得2222000009224pxyxpxx，解得2p（负值舍去），则抛物线 C 的方程为24yx.（2）由（1）知1,0F，设直线 AB 的方程为1xmy，与抛物线的方程24yx联立，可得2440ymy，11,A x y，22,B xy，则124yym，124y y ，21212224xxm yym，则 AB 的中点 M 的坐标为212,2mm，易知1,2Nm，故222MNm，直线 OA 的方程为11yyxx，即14yxy，直线 OB 的方程为22yyxx，即24yxy，令2ym，可得1,22myPm，2,22myQm，则21211122233PQm yyMNm，即22221116162249mmm，解得24m ，所以直线 AB 的方程为214xy，即2 22 2yx或2 22 2yx.20已知抛物线2:20P ypx p上的点3,4a到其焦点的距离为1(1)求p和a的值；(2)若直线:l yxm交抛物线P于A、B两点，线段AB的垂直平分线交抛物线P于C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆【答案】(1)12p，32a ；(2)证明见解析【解析】（1）解：抛物线P的焦点为,02pF，准线方程为2px ，点3,4a到其焦点的距离为1，则3124p，可得12p，故抛物线P的方程为2yx将点3,4a的坐标代入抛物线方程可得234a，解得32a .（2）解：由中垂线的性质可得ACAD，BCBD，CDCD，ACDBCD，所以，CADCBD，设11,A x y、22,B xy，联立2yxyxm消去x并整理，得20yym，则121yy，12y ym，且140m ，即14m，则212121221124281AByyyyy ym设线段AB的中点为M，则点M的纵坐标为12122yy，所以，点M的横坐标为12m，则11,22Mm直线CD为线段AB的垂直平分线，所以，直线CD的方程为1yxm 设33,C xy、44,D xy，联立21yxyxm ，消去x并整理得210yym，1 41540mm ，可得54m，则341yy，341y ym，故2343434211241081CDyyyyy ym设线段CD的中点为N，则31,22Nm21154108242mCDm，222215428222ANAMmmMN，12ANCD，故ANCNDN，所以，ACNCAN，ADNDAN，故1902CADACNCADADN，故90CBD，所以，点A、B都在以CD为直径的圆上，故A、B、C、D四点共圆常考题型常考题型 1212 圆锥曲线中与弦有关的问题圆锥曲线中与弦有关的问题考法一：考法一：抛物线的焦点弦问题抛物线的焦点弦问题1.焦半径与焦点弦：P(0 x，0y)，Q(1x，1y)是抛物线上两动点，F 是抛物线的焦点，且 PQ 过焦点，则线段PF 称为抛物线的焦半径，线段 PQ 称为抛物线的焦点弦。标准方程)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx图形焦半径长0 x+2p-0 x+2p0y+2p-0y+2p焦点弦长0 x+1x+p-（0 x+1x）+p0y+1y+p-(0y+1y)+p2.解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解。考法二：考法二：圆锥曲线的中点弦问题圆锥曲线的中点弦问题点差法求圆锥曲线（以椭圆为例）中点弦所在直线方程的步骤：设直线 y=kx+b 与椭圆122nymx的两个交点坐标为 A(1x，1y)，B(2x，2y)，AB 的中点 M(0 x，0y)；把 A，B 两点的坐标分别代入曲线方程，则有12121nymx，12222nymx；将所得两式作差，整理得)()(21212121yyyynxxxxm，则)()()()(21212121yynxxmxxyy，00nymxk，从而转化为直线 AB 的斜率与中点 M 之间的关系；将中点坐标代入、化简。考法三：考法三：圆锥曲线中的弦长问题圆锥曲线中的弦长问题设而不求，整体代换(1)当弦的两端点坐标易求时，可先求出两端点坐标，再用两点间距离公式求解.(2)若斜率为 k 的直线与圆锥曲线相交于 A(1x，1y)，B(2x，2y)两个不同的点，则将直线方程与曲线方程联立，消元后得关于 x(或 y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，得1x+2x，1x2x(或1y+2y1y2y)后，整体代入弦长公式求解；若斜率不存在，则可直接求交点坐标再求弦长.(3)涉及椭圆或双曲线的焦点弦长注意定义的应用，当直线过抛物线的焦点时，可利用抛物线的焦点弦长公式求解弦长。探究一：探究一：抛物线的焦点弦问题抛物线的焦点弦问题已知抛物线2:8W xy，点11,A x y，22,B xy是曲线 W 上两点，若128yy，则AB的最大值为（）A10B14C12D16思路分析：思路分析：确定抛物线的准线方程，由抛物线定义可得124AFBFyy，结合条件可得12AFBF，结合抛物线的几何性质可得当且仅当 A，F，B 三点共线时12AB，即可得答案。【变式练习】【变式练习】1若抛物线24yx过焦点的弦被焦点分成长为 m 和 n 两部分，则 m 与 n 的关系式为（）A4mnB4mn CmnmnD2mnmn2已知抛物线2:20C ypx p的焦点为 F，直线 l 的斜率为3且经过点 F，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点（点 A 在第一象限），与抛物线的准线交于点 D，若8AF，则以下结论错误的是（）A4p BDFFA C2BDBFD4BF 探究二：椭圆探究二：椭圆的中点弦问题的中点弦问题过椭圆C：222210 xyabab右焦点F的直线l：20 xy交C于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12，则椭圆C的方程为（）A22184xyB22195xyC22173xyD221106xy思路分析：思路分析：由l与 x 轴交点横坐标可得半焦距 c，设出点 A，B 坐标，利用点差法求出22,ab的关系即可计算作答。【变式练习】【变式练习】1若过椭圆22142xy内一点11,2P的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（）A102xyB302xyC3202xyD20 xy2若椭圆22134xy的弦AB恰好被点1,1M平分，则AB所在的直线方程为（）A3410 xy B3470 xyC4310 xy D4370 xy探究三：双曲线探究三：双曲线的中点弦问题的中点弦问题已知双曲线22:22Cxy，过点(1,2)P的直线 l 与双曲线 C 交于 MN 两点，若 P 为线段 MN 的中点，则弦长|MN|等于（）A4 23B3 34C4 3D4 2思路分析：思路分析：设直线 MN 为2(1)yk x，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求 k 值，利用弦长公式求解即可。【变式练习】【变式练习】1直线 l 交双曲线22142xy于 A，B 两点，且4,1P为 AB 的中点，则 l 的斜率为（）A4B3C2D12已知双曲线方程2213yx，则以2,1A为中点的弦所在直线l的方程是（）A6110 xyB6110 xyC6110 xyD6110 xy探究四：抛物线探究四：抛物线的中点弦问题的中点弦问题已知直线:220lkxykp与抛物线2:20C ypx p相交于A、B两点，点1,1M 是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是（）A2p B2k CMAB的面积为5 5D5AB 思路分析：思路分析：求出抛物线C的准线方程，可求得p的值，可判断 A 选项的正误；利用点差法可求得线段AB的中点坐标，根据勾股定理列等式可求得k的值，可判断 B 选项的正误；利用抛物线的焦点弦长公式以及三角形的面积公式可判断 CD 选项的正误。【变式练习】【变式练习】1已知抛物线220 xpy p，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点的横坐标为 3，则该抛物线的准线方程为（）A3y B32y C3x D32x 2直线1ykx与抛物线24yx交于,A B两点，且线段AB中点的横坐标为 1，则k的值为（）A2或1B2C1D探究五：探究五：圆锥曲线中的弦长问题圆锥曲线中的弦长问题斜率为 1 的直线 l 与椭圆2212xy相交于 A，B 两点，则|AB的最大值为（）A2B2 33C2 63D4 33思路分析：思路分析：设直线方程yxm与椭圆方程联立，求得弦长232 262ABm，即可得到最大值。【变式练习】【变式练习】1已知双曲线 C：22221(0,0)xyabab的一条渐近线方程是2yx，过其左焦点(3,0)F 作斜率为 2 的直线 l 交双曲线 C 于 A，B 两点，则截得的弦长|AB（）A7B8C9D102已知抛物线C：212yx的焦点为F，准线为l，P为l上一点，PF的延长线交抛物线于点Q，若230 FPFQ，则QF（）A5B152C10D15一、单选题一、单选题1已知椭圆 C：22142xy内一点11,2M，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且 M 是线段 AB 的中点，则下列不正确的是（）.A椭圆的焦点坐标为2,0，2,0B椭圆 C 的长轴长为 4C直线l的方程为2230 xyD2 153AB 2已知P为椭圆2211615yx上任意一点，EF 为圆22:(1)1N xy的任意一条直径，则PE PF 的取值范围是（）A0,24B8,24C(0,24)D(8,24)3 已知椭圆2222:10 xyCabab的左焦点为F，过F作一条倾斜角为45的直线与椭圆C交于,A B两点，若3,2M 为线段AB的中点，则椭圆C的离心率是（）A33B12C25D554已知点 A，B 在双曲线223xy上，线段 AB 的中点为1,2M，则AB（）A2 5B4 5C2 10D4 105过双曲线222103xyaa的右焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|6AB，若这样的直线有且只有两条，则实数a的取值范围是（）A0,13,B0,13,C0,1D3,6已知斜率为1的
