广东省广州市华南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期阶段测试（二）数学试题含答案.pdf

试卷第 1 页，共 4 页 华南师大附中华南师大附中 2022-2023 学年度第一学期阶段测试（二）学年度第一学期阶段测试（二）高二数学高二数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 100 分考试用时 120 分钟 注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂.2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3回答第卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不准使用铅笔和涂改液不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第第卷卷 一、单选题：一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1等差数列*+中，已知2=2，5=8，则8=（）A2 B14 C12 D8 2等比数列*+中，若1+2+3+4=3（1+3），则公比为（）A1 B2 C2 D2 或2 3.莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把 100 个面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的13是较小的两份之和，则最小的一份为（）A5 B10 C15 D30 4已知数列*+满足+1+1=1，若1=2，则2022=（）A1 B12C32D2 5已知数列：1,12,21,13,22,31,14,23,32,41,，则34是数列中的（）A第 18 项 B第 19 项 C第 20 项 D第 21 项 6设等差数列*+，*+的前项和分别为，若=3:54;2，则88=（）A2528B3539C5558D25297已知公差不为 0 的等差数列 na的前n项和为nS，若457,15,0a S S ，则nS的最小值为（）A18 B105 C 14 D108 8数列 na满足111nnnaan，*Nn，则数列 na的前 80 项和为（）A2100 B1680 C 1640 D1620 二、多选题：二、多选题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得 3 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.9若数列 na是等比数列，则下列数列一定是等比数列的有（）试卷第 2 页，共 4 页 D1C1A1B1A2B2D2C2A3B3C3D3D4A4B4C4A 2na B1nnaa C1nnaa D1na 10已知数列*+的通项公式为=3+1,为奇数2 2,为偶数，则（）A6=19 B7 6 C5=22 D6 8 11将 n2个数排成 n 行 n 列的一个数阵(其中*7,Nnn)，如图：该数阵第一列的 n 个数从上到下构成以 m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m0）.已知a112，a13a61+1，记这 n2个数的和为 S.下列结论正确的有（）111213121222323132333123nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa Am3 B67=17 37 C=(3 1)3;1 D=14(3+1)(3 1)12已知数列na的前 n 项和为nS，*110,ln e2Nnannaaan，则下列选项正确的是（）A存在nN，使得ln2na B212nnaa C202220222S D21na是单调递增数列，2na是单调递减数列 第第卷卷 三、三、填空题：填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分 13等比数列*+中，若1=1,3=1,则2=_ 14用数学归纳法证明222211 3521413nnn的过程中，由nk递推到1nk时，等式左边增加的项是_.15 等比数列*+满足1+3=10，2+4=5，数列*+满足1=14，2时，;1=1，则数列*+的通项公式为_.16 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，它是由无数个正方形环绕而成.如图正方形1111DCBA的边长为 1，取其四边的三等分点2222ABCD，作第二个正方形为2222A B C D，然后再取正方形2222A B C D各边的三等分点3333ABCD，作第三个正方形3333A B C D，依次方法持续下去，则第 7 个正方形的周长是_，如果这个作图过程可以一直继续下去，则所有这些正方形的周长之和将趋于_.（填数值）试卷第 3 页，共 4 页 四、解答题：四、解答题：本大题共 6 小题，满分 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.17（本题满分 6 分）在等差数列 na中，2524aa，1766a(1)求2022a的值；(2)2023 是否为数列 na中的项？若是，则为第几项，若不是，请说明理由.18（本题满分 6 分）已知数列*+的前 n 项和为，若=22 19(1)求证：数列*+是等差数列；(2)若=|，求数列*+的前 n 项和 19（本题满分 8 分）去年某地产生的生活垃圾为 20 万吨，其中 14 万吨垃圾以填埋方式处理，6 万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增 5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加 1.5 万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列*+，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列*+.(1)求数列*+和数列*+的通项公式；(2)为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起 n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起 5 年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到 0.1 万吨）.（参考数据1.054 1.215，1.055 1.276，1.056 1.340）20.（本题满分 8 分）已知数列 na的首项*112,322,Nnnaaann.(1)求数列*+的通项公式；(2)记3log1nnnbaa，设数列 nb的前n项和为nS，求nS.试卷第 4 页，共 4 页 21（本题满分 10 分）已知数列an满足，a1+22+33+=12(+1)()（1）求 a1，a2的值（2）求数列an的通项公式；（3）设 bn2:1+1，数列bn的前 n 项和为 Sn，求证：nN*，34 1 22（本题满分 10 分）设数列*+的前项和为若对任意 N*，总存在 N，使得=，则称*+是“数列”(1)若数列=5(N*)，判断*+是不是“数列”，并说明理由；(2)设*+是等差数列，其首项1=1，公差 N*，且*+是“数列”，求的值；设数列=3:(;13)1;(;13)，设数列*+的前项和为，若 对任意 N*成立，求实数的取值范围 答案第 1 页，共 7 页 华南师大附中华南师大附中 2022-2023 学年度第一学期阶段测试（二）学年度第一学期阶段测试（二）高二数学参考答案高二数学参考答案 一、单选题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B B A D A C 7【详解】公差不为 0 的等差数列 na的前 n项和为nS,且457,15,0a S S ，又 174747()7 2722aaaSa,当40a 时,70S，515 S,11305 45152adad,解得193ad，则93(1)312nann ，令3120nan，得4n ，nS的最小值为44 34(9)3182S ，当415a 时，7105 15,0S ，不符合题意，故nS的最小值为18，故答案为：18.选 A 8.显然211aa，32121aaa ，43134aaa ，于是得到12346aaaa，同理可求出 567814aaaa，910111222aaaa，设4342414nnnnnbaaaa，则数列 nb是以 6 为首项，8 为 公差的等差数列，所以数列 na的前 80 项和为数列 nb的前 20 项和 20 19 820 616402.故选：C.二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分）题号 9 10 11 12 答案 AB BC ACD BCD 11【详解】a112，a13a61+1，2m22+5m+1，解得 m3 或 m=12（舍去），aijai13j12+（i1）m3j1（3i1）3j1，a6717 36，试卷第 2 页，共 7 页 S(a11+a12+a13+a1n)+(a21+a22+a23+a2n)+(an1an2an3ann)=11（13）13+21（13）13+1（13）13=12（3n1）（2+31）2=14n（3n+1）（3n1）故选：ACD.12【详解】由1ln2nannaae可得1221nnnnaaaa eeee，令nanb e，则121nnbb，又10a，则11b，23b，当2n 时，111224113221nnnnbbbb ，3153bb，42115bb，设1114322nnnbf bnb，432f xx 在0,上单调递增，13bb，3135bf bf bb，传递下去，可得21211nnbbn，同理可得2222nnbbn，21nb是单调递增数列，2nb是单调递减数列，又nanb e，exy 在 R 上单调递增，所以21na是单调递增数列，2na是单调递减数列，故 D 正确；由11b，121nnbb 得1nb，23b，11432nnbb得3nb，1213nbbb，即0ln3na，123,5nnnbbb，11lnln3,ln5nnnnaabb，201912345201820191009ln5Saaaaaaa，显然201920192S，故 C 正确；先证：212nbnN，当1n 时，112b 成立，假设当nk kN时，212kb成立，那么当1nk时，21212143222kkkbf bfb成立，综上，212nbnN成立，同理可得22nbnN，212nnbb，即212nnaa，故 B 正确；要使ln2na，则2nb，而212nbnN，22nbnN，所以2nb，即l n2na，答案第 3 页，共 7 页 故 A 错.故选：BCD.三、填空题：三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分 13 1或1 14221k#21 2k 15bn=23 16.500729 93 5 15【详解】根据题意得，1+12=101+13=5，解得1=8=12，故=.12/4，2时，1=1=24，故=1+(2 1)+(3 2)+(1)=14+22+21+24=14+14(121)12=23 16 【详解】因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，且外围第一个正方形1111DCBA的边长为 1，所以2123A B，2113B B,由勾股定理有：22222112215333A BA BB B，设第n个正方形nnnnA B C D的边长为nl，则 11l，222111215333llll，22111215333nnnnllll，所以1115533nnnll，所以第 7 个正方形的周长是637655125500444433729729l，n 个正方形的周长之和为试卷第 4 页，共 7 页 111513551254 14193 533353513nnnnT，故答案为：500729，93 5.四、解答题：四、解答题：本大题共 6 小题，满分 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.17【详解】(1)由题意，设等差数列 na的首项为1a，公差为d 由2524aa，1766a，即111424,1666,adadad解得12,4.ad-2 所以，数列 na的通项公式为24(1)42nann-3 所以20224 202228086a-4(2)令422023nan，解得20254nN，所以，2023 不是数列 na中的项-6 18 【详解】（1）因为=22 19，所以 2时，1=2(1)2 19(1)=22 23+21，由相减可得，=4 21，2，-1 当=1时，=4 21也满足题意-2 故*+的通项公式为：=4 21 所以 2时，1=4(1)21=4 25，所以 2时，1=4总成立，-3 所以数列*+是等差数列 （2）因为bn=|an|，所以Tn=|a1|+|a2|+|a3|+|an|，当an=4n 21 0时，n 6，-4 由(1)中结论可知，当n 5时，Tn=a1 a2 an=Sn=2n2+19n；当n 6时，Tn=S5+(Sn S5)=Sn 2S5=2n2 19n+90，从而Tn=2n2+19n,n 52n2 19n+90,n 6 -6 答案第 5 页，共 7 页 19（1）由题意，从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列*+，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列*+，*+是以 20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列；*+是以6+1.5=7.5为首项，1.5 为公差的等差数列，-2=20(1+5%)，=6+1.5.-4（2）设今年起 n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为，=(1 1)+()=(1+2+)(1+2+)=(20 1.05+20 1.052+20 1.05)(7.5+9+6+1.5)=(20+1.05)(11.05)11.052(7.5+6+1.5)=420 1.05342274 420，-6 当=5时，=420 1.276 34 25 274 5 420=420 0.276 2104=63.42 63.4.-7 今年起 5 年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.4 万吨.-8 20【详解】（1）由题意可得111333(1)nnnaaa ，*2,Nnn，113a ，所以数列1na 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，-2 所以113 33nnna ，故31nna.-3（2）由（1）得3(31)log(31 1)3nnnnbnn，-4 所以1211 32 3(1)33(1 2)nnnSnnn 令1211 32 3(1)33nnnTnn ，则(1)2nnn nST，-5 因为23131 32 3(1)33nnnTnn ，-得123113(1 3)23333331 3nnnnnTnn ，-7 所以1(21)334nnnT，所以1(21)33(1)42nnnn nS.-8 21【详解】（1）数列an满足，a1+22+33+=12(+1)()当 n1 时，a11 当 n2 时，1+22=12 2 3，解得 a24-2（2）当 n2 时，22+33+11=12(1)，试卷第 6 页，共 7 页 得：=(+1)2(1)2n，所以=2（适合=1）故=2 -5（3）根据题意=2+1+1121(+1)2，-6 所以=1 14+1419+121(+1)211(+1)21，-8 当 n1 时，1=1 14=34 且函数()=1 1(+1)2为增函数，所以nN*，34 1-10 22【详解】（1）数列*+不是“数列”，理由如下：=5，=5(15)15=54(5 1)当=2时，=54(52 1)=30，此时找不到 N*，使得=所以数列=5(N*)，不是“数列”.-2（2）*+是等差数列，且首项1=1，公差 N*，则=1+(1)，=+(1)2-3 故对任意 N*，总存在 N*，使得+(1)2=1+(1)成立，则=1+(1)2+1，其中(1)2+1为非负整数，要使 N*，需要1恒为整数，即为所有非负整数的公约数，又 N*，所以=1 -5 由知，=1+(1)=，则=3+.13/1.13/=3+1+(1)3(1)=3,3(1)-+4(1)3(1)=3+4(1)3(1)-6 令=4(1)3(1)=4(3)1，记数列*+的前项和为，14403131nn 所以当 n 为偶数时：211111403 1313131nnnD，且114031nnnDD，故而对*0nnND，答案第 7 页，共 7 页 数列*+的前项和为，则333nnnnTnDDbnn 由 对任意 N成立，即 3.-9 下证3m 不满足题意：（反证法）假设03m满足题意，则*0,3nnNnDm n 恒成立，即030nmnD恒成立，而 144431313nnn 所以当 n 为偶数时21311111111244223 13313131333nnnnnD 当23nm时，000233203nmnDmm，这与假设矛盾，因此实数的取值范围为 3。-10