2023届新高考数学小题限时练含答案 (6).pdf

2023 届新高考数学小题限时练含答案专题 06 小题限时练 6一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要求的。求的。1设i为虚数单位，则复数21zi在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2命题xR，20 x的否定为()AxR，20 x BxR，20 xCxR，20 x DxR，20 x 3已知集合3|11Axx，|0Bx lgx，则(AB)A(1,1)B(1，1C(0，1D(1，24夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为13和14，且两地同时下雨的概率为16，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为()A112B12C23D345已知等差数列na的公差为 2，且2a，3a，5a成等比数列，则na的前n项和(nS)A(2)n n B(1)n n C(1)n n D(2)n n 6 如图，在直角梯形ABCD中，/ADBC，ABBC，1AD，2BC，P是线段AB上的动点，则|4|PCPD 的最小值为()A3 5B6C2 5D47已知数列1(21)(23)nn的前n项和为nT，则使“*nN，不等式26nTaa恒成立”为真命题的一个充分不必要条件是()A2a或0aB0a或1aC0a D2a8 已 知22()(1)(1)(0)f xxlnxx的 三 个 零 点 分 别 是1x，2x，3x，其 中123xxx，则122331()()()xxxxxx的取值范围为()A(4,8)B(0,8)C(8,)D(4,)二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求。全部全部选对的得选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9如图是国家统计局发布的 2020 年 12 月至 2021 年 12 月的全国居民消费价格涨跌幅，其中同比100%本期数去年同期数去年同期数，环比100%本期数上期数上期数则下列说法正确的是()A2020 年 12 月至 2021 年 12 月全国居民消费价格环比的极差为1.5%B2020 年 12 月至 2021 年 12 月全国居民消费价格同比的中位数为0.9%C这 13 个月中，2021 年 6 月全国居民消费价格最低D2021 年比 2020 年全国居民消费平均价格增长大于1.0%10古代典籍周易中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响如图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，且|1AB ，则()AAH 与CF 能构成一组基底B0OD OF C3OAOCOB D22AC CD 11 如图，几何体ABCDEFG的底面是边长为 3 的正方形，AE 平面ABCD，/AECFDG，1AECF，3DG，则下列说法正确的是()ABF与EG为异面直线B几何体ABCDEFG的体积为 12C三棱锥GBCD的外接球表面积为27D点A与点D到平面BFG的距离之比为3:212“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等如图，已知圆O的半径为 2，点P是圆O内的定点，且2OP，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是()APA PC 为定值BOA OC 的取值范围是 2，0C当ACBD时，AB CD 为定值D当ACBD时，|ACBD 的最大值为 12三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13已知双曲线222:1(1)1xCymm的右焦点到直线0 xy的距离为2，则C的离心率为14写出一个同时具有下列性质的函数解析式()f x()f x的最大值为 2；xR，(2)()fxf x；()f x是周期函数15已知ABC为直角三角形，斜边长为 2，将ABC绕其一条直角边所在直线旋转一周得一几何体该几何体的体积最大值为；若该几何体的表面积为3，则ABC的面积为16已知抛物线2:2C yx，点P在C上且在第一象限，过点P作抛物线C的切线交其准线于点N，抛物线的焦点为F，若60PNF，则点P的坐标为专题 06 小题限时练 6一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要求的。求的。1设i为虚数单位，则复数21zi在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【详解】22(1)11(1)(1)iziiii，对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限故选：A2命题xR，20 x的否定为()AxR，20 x BxR，20 xCxR，20 x DxR，20 x【答案】D【详解】命题为全称命题，则命题的否定为xR，20 x，故选：D3已知集合3|11Axx，|0Bx lgx，则(AB)A(1,1)B(1，1C(0，1D(1，2【答案】C【详解】|12Axx，|01Bxx，(0AB，1故选：C4夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为13和14，且两地同时下雨的概率为16，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为()A112B12C23D34【答案】C【详解】记事件A为甲地下雨，事件B为乙下雨，P（A）13，P（B）14，1()6P AB，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为：1()26(|)1()34P ABP A BP B故选：C5已知等差数列na的公差为 2，且2a，3a，5a成等比数列，则na的前n项和(nS)A(2)n n B(1)n n C(1)n n D(2)n n【答案】B【详解】等差数列na的公差为 2，且2a，3a，5a成等比数列，则2325aa a，即2333(2)(4)aaa，解得34a 1340aana的前n项和(1)2(1)2nn nSn n故选：B6 如图，在直角梯形ABCD中，/ADBC，ABBC，1AD，2BC，P是线段AB上的动点，则|4|PCPD 的最小值为()A3 5B6C2 5D4【答案】B【详解】以B为原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)B，(2,0)C，设(0,)Am，(1,)Dm，(0,)Py，所以(2,)PCy，(1,)PDmy，所以4(6,45)PCPDmy ，所以2|4|36(45)PCPDmy ，当450my，即15APAB 时，|4|PCPD 取得最小值，为 6故选：B7已知数列1(21)(23)nn的前n项和为nT，则使“*nN，不等式26nTaa恒成立”为真命题的一个充分不必要条件是()A2a或0aB0a或1aC0a D2a【答案】D【详解】1111()(21)(23)4 2123nnnn，1111111111(1)()()().()4537597112123nTnn111111(1)4321233(21)(23)nnnnn，112230(21)(23)(23)(25)(21)(23)(25)nnnnnTTnnnnnnn，nT为增数列，13nT，*nN，不等式26nTaa恒成立为真命题，22aa，22 0aa，2a或1a，|2|2a aa a或1a，故选：D8 已 知22()(1)(1)(0)f xxlnxx的 三 个 零 点 分 别 是1x，2x，3x，其 中123xxx，则122331()()()xxxxxx的取值范围为()A(4,8)B(0,8)C(8,)D(4,)【答案】C【详解】()(1)(1)(1)f xxxlnxx，显然f（1）0，令(1)(1)0 xlnxx，(0)x，即(1)01xlnxx，(0)x，令(1)(),(0)1xg xlnxxx，则g（1）0，22212(22)1(),(0)(1)(1)xxg xxxxx x，令2()(22)1h xxx，(0)x，要想()g x除 1 外再有两个零点，则()g x在(0,)上不单调，则22(22)4480，解得：2 或0，当0时，()0g x在(0,)恒成立，则()g x在(0,)单调递增，不可能有两个零点，舍去；当2 时，设()0g x，即()0h x 的两根为a，b，且ab，则有12(1)0ababi，故01ab，令()0g x，解得xa或xb，令()0g x，解得：axb，所以()g x在(0,)a，(,)b 上单调递增，在(,)a b上单调递减，因为123xxx，所以32101xaxbx，又因为1(1)11(1)()()111xxglnlnxg xxxxx ，若()0g x，则1()0gx，因为13()()0g xg x，所以311xx，所以122331111111111111111111()()()(1)(1)()(2)()(22)28xxxxxxxxxxxxxxxxxx，故选：C二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求。全部全部选对的得选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9如图是国家统计局发布的 2020 年 12 月至 2021 年 12 月的全国居民消费价格涨跌幅，其中同比100%本期数去年同期数去年同期数，环比100%本期数上期数上期数则下列说法正确的是()A2020 年 12 月至 2021 年 12 月全国居民消费价格环比的极差为1.5%B2020 年 12 月至 2021 年 12 月全国居民消费价格同比的中位数为0.9%C这 13 个月中，2021 年 6 月全国居民消费价格最低D2021 年比 2020 年全国居民消费平均价格增长大于1.0%【答案】ABC【详解】对于A，2020 年 12 月至 2021 年 12 月，全国居民消费价格环比的最大值为1.0%，最小值为0.5%，2020年 12 月至 2021 年 12 月全国居民消费价格环比的极差为1.5%，故A正确；对于B，2020 年 12 月至 2021 年 12 月，全国居民消费价格同比（单位：%)从小到大依次为：0.3，0.2，0.2，0.4，0.7，0.8，0.9，1.0，1.1，1.3，1.5，1.5，2.3，中位数是0.9%，故B正确；对于C，从环比看，从 2021 年 3 至 6 月，环比涨幅均为负值，全国居民消费价格一直在下降，这 13 个月中，2021 年 6 月全国居民消费价格最低，故C正确；对于D，2021 年比 2020 年全国居民消费平均价格增长：111(0.30.20.40.91.31.1 1.00.80.71.52.31.5)1.0%1212，故D错误故选：ABC10古代典籍周易中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响如图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，且|1AB ，则()AAH 与CF 能构成一组基底B0OD OF C3OAOCOB D22AC CD 【答案】BD【详解】连接BG，CF，由正八边形的性质可知，/AHBG，/CFBG，所以/AHCF，所以AH与CF是共线向量，所以AH 与CF不能构成一组基底，A项错误；又1242DOF，所以ODOF所以0OD OF，B项正确；由上过程可知OAOC，连结AC交OB于点M，在直角三角形OAC中，M为AC的中点，则2OAOCOM ，又122|222OMACOAOB ，所以2OAOCOB ，C项错误；又正八边形的每一个内角为：13(82)84，延长DC，AB，相交于点N，则4CBNBCN，所以2BNC，故ABCD，所以32()|cos()42AC CDABBCCDAB CDBC CDBC ，D项正确故选：BD11 如图，几何体ABCDEFG的底面是边长为 3 的正方形，AE 平面ABCD，/AECFDG，1AECF，3DG，则下列说法正确的是()ABF与EG为异面直线B几何体ABCDEFG的体积为 12C三棱锥GBCD的外接球表面积为27D点A与点D到平面BFG的距离之比为3:2【答案】ABC【详解】在DG上取两个点H，I，使得|1DHHIIG，连接AH，HF，EI，由/DHCF且DHCF，则四边形DHFC为平行四边形，则/HFDC且HFDC，又/DCAB且DCAB，所以/HFAB且HFAB，所以四边形AHFB为平行四边形，则/AHBF，同理可得AEIH为平行四边形，则/EIAH，所以/EIBF，而GEEIE，则GE与BF不平行BF 平面ADGE，AH 平面ADGE，所以/BF平面ADGE，所以BF与EG为异面直线，故选项A正确由底面ABCD为正方形，则ABAD，AE 平面ABCD，AB 平面ABCD，所以AEAB，又AEADA，所以AB 平面ADGE，由/AECF，则CF 平面ABCD，同理可证CB 平面CFGD，所以几何体ABCDEFG的体积为1133BAEGDB CFGDADGECDQFVVSABSBC1131133 33 3123232 ，故选项B正确取BG的中点K，连接DK，CK，由上可知BDG，CBG均是以BG为斜边的直角三角形，所以1|2DKKCBKKGBG，所以D，B，C，G四点在以K为球心，1|2BG为半径的球面上，又22222|3 3BGBDDGABBCDG，所以三棱锥GBCD的外接球表面积为23 34()272，故选项C正确设点A与点D到平面BFG的距离分别为1h，2h，连接AC交BD于O，则OCBD，由条件可得DG 平面ABCD，所以DGOC，且DBDGG，所以OC 平面DBG，13 2|22OCAC，所以211113 29|3 23333222D BFGBFGFBDGBDGVShVSCO，由题意2GHDH，所以G点到平面ABFH的距离是D点到平面ABFH的距离的 2 倍，11112223 3 13332A BFGBFGGABFD ABFFABDVShVVV ，所以1232932A BFGD BFGVhVh，故选项D不正确故选：ABC12“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等如图，已知圆O的半径为 2，点P是圆O内的定点，且2OP，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是()APA PC 为定值BOA OC 的取值范围是 2，0C当ACBD时，AB CD 为定值D当ACBD时，|ACBD 的最大值为 12【答案】ACD【详解】如图，设直线PO与圆O于E，F则22|(|)(|)|2PA PCPA PCEPPFOEPOOEPOPOEO ，故A正确；取AC的中点为M，连接OM，则22222()()(4)24OA OCOMMAOMMCOMMCOMOMOM ，而220|2OMOP ，故OA OC 的取值范围是 4，0，故B错误；当ACBD时，()()|2|4AB CDAPPBCPPDAP CPPB PDAP CPPBPDEPPF ，故C正确；分别求AC，BD的中点M，N，由ACBD，可得OMON，且2222OMONOP，由弦长公式可得22 4ACOM，22 4BDON，2222|2 2 442(44)12ACBDOMONOMON，所以|ACBD 的最大值为 12，故D正确故选：ACD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13已知双曲线222:1(1)1xCymm的右焦点到直线0 xy的距离为2，则C的离心率为【答案】2 33【详解】由双曲线222:1(1)1xCymm的221am，21b，22cm，cm，双曲线C的右焦点(,0)F m，F到直线0 xy的距离|21 1md，2m，3a，C的离心率为22 333cea故答案为：2 3314写出一个同时具有下列性质的函数解析式()f x()f x的最大值为 2；xR，(2)()fxf x；()f x是周期函数【答案】2sin2x（答案不唯一）【详解】由知，()f x的图像关于直线1x 对称；由知，()f x是周期函数，又()f x的最大值为 2，故满足条件的函数()f x的解析式可以为()2sin2f xx故答案为：2sin2x（答案不唯一）15已知ABC为直角三角形，斜边长为 2，将ABC绕其一条直角边所在直线旋转一周得一几何体该几何体的体积最大值为；若该几何体的表面积为3，则ABC的面积为【答案】16 327；32【详解】（1）由于旋转一周构成一个母线长为 2 的圆锥体；所以设圆锥的高为h，所以圆锥的底面半径为24rh，故2314333Vrhhh，故24()3V hh；令()0V h，解得2 33h 或2 33h （舍)，故函数()V h在2 3(0,)3上单调递增，在2 3(,)3上单调递减；故在2 33h 时，16 327maxV；（2）由题意知：23Sr lr 表，所以223rr，解得1r，所以3h，故131322ABCS 故答案为：16 327；3216已知抛物线2:2C yx，点P在C上且在第一象限，过点P作抛物线C的切线交其准线于点N，抛物线的焦点为F，若60PNF，则点P的坐标为【答案】3(,3)2【详解】由题意可得，抛物线的准线方程为12x 且1(,0)2F，设(,2)P mm且0m，在第一象限有2yx，求导可得，12yx，故过P的切线为12()2ymxmm，令12x ，则212 2mym，故1 21(,)2 2 2mNm，1 21(,)2 2 2mNPmm，12(1,)2 2mNFm，60PNF，2222114128cos2|1(21)(12)()1288mmNP NFmPNFNPNFmmmmm ，解得32m，故点P的坐标为3(,3)2故答案为：3(,3)2