甘肃省兰州市第六十一中学2023届高三上学期第一次质量检测理科数学试题含答案.pdf

绝密启用前兰州市第六十一中学兰州市第六十一中学2023届高三第一次质量检测届高三第一次质量检测理理科科数数学学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码，2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x|33 x,B=x|x-5x0)的焦点F与椭的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA,MB分别与抛物线C相切于点A,B.设直线MA,MB的斜率分别为2121,kkkk则16.在ABC 中，角A,B,C所对的分别为a,b,c,向量m=cba3,32,向量n=(cos B,cos C),且m/n,则的最大值为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22 23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.(12分)已知等差数列 na为递增数列，6S=36,且521,aaa成等比数列.(1)求数列 na的通项公式；(2)令b,若nT为数列 nb的前n项和，且存在Nn,使得1nnaT0成立，求实数的取值范围.12.若函数f(x)=xxeexxsin,则满的取值范围为A.C.3,2EFAD.(1)求证：平面DEF平面DCE;(2)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60.如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，B18.(12分)足021ln22xfxaf19.(12分)20.(12分)中国提出共建“一带一路”,旨在促进更多的经济增长和更大的互联互通，随着“一带一路”的已知椭圆C)的离心率),右 顶 点 为 A,上 顶 点 为 B,右 焦 点 为 F,斜 率发展，中亚面粉、波兰苹果、法国红酒走上了国人的餐桌，中国制造的汽车、电子元件、农产品也丰富着海外市场.为拓展海外市场，某电子新开发了一款电子产品，该电子产品的一个为2的直线经过点A,且点F到直线的距离，系统G由3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均,且每个电子元件能否正常工作是相互独立的，若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为900元.(1)求系统需要维修的概率；(2)该电子产品共由3个系统G组成，设为电子产品所需要维修的费用，求的期望；(3)为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件,每个新元件正常工作的概率为p,且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作.则p满足什么条件时可以提高整个系统G的正常工作的概率?(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线EFBAFEFECmkxyl两点不重合），且以、两点与、两点、交于与椭圆(:.坐标过定点，并求出该定点的右顶点，证明：直线为直径的圆过椭圆lC21.(12分)已知函数f(x)=.xxe(二二)选考题：共选考题：共1010分分.请考生在第请考生在第2222、2323题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用作答时用2B2B铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑.(1)求曲线f(x)在点(1,f(1)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若g(x)=-ax-2ax+1(a-1),设h(x)=f(x)-g(x),讨论函数h(x)零点的个数.22.22.(10(10分分)选修选修4-4:4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程(t为参数),曲线C的极坐标方程为cos=4sin.(1)求曲线C的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；(2)若直线L与曲线C的交点分别为M,N,求|MN|.23.23.(10(10分分)选修选修4-5:4-5:不等式选讲不等式选讲已 知 函 数f(x)=|x-2|+|x+5|.(1)求不等式f(x)9的解集；(2)若关于x的不等式f(x)m3-2恒成立，求实数m的取值范围.启用前启用前兰州市第六十一中学兰州市第六十一中学2023届高三第一次质量检测届高三第一次质量检测理科数学理科数学注意事项：注意事项：1.本试卷满分本试卷满分150分，考试时间分，考试时间120分钟分钟.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码，座位号及科目，在规定的位置贴好条形码，2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共一、选择题：本题共12小题，每小题小题，每小题5分，共分，共60分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.已知集合A=x|33x，B=x|x-5x0）的焦点F与椭圆22143xy的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意 一 点，直 线 MA，MB 分 别 与 抛 物 线 C 相 切 于 点 A，B.设 直 线 MA，MB 的 斜 率 分 别 为1212,k kkk 则_【答案】1【解析】【分析】首先求出抛物线方程，再设出M点坐标，设出直线方程，利用切线求出关于k的方程，再结合韦达定理即可.【详解】由椭圆的方程得，右焦点为1,0，所以抛物线的焦点为1,0F，所以12p，2p，所以抛物线方程为24yx，准线方程为=1x.设1,Mt，设过点1,Mt的直线方程为1yk xt，与抛物线联立，消去x得24440kyykt，令其0，得210kkt，则直线MA，MB的斜率为210kkt 的两个根，有韦达定理得121kk=-.故答案为：116.在ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c，向量233mabc，向量coscosnBC，且/mn，则sin3sin()3yAB的最大值为_【答案】2【解析】【分析】首先利用向量平行的条件求出角C，再结合辅助角公式化简求最值即可.【详解】因为/mn，根据向量平行的坐标公式可得23cos3cos0abCcB，则2 cos3 cos3cos0aCbCcB，由正弦定理可得2sincos3sincos3sincos0ACBCCB，化简可得2sincos3sin0ACBC，2sincos3sinACA，因为sin0A，解得3cos2C，0C，所以6C.51333sin3sinsin3sincossinsincos3632222yABBBBBBB3sincos2sin6BBB，因为50,6B，所以 2663B，2sin126B，所以最大值为2.故答案为：2三、解答题：共三、解答题：共70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第1721题为必考题，每题为必考题，每个试题考生都必须作答；第个试题考生都必须作答；第2223题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共60分分.17.已知等差数列 na为递增数列，636S，且125,a a a成等比数列.（1）求数列 na的通项公式；（2）令11nnnba a，若nT为数列 nb的前n项和，且存在Nn，使得10nnTa成立，求实数的取值范围.【答案】（1）21,N.nann（2）1,9.【解析】【分析】（1）用基本量表示出6S=36和125,a a a的关系式，解方程组可得首项和公差，进而得到通项公式；（2）运用裂项相消法先求出数列和，代入不等式可得.【小问1详解】依题意有：61166 156366,22Sadad，22221 51111,4,2,aaaada addad又等差数列 na为递增数列，10,2,dda代入156,2ad11,2,ad21,N.nann【小问2详解】由（1）知：11111121212 2121nnnba annnn，1 111 111111 11.,2 132 352 21212 12121nnTnnnn代入10nnTa得：21210,1212144nnnnnnn1144 15,.9nn 综上所述：1,9 18.如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，/,2BECFBCFCEF，2AD，3EF（1）求证：平面DEF平面DCE；（2）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60.【答案】（1）证明见解析（2）2 2AB【解析】【分析】（1）首先根据面面垂直证明出DC 面BCEF，从而利用EF与CFCD、垂直，即可证明.（2）首先建立空间坐标系，再分别求出平面AEF的法向量以及面CEF的法向量CD，最后利用向量公式即可表示出二面角，从而求出AB的值.【小问1详解】因为2CEF，所以EFCE，因为矩形ABCD和平面BEFC垂直，所以DCBC.矩形ABCD和平面BEFC交于BC，所以DC 面BCEF，又因为EF 面BCEF，所以EFDC.因为DC 面DCE，所以EF面DCE，又因为EF 面DEF，所以平面DEF平面DCE.【小问2详解】因为2BCF，所以BCCF，由上面可知，DC 面BCEF，则以C为原点，分别以CBCFCD、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.如下图.过点E作EGCF于点G，在RTEFG中，2EGAD，3EF，则1FG.因为CEEF，所以2CG，3CF.设ABa=，则0 0,0C，、2 0Aa，、2 2,0E，0,3,0F，0,2AEa，21,0EF ，2 2,0CE ，设平面AEF的法向量为,nxy z，则00n AEn EF ，得2020yazxy，令2z，则22ana，因为CD 面EFC，所以0,0,CDa，若二面角AEFC的大小为60，则2221cos242anCDaaa ，解得2 2a，所以当2 2AB 时，二面角A-EF-C的大小为60.19.中国提出共建“一带一路”，旨在促进更多的经济增长和更大的互联互通，随着“一带一路”的发展，中亚面粉、波兰苹果、法国红酒走上了国人的餐桌，中国制造的汽车、电子元件、农产品丰富着海外市场.为拓展海外市场，某电子新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为23，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为900元.（1）求系统需要维修的概率；（2）该电子产品共由3个系统G组成，设为电子产品所需要维修的费用，求的期望；（3）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作.问：p满足什么条件时可以提高整个系统G的正常工作概率？【答案】（1）727；（2）700；（3）221p时，可以提高整个系统G的正常工作概率.【解析】【分析】（1）由n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出系统需要维修的概率（2）设X为需要维修的系统的个数，则73,27XB，且900X，由此能求出的期望 E（3）当系统G有5个元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G系统正常才正常工作，若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，若前3个电子元件中有2个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，若前3个电子元件都正常工作，则不管新增的两个是否正常工作，系统G均能正常工作，由此求出新增两个元件后系统G能正常一作的概率，从能求出p满足什么条件时可以提高整个系统G的正常工作概率【详解】解：（1）系统需要维修的概率为320133121733327CC，（2）设X为需要维修的系统的个数，则73,27XB，且900X，所以 7900900 370027EE X（3）当系统G有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有一个元件正常工作，系统G才正常工作若前3个电子元件中有1个正常工作，则同时新增的两个必须都正常工作，则概率为21223212339Cpp；若2个电子元件中有2个正常工作，则同时新增的两个至少有1个正常工作，则概率为1122322 14123 39CC ppppp；若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，系统G均能正常工作，则概率为33328327C；所以新增两个元件后系统G能正常工作的概率为22224882829927927ppppp令28287192727pp，解得2222p，即221p时，可以提高整个系统G的正常工作概率.20.已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为12，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线经过点A，且点F到直线的距离为2 5.5（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：ykxm与椭圆C交于E、F两点（E、F两点与A、B两点不重合），且以EF为直径的圆过椭圆C的右顶点，证明：直线l过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）22143xy；（2）证明见解析，定点2,07.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆的标准方程；（2）利用“设而不求法”得到27mk，即可证明.【小问1详解】由题可知,直线的方程为2yxa,即220 xya,右焦点F到直线的距离为|22|5ca2 5.5又椭圆C的离心率为12cea,即代入上式得2,1ac，所以2224 13bac.椭圆C的方程为22143xy.【小问2详解】由221,43,xyykxm得：222(34)84120kxkmxm.由2222644(34)(412)0k mkm 得：2243mk.设1122(,),(,)E x yF xy，椭 圆 的 右 焦 点 为(2,0)D，则21212228412,3434kmmxxx xkk，2212122312()()34mky ykxm kxmk因 为 以 EF 为 直 径 的 圆 过 椭 圆 C 的 右 顶 点，所 以AEAF，所 以0AE AF ，即1212(2)(2)0 xxy y，代入化简得：2271640mkmk，解得：2,27mk mk ，皆满足2243mk.当2mk 时，直线EF的方程为22ykxkk x过点2,0，不符合题意.当27mk 时，直线EF的方程为2277ykxkk x过点2,07，符合题意.综上：直线l过定点2,07.21.已知函数 xf xxe.（1）求曲线 f x在点 1,1f的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若 2211g xaxaxa ，设 h xf xg x，讨论 h x零点的个数.【答案】（1）4e；（2）当10a 时，h x有1个零点；当0a 时，h x有两个零点.【解析】【分析】（1）求出导函数，计算(1)f 得切线斜率，(1)f求出得切线方程，由方程求得切线在两坐标轴上的截距，从而可得面积（2）求出导函数()h x，按0a，0a，10a 分类讨论，确定函数的单调性极值，结合零点存在定理判断零点个数【详解】解：（1）1xfxxe，12fe，1fe，所以曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为21yee x，即2yexe直线2yexe在x轴，y轴上得截距分别为12，e因此所求三角形的面积为1122Se4e；（2）由 221xh xxeaxax，得 12212xxhxxeaxaxea（i）当0a 时，1xh xxe，知0 x 时，0h x，又 1xh xxe为0,的增函数（此时()0h x），且 110he，所以 h x仅有一个零点（ii）当0a 时，20 xea，由1x 得 0h x，h x为减函数；1x 得 0h x，h x为增函数 min1110h xhae ，又 1310hea ，存在11,1x ，使 10h x，故 h x在1,有唯一零点又当2x时，21xee，即21xxexe，所以 22212121xh xxeaxaxxaxaxe，而 22121xaxa xe图像开口向上，故存在02x ，使得00 x，也即有00h x，则存在20,1xx，使得20h x，故 h x在,1 有唯一零点，此时，h x有两个零点（iii）当10a 时，由 0h x得=1x或ln2xa，若ln21a，即102ae，则当ln2xa时，0h x，h x单调递增；当ln21ax 时，0h x，h x单调递减；当1x 时，0h x，h x单调递增；而2ln2ln210haaa，3131102heaee ，此时，h x仅有一个零点若ln21a，即12ae，则 0h x，h x为R上的增函数，因为 010h ，1310hea ，此时 h x仅有一个零点，若ln21a，即112ae ，则当1x 时，0h x，h x单调递增；当1ln2xa 时，0h x，h x单调递减；当ln2xa时，0h x，h x单调递增因为112ae ，则1110hae ，222810hea，此时 h x仅有1个零点，综上，当10a 时，h x有1个零点；当0a 时，h x有两个零点【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的零点个数解题关键是分类讨论，由导数确定函数的单调性、极值求出极值时，判断极值的正负，结合单调性再确定是否要判断另一函数值的正负，从而利用零点存在定理说明零点的存在（二）选考题：共（二）选考题：共10分分.请考生在第请考生在第22、23题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑.选修选修4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为22xtyt（t为参数），曲线C的极坐标方程为2cos4sin.（1）求曲线C的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；（2）若直线l与曲线C的交点分别为M，N，求MN.【答案】（1）24xy；曲线C表示焦点坐标为0,1，对称轴为y轴的抛物线（2）3 5【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的转化cossinxy，将曲线C的方程化为直角坐标方程；（2）把直线l的参数方程为22xtyt，化为一般方程，然后与C联立，写出韦达定理，利用弦长公式，得到MN.【小问1详解】因为2cos4sin，所以22cos4 sin，即24xy，所以曲线C表示焦点坐标为0,1，对称轴为y轴的抛物线【小问2详解】设点11,M x y，点22,N xy由直线l参数方程为22xtyt化为一般方程为122yx，代入曲线C的直角坐标方程，得228=0 xx，所以12122,8xxx x 所以()()221212MNxxyy=-+-22121 kxx22121214kxxx x22112483 52 选修选修4-5:不等式选讲不等式选讲23.已知函数f（x）=|x2|+|x+5|.（1）求不等式f（x）9的解集；（2）若关于x的不等式 32mf x 恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）,63,;（2）,2.【解析】【分析】（1）零点分段法解绝对值不等式，分类讨论去绝对值即可解；（2）求出 f x的最小值，只需 min32mf x即可.【小问1详解】当2x 时，原不等式转化为259,3;xxx 当52x 时，原不等式转化为259,;xxx 当5x 时，原不等式转化为259,6;xxx 综上所述：,63,;x 【小问2详解】由绝对值不等式25257xxxx，当52x 时取等号；32mf x等价于732m对x恒成立，39,2.mm,2m