2023届四川省绵阳南山中学高三上学期二诊热身考试理科数学试题含答案.pdf

第 1 页 共 4 页2022 年 12 月绵阳南山中学 2022 年秋绵阳二诊热身考试理科数学试题一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为 Z，集合1,A 2,3，ZxxxxB,022，则)(BCAZA.1B.12，C.012 3，D.1012 3，2.复数z满足1+)|3|i zi（，则=zA.1+iB.1 iC.1 i D.1+i3.已知直线l的方程为sin310,xyR，则直线l的倾斜角范围是A20,33 B50,66C65,6D32,34.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表：根据下表可得回归方程中的6.10b，据此模型预报广告费用为 10 万元时销售额为广告费用 x(万元)4235销售额 y(万元)49263958A.111.9 万元B112.1 万元C113.1 万元D113.9 万元5.甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有A20 种B30 种C50 种D60 种6.已知直线:10l mxym 与圆22:(2)(2)4Mxy交于,A B两个不同点，则当弦AB最短时，圆M与圆22:()1N xym的位置关系是A内切B相离C外切D相交7.将函数)0(1)5sin(2)(xxf的图象向左平移5个单位，得到函数()yg x的图象，若()yg x在0,4上为增函数，则的最大值为A5B25C2D38.已知定义在R上的可导函数()f x的导函数为()fx，满足()()fxf x，且()2fxfx，21f，则不等式 xf xe的解集为第 2 页 共 4 页A.)2,(B2,C1,D0,9.如图，圆 O 是边长为 23的等边三角形 ABC 的内切圆，其与 BC 边相切于点 D，点 M 为圆上任意一点，BMxBAyBD(x，yR)，则 2xy 的最大值为A 2B 3C2D2 210.已知函数 fx满足,11ln1,1axa xfxxx 函数 g xf xfx恰有 5 个零点，则实数a的取值范围为A1 1,e eB10,eC1,0eD1,e11.已知双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2，焦距为 8，P 是双曲线右支上的一点，直线 F2P与 y 轴交于点 A，APF1的内切圆在边 PF1上的切点为 Q，若|P Q|2，则该双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.312.已知函数)(xfy 的定义域为 R，对任意的实数 x，yR，)()()(yfxfyxf，当 x0 时 f(x)1，且数列 na满足*)(1)11()(1Nnafafnn，且 a1f（0），则下列结论成立的是Af（a2016）f（a2019）Bf（a2016）f（a2018）Cf（a2017）f（a2020）Df（a2018）f（a2019）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.5212xx的展开式中常数项为_.14.已知)0,3(),1,3(BA，P是椭圆221167xy上的一点，则PAPB的最大值为15.如图，将半径为 1 分米的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投 100 颗豆子，则落在星形区域内的豆子数大约为_.16.对于任意1x，21,)x，当21xx时，有0)(2ln1212xxxxa成立，则实数a的取值范围是.三、解答题：共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.2022 年 11 月 20 日，卡塔尔世界杯在海湾球场盛大开幕。为了了解某中学高一学生对世界杯开幕式的关注程度，从该校高一学生中随机抽取了 100 名学生进行调查，调查样本中有 40 名女生.下图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注世界杯开幕式的部分）。第 3 页 共 4 页（1）完成上面的 22 列联表，并计算回答是否有 95%的把握认为“对世界杯开幕式的关注与性别有关”?关注没关注合计男女合计（2）若将频率视为概率，现从该中学高一女生中随机抽取 3 人.记被抽取的 3 名女生中对世界杯开幕式关注的人数为随机变量 X，求 X 的分布列及数学期望.附：KPk20（）0.1500.1000.0500.0100.005k02.0722.7063.8416.6357.8792K.()()n adbcnabcdabcdac bd2，其中18.已知各项均为正数的数列na的首项112a，前n项和为nS，且02211nnnaSS（1）求数列na的通项公式；（2）设nannab4，求数列 nb的前n项和nT19.在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且sinsin2BCbaB.(1)求角A的大小；(2)若角A的平分线交BC于D且2AD，求a的最小值.第 4 页 共 4 页20 已知直线l与抛物线2:20C ypx p交于BA,两点，当l过抛物线焦点且垂直于x轴时，4AB.又P是圆22:11Mxy上一点，若PA、PB都是C的切线（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）求PAB的面积的最大值21已知函数)0(1lnln)(aaxxxaxxf，设曲线()yf x在点)(,(efe处的切线方程为)(xgy（1）证明：对定义域内任意x，都有)()(xgxf；（2）当1a时，关于x的方程()f xm有两个不等的实数根1x，2x，证明：111221eeemxx.（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为2240 xyx，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）点P为1C上任意一点，若OP的中点Q的轨迹为曲线2C，求2C的极坐标方程；（2）若点M，N分别是曲线1C和2C上的点，且OMON，判断22OMON是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由23已知函数()21f xxaxaR.（1）当2a 时，求()4f x 的解集；（2）若关于x的不等式()5f xx的解集为M，且1,2M，求a的取值范围.第 1 页 共 4 页绵阳南山中学 2022 年秋绵阳二诊热身考试理科数学（参考答案）CABAADCDCCCB；88，9，100（41)，,212.依题意，对任意的实数 x，yR，等式 f(x)f（y）f（x+y）成立，令 xy0 得：f2（0）f（0），所以 f（0）0 或 f（0）1，又当 x0 时 f(x)1，所以 f（1）f（1+0）f（0）f（1）0，所以 f（0）0，即 f（0）1.又数列an满足 f（an+1）f（11na）f（an+1+11na）1f（0），所以 an+111na，又知道 a1f（0）1，所以 a211 112，a312112，a411(2)1a1，由数列an的递推关系知数列an为以 3 为周期的数列，所以 a2016a2019a32，a2017a2020a11，a2018a212，f（a2017）f（a2020）f（1），f（a2016）f（a2019）f（2）f（11）f（1）2，f（1）f（12）+（12）212f，当 x0 时 f(x)1，所以 f（-1）1，f（12）1，所以 f（a2017）f（1）1(1)f 1，f（a2016）f（a2019）f（1）2f（1），又 f（1）212ff（12）f（a2018），所以 f（a2016）f（a2019）f（a2018）f（a2017）f（a2020）.故选：B.17.解：（1）关注没关注合计男303060女122840合计4258100841.33.94120380060405842)30122830(10022K所以，有 95%的把握认为“对世界杯开幕式的关注与性别有关”.（2）因为随机选一名高一女生关注此事的概率为1034012p而)103,3(BX，所以分布列为：第 2 页 共 4 页1091033)(XE18.（1）由2112122(2)nnnnnnSSaSSan两式相减，得：1112()()(2)nnnnnnaaaaaan，又0na，11(2)2nnaan，当1n 时，22122SSa且112a，故222210aa，得21a（2102a 舍去），2111122aa，数列na为等差数列，公差为12，所以12nan（2）1)21(nnnb，1432n)21(n)21(3)21(2)21(1nT2543n)21(n)21(3)21(2)21(121nT21n32n)21()21()21()21(21nnT2)21(211)21(1(41nnn)21()21(211nn1n)21()2(1nnT19.解析(1)sinsin2BCbaB，sinsin2AbaB，即cossin2AbaB.由正弦定理得cossinsin2sinABAB.sin0B，cossin2sincos222AAAA.cos02A，1sin22A，又022A,26A，3A；（2）设xbc，则由角平分线得xDCBDACAB，ACxxABxAD111平方得22222222)1(33cos)1(2)1()11(4xbxcbxxbxxcx2223)1(4xxb又)1(22222xxbbccba316)22(34)11(34)1(3)1(4222222xxxxxxxxa（当1x时取”“）故 a 的最小值为4 33.20.【详解】第 3 页 共 4 页（1）将点2,2 2的坐标代入抛物线C的方程为228p，解得2p，所以，抛物线C的方程为24yx，该抛物线的准线方程为1x ；（2）先证明抛物线C在其上一点00,Q xy处的切线方程为00220 xy yx.证明如下：由于点00,Q xy在抛物线C上，则2004yx，联立2004220yxxy yx，可得200202yy yx，即220020yy yy，则2200440yy，所以，抛物线C在其上一点00,Q xy处的切线方程为00220 xy yx.设点11,A x y、22,B xy、33,P xy，则直线PA的方程为11220 xy yx，直线PB的方程为22220 xy yx，因为点P在直线PA、PB上，所以，31313232220220 xy yxxy yx，所以，点A、B的坐标满足方程33220 xy yx，由于两点确定一条直线，故直线AB的方程为33220 xy yx，联立2334220yxxy yx，消去x可得233240yy yx，由韦达定理可得1232yyy，1234y yx，所以，22232231212123334144422yyAByyyyy yyyx，点P到直线AB的距离为2332344xydy，所以，23332222333332341114442224PABxySAB dyyxyxy，另一方面，22233333342439yxxxxx ，其中320 x，所以，当32x 时，2334yx取得最大值8，因此，332223311488 222PABSyx.21.证明：（1）1()fxalnxx，f（e）1ae，又f（e）0，1()()()g xaxee；令()()()()F xf xg xf xf（e）()xe，()()F xfxf（e）11alnxaxe在(0,)上单调递增，且F（e）0，当0 xe时，()0F x，()F x单调递减，当xe时，()0F x，()F x单调递增，e）00)()(eFxF恒成立，所以)()(xgxf恒成立第 4 页 共 4 页（2）证明：当1a 时，()(1)(1)f xlnxx，则1()fxlnxx，显然()fx在定义域内单调递增，而f（1）10 ，f（e）110e，存在0(1,)xe，使0()0fx，当0(0,)xx时，()0fx，()f x单调递减，当0(xx，)时，()0fx，()f x单调递增，令()0f x，解得1x 或e，由（1）（2）可知()yf x在(,0)e处的切线方程为1()(1)()g xxee，且)()(xgxf恒成立，同理可得()yf x在(1,0)处的切线方程为()1h xx ，令()()()(1)(1)(1)(1)H xf xh xlnxxxxlnx ，当1x 时，10 x ，0lnx，当01x时，10 x ，0lnx，0)(xH恒成立设函数()yf x在两个零点处的切线方程与直线ym的交点的横坐标分别为1x 和2x，不妨设12xx，则11xx，22xx，令()()g xh xm，解得21emxee，11xm ，11122121eeemxxxx得证22.解：（1）1C的方程为2240 xyx，将222,cosxyx代入，1C极坐标方程：4cos，设,P，,Q，则12，Q的轨迹方程：2cos0；（2）设11,M，22,N，114cos，222cos，122，2222122212222222224416cos4 4cos16cos4 4cos216sin16cos16OMON 故22OMON为定值且为 1623.解：（1）当2a 时，()221f xxx，原不等式可化为14214xxx ，或124214xxx 或22414xxx，解得x或12x或723x，原不等式的解集为71,3.（2）若()5f xx的解集包含1,2，即当1,2x 时，215xaxx恒成立，由于在1,2上，10 x，50 x，11xx，55xx，()5f xx，等价于24xa，即2xa，22xa，22axa.21a 且22a，01a，即a的取值范围为0,1.