辽宁沈阳二中2022-2023学年度高三上学期12月阶段测试数学试题含答案.pdf

试卷第 1页，共 5页沈阳二中 20222023 学年度上学期 12 月阶段测试高三（23 届）数学试题沈阳二中 20222023 学年度上学期 12 月阶段测试高三（23 届）数学试题说明：1.测试时间：120 分钟总分：150 分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第卷(选择题，共 60 分)第卷(选择题，共 60 分)一.单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A 满足3,4,53,4,5,6,7,8,9,10A，则 A 的个数为（）A8B16C32D642已知虚数z满足210zz,则z（）A0B1C0 或 1D23在等比数列 na中，“23aa”是“47aa”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识；为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下：则下列说法错误的是（）A讲座后问卷答题的正确率的中位数为 87.5%B讲座后问卷答题的正确率的众数为 85%C讲座后问卷答题的正确率的第 75 百分位数为 95%D讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后问卷答题的正确率的标准差试卷第 2页，共 5页5已知平面向量,a b满足|2,4aa b，则b在a方向上的投影向量为（）AaB12b bC12aDb6抛物线28yx的准线过双曲线22210yxbb的左焦点，则双曲线的虚轴长为（）A8B2 3C2D4 37如图所示，1F，2F是双曲线C：22221xyab（0a，0b）的左、右焦点，C的右支上存在一点B满足12BFBF，1BF与C的左支的交点A满足221212sinsinBFAF FAF BFF，则双曲线C的离心率为（）A3B2 3C13D158设定义在实数集R上的函数 fx与 g x的导数分别为 fx与 gx，若212f xgx，1fxgx，且1g x为奇函数，则下列说法不正确的是（）A 10gB gx图象关于直线2x 对称C 202110kg kD 10f 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9函数 3sin0,0f xx的部分图象如图所示，则（）A 53sin 28f xxB fx图象的一条对称轴方程是58x C fx图象的对称中心是,08k，ZkD函数78yfx是偶函数试卷第 3页，共 5页10下列说法中正确的有（）A设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为3B用斜二测法作ABC的水平放置直观图得到边长为a的正三角形，则ABC面积为264aC若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定与另一条直线垂直D已知两个平面垂直，一个平面内的任一直线必垂直于另一个平面11.已知,A B两点的距离为定值2，平面内一动点C，记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，面积为S，下面说法正确的是（）A若0CA CB ，则S最大值为 2B若2ba，则S最大值为2 2C若4ab，则S最大值为3D若1(tan)(tan)4CABCBA，则S最大值为 112抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出。反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点。已知抛物线2:,C yx O为坐标原点，一束平行于x轴的光线1l从点41,116P射入，经过C上的点11,A x y反射后，再经C上另一点22,B xy反射后，沿直线2l射出，经过点Q，则（）APB平分ABQB121y y C延长AO交直线14x 于点D，则,D B Q三点共线D2516AB 第第II卷(选择题，共 90 分)卷(选择题，共 90 分)三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13著名的Dirichlet函数 1,0,xD xx取有理数时取无理数时，则 D D x _.14已知双曲线 C：2222=10,0 xyabab的两条渐近线分别为1l与2l，若点A，B为1l上关于原点对称的不同两点，点M为2l上一点，且3AMBMbkka，则双曲线C的离心率为_15已知点(1,0),(1,0)AB，若圆22(21)(22)1xaya上存在点M满足MA MB 3，则实数a的取值范围是 _试卷第 4页，共 5页16已知抛物线M：24xy，圆C：22(3)4xy，在抛物线M上任取一点P，向圆C作两条切线PA和PB，切点分别为A，B，则CA CB 的取值范围是_ 四、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分 10 分）在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且1c，coscos2aCA(1)求 b 的值；(2)若 AD 平分BAC，且交 BC 于点 D，49AD，求ABC的面积18（本小题满分 12 分）已知数列 na的各项均为正数，前n项和为nS，且*12nnnaaSnN.(1)求数列 na的通项公式；(2)设12221,nnnnnbTbbbS，求nT.19（本小题满分 12 分）如图，在四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD是等腰梯形，/AB CD，14ABAD，12BCCDDC，平面1ACD 底面ABCD，(1)求证：1DC 平面ABCD(2)求平面1BCD与平面11AB D所成锐角的余弦值20.（本小题满分 12 分）如图，已知椭圆221:13xCy，1C的左右焦点12,F F是双曲线2C的左右顶点，2C的离心率为2 点E在2C上（异于12,F F两点），过点E和12,F F分别作直线交椭圆1C于,F G和,M N点(1)求证：FGMNkk为定值；(2)求证：11FGMN为定值试卷第 5页，共 5页21（本小题满分 12 分）已知动圆过定点,02p，且与直线2px 相切，其中0p(1)求动圆圆心C的轨迹的方程；(2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当、变化且4，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标22（本小题满分 12 分）已知函数 eexxg x(1)若1212g xg xm xx，求实数 m 的取值范围并证明：12122x xxx；(2)是否存在实数 t，使得2()ln1g xxtxt 恒成立，且2()ln1g xxtxt 仅有唯一解？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由沈阳二中2022-2023学年上学期12月测试 高三（23届）数学答题卡沈阳二中2022-2023学年上学期12月测试 高三（23届）数学答题卡考场/座位号：考场/座位号：姓名：姓名：班级：班级：注意事项 注意事项1答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚。2选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框。3非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写。4请勿折叠，保持卡面清洁。贴条形码区（正面朝上，切勿贴出虚线方框）正确填涂缺考标记正确填涂缺考标记客观题(18为单选题;912为多选题)客观题(18为单选题;912为多选题)1A B C D2A B C D3A B C D4A B C D5A B C D6A B C D7A B C D8A B C D9A B C D10A B C D11A B C D12A B C D填空题填空题13.14.15.16.解答题解答题17.18.19.20.21.22.沈阳二中 20222023 学年度上学期 12 月阶段测试高三（23 届）数学试题答案沈阳二中 20222023 学年度上学期 12 月阶段测试高三（23 届）数学试题答案1-5 CBCDA6-8BCB9.BD10.AC11.BC12.ACD13.114.215.11,216.4,017.【解】（1）因为1c，coscos2aCA，所以coscos2aCcAc，由正弦定理得sincossincos2sinACCAC，sinsin2sinBACC，由正弦定理得22bc5 分（2）设2BAC，因为ABDACDABCSSS，AD 平分BAC，所以111sinsinsin2222c ADb ADc b ，因为1c，2b，49AD，所以4sin2sin24sincos3，因为sin0，所以1cos3，所以22sin2 1cos4 2sin2339，所以ABC的面积114 24 2sin22 12299Sbc 10 分18.【解】（1）依题意0na，当1n 时，111112a aaS，解得11a，当2n时，由12nnnaaS，得22nnnSaa，所以21112nnnSaa，-得：22112nnnnnaaaaa，所以1110nnnnaaaa，因为10nnaa，所以112nnaan，所以数列 na是首项为 1，公差为 1 的等差数列，所以nan；6 分（2）由1,2nnnnaaSan得12nn nS，所以222224 212111411nnnnbSnnnn，所以22222222421111114 1444 1223(1)(1)(1)nnnTnnnn.12 分19.【解】（1）取AB中点E，连接CE，4AB，2CD，2AECD，又/AB CD，四边形ADCE为平行四边形，ADCE，又2ADBC，12CEAB，ACBC，222 3ACABBC又12DC，14AD，22211ACDCAD，1DCAC，又平面1ACD 底面ABCD，平面1ACD 底面ABCDAC，1DC 平面1ACD，1DC平面ABCD.6 分（2）由（1）知：ACBC，1ACDC，又1BCDCC，1,BC DC 面1BCD，AC平面1BCD，以C为坐标原点，1,CA CB CD 正方向为,x y z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则0,0,0C，2 3,0,0A，13,1,2A，13,3,2B，3,1,0D，2 3,0,0CA，112 3,2,0AB ，10,2,2AD ，设平面11AB D的法向量,nx y z，则1112 320220AB nxyAD nyz ，令1x，解得：3y，3z ，1,3,3n；AC 平面1BCD，平面1BCD的一个法向量为2 3,0,0CA，2 37cos,72 37CA nCA nCA n ，即平面1BCD与平面11AB D所成锐角的余弦值为77.12 分20.【解】（1）由题意知：12,0F，22,0F，双曲线的2a，又双曲线离心率2cea，2c，2222bca，222:122xyC；设00,E xy，11,F x y，22,G xy，则220001222xyx，12220000220000212222FGMNEFEFyyyxkkkkxxxx，即FGMNkk为定值1.6 分（2）设直线,FG MN的方程分别为12ykx，22ykx，11,F x y，22,G xy，由（1）知：1 21k k，由122213ykxxy得：2222111316 2630kxk xk，2112216 231kxxk，2112216331kx xk，22221112112122111142 331kFGkxxkxxx xk；同理可得：22221122212111112 32 32 333131kkkMNkkk，2211221131311142 31132 32 3kkFGMNkk，即11FGMN为定值2 3312 分21.【解】（1）解：设动圆圆心为(,)C x y，依题意可得2222ppxyx，整理得22(0)ypx p，所求动圆圆心的轨迹C的方程是22(0)ypx p.4 分（2）证明：设11(,)A x y，22(,)B xy，由题意得12xx（否则)，且10 x，20 x，所以直线AB的斜率存在，设其方程为ykxb0k，显然2112yxp，2222yxp即1112ypxy，2222ypxy，把ykxb代入22ypx得2220kypypb，由韦达定理知，122pyyk，122pbyyk，6 分由4得12121221212122()tantan1tan()1tantan41yyxxp yyyyy ypxx8 分把代入上式，整理化简得212pbpk，22bppk，此时，直线AB的方程可表示为：22ykxppk，即(2)(2)0k xpyp，令2020 xpyp，解得22xpyp，直线AB恒过定点2,2pp12 分22.【解】（1）因为e()exxg x，所以e 1()exxg x，令()0g x，得1x，令()0g x，得1x，故()g x在(,1)上单调递增，在(1,)上单调递减当(,0)x 时，()0g x 且单调递增，当,()0 x时，()0g x 且先递增后递减，max()(1)1g xg，故要使1212g xg xm xx成立，则01m由12g xg x，得1212eeeexxxx，即2121lnlnxxxx，所以21211lnlnxxxx设11()ln,12f ttttt，则22(1)()02tftt，所以()f t在(1,)上单调递减，故()(1)0f tf令211xtx，得221112lnxxxxxx，即2211211lnlnxxx xxx，得211x x，从而122111122xxx x，得12122x xxx6 分(2)设 22eln1ln1exxm xg xxtxtxtxt，易知(1)0m，故要使且2()ln1g xxtxt 仅有唯一解，则(1)0m e 112exxm xtxx，令(1)0m，得12t ，此时(1)(1)ee()exxxxxm xx由（1）可知e()1exxg x，所以eexx，则(1)eeeeee0 xxxxxxxxx，所以当(0,1)x 时，()0g x，当(1,)x时，()0g x，故在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，满足()(1)0m xm，且()0m x 只有唯一解，从而12t 满足要求12 分