北京师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末数学试卷含答案.pdf

北京师范大学附属中学北京师范大学附属中学 2022-2023 学年北师大高一上数学期末试卷学年北师大高一上数学期末试卷一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设全集?，集合?，?lg?，则?()A.?1?B.?1?C.?1?D.?12.已知?，?1?，下列图形能表示以?为定义域，?为值域的函数的是()A.B.C.D.3.单位圆上一点?从?1?出发，逆时针方向运动?弧长到达?点，则?的坐标为()A.?1?B.?1?C.?1?D.?1?4.不等式?1 1 的解集为()A.?B.?C.?D.?5.九章算术是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长?步，直径 1 步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是()A.1?B.?1?C.1?D.1?6.设?.?.?log?.?.?，则()A.?B.?C.?D.?7.已知函数?log1?，则函数?的减区间是()A.?B.?C.?D.?1?8.已知实数?，且1?11?1，则?的最小值是()A.?1B.?C.?D.?二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是()A.，?B.存在 ，使得?1?C.至少有一个无理数，使得?是有理数D.有的有理数没有倒数10.下列说法正确的是()A.若?，则?为第一象限角B.将表的分针拨快?分钟，则分针转过的角度是?C.终边经过点?的角的集合是?D.在一个半径为?cm 的圆上画一个圆心角为?的扇形，则该扇形面积为?11.已知函数?1?，则下列结论中正确的是()A.?是偶函数B.?在?上单调递增C.?的值域为 D.当?时，?有最大值12.如图所示，边长为?的正方形 ABCD 中，?为 AD 的中点，点?沿着?的方向运动，设?为，阴影部分的面积为?，则下列说法中正确的是()A.?在?上为减函数B.?1?C.?D.?图象的对称轴是?三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.求值：sin?cos?1?14.已知幂函数?是 上的增函数，则?的值为15.若“1?”的必要不充分条件是“?”，则实数?的取值范围是16.已知函数?，若方程?1 的实根在区间?1?上，则?的所有可能值是四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.?本小题 1?.?分?1?计算?11?.?；?计算1?lo?lo?log?lo?1 log?18.?本小题 1?.?分?已知集合?，?1 或?1?当?时，求?；?“?”是“?”的充分不必要条件，求实数?的取值范围19.?本小题 1?.?分?已知?是第四象限角?1?若cos?，求cos?sin?sin?cos?的值；?若?sin?sin?cos?1?，求 tan?的值20.?本小题 1?.?分?已知函数?1?1?1?证明函数?为奇函数；?解关于?的不等式：?1?21.?本小题 1?.?分?某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数?单位：pmk?表示治愈效果，系数越大表示效果越好.元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为?，三月底测得治愈效果的普姆克系数为?，治愈效果的普姆克系数?单位：?与月份?单位：月?的关系有两个函数模型?1?与?1?可供选择?1?试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；?求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数 1?倍以上的最小月份?参考数据：lg?.?1?，lg?.?11?22.?本小题 1?.?分?已知函数?对任意实数?、都满足等式?，当?时，?，且?1?判断?的奇偶性；?判断?的单调性，求?在区间?上的最大值；?是否存在实数?，对于任意的?1?1?1?1?，使得不等式?恒成立.若存在，求出?的取值范围；若不存在，请说明理由2022-2023 学年北师大高一上数学期末试卷学年北师大高一上数学期末试卷一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）?.设全集?，集合?，?lg?，则?()A.?1?B.?1?C.?1?D.?1【答案】B【解答】解：因为?1?1?，?lg?lg?lg?1?1?，所以?1?，故选：?24.已知?，?1?，下列图形能表示以?为定义域，?为值域的函数的是()A.B.C.D.【答案】B解：?是函数图象，其值域为?，故不符合题意；?是函数的图象，定义域为?，值域为?1?，故符合题意；?是函数图象，值域为?1?，故不符合题意；?是函数图象，值域为?1?，故不符合题意故选 B25.单位圆上一点?从?1?出发，逆时针方向运动?弧长到达?点，则?的坐标为()A.?1?B.?1?C.?1?D.?1?【答案】D【解答】解：点?从?1?出发，沿单位圆逆时针方向运动?弧长到达?点，所以?，所以?cos?sin?，即?点的坐标为：?1?.故选?26.不等式?1 1 的解集为()A.?B.?C.?D.?【答案】B解：不等式?1 1，?1?，即?1?1?或?1?，解集是?故选：?27.九章算术是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长?步，直径 1 步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是()A.1?B.?1?C.1?D.1?【答案】A解：?1?1?平方步?，设扇形的半径为，圆心角为?，?1?，即 1?1?1?.28.设?.?.?log?.?.?，则()A.?B.?C.?D.?【答案】A解：因为所以 1?，?.?.?.?1，log?.?.?log?.?.?1?，所以?故选：?29.已知函数?log1?，则函数?的减区间是()A.?B.?C.?D.?1?【答案】C解：由?，得?或?1，函数的定义域为?1?，设?，则?1?，又?1 时，?单调递减，?时，?单调递增，?1?是定义域上的减函数，函数?log1?的单调递减区间为?故选：?30.已知实数?，且1?11?1，则?的最小值是()A.?1B.?C.?D.?【答案】A解：?，等式1?11?1恒成立，1?1?1?11?1?11?1?1?1?1?1?，当且仅当?1?时取等号1?，?的最小值为：?1故选：?二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求）31.下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是()A.，?B.存在 ，使得?1?C.至少有一个无理数，使得?是有理数D.有的有理数没有倒数【答案】ACD解：?.命题是存在量词命题，所以?，使?，所以?是真命题，故 A 正确；B.对应方程?1?，?，方程无解，故 B 错误；C.命题是存在量词命题，?，使得?是有理数，所以?是真命题；D.有理数?没有倒数，故 D 正确；故选 ACD32.下列说法正确的是()A.若?，则?为第一象限角B.将表的分针拨快?分钟，则分针转过的角度是?C.终边经过点?的角的集合是?D.在一个半径为?cm 的圆上画一个圆心角为?的扇形，则该扇形面积为?【答案】BC解：?.若?，则?为第一象限角或第三象限角，故错误；B.将表的分针拨快?分钟，则分针转过的角度是?，故正确；C.终边经过点?的角的终边在直线 上，故角的集合是?D.弧长?，扇形面积为1?，故错误故选 BC33.已知函数?1?，则下列结论中正确的是()A.?是偶函数B.?在?上单调递增C.?的值域为 D.当?时，?有最大值【答案】ABD【解答】解：对于?，由?得函数?定义域为?，所以?1?由?1?1?，可得函数?为偶函数，其图象关于 轴对称，故?正确；对于?，当?且?时，函数?1?，该函数图象可由函数 1图象向右平移?个单位得到，所以函数?1?在?和?上均单调递减，由偶函数性质，可知?在?上单调递增，故?正确；对于?，由?可得，当?且?时，函数?1?在?和?上均单调递减，所以该函数在?的值域为?1?；又因为函数?为偶函数，且?1?，所以?在其定义域上的值域为?1?，故?错误；对于?，当?时，函数?在?上单调递增，在?上单调递减，所以?有最大值为?1?，故?正确故答案为 ABD34.如图所示，边长为?的正方形 ABCD 中，?为 AD 的中点，点?沿着?的方向运动，设?为，阴影部分的面积为?，则下列说法中正确的是()A.?在?上为减函数B.?1?C.?D.?图象的对称轴是?【答案】CB解：对于?选项，当?时，阴影部分的面积显然逐渐增加，即函数?在?上单调递增，?选项错误；对于?选项，当?tan?时，?，所以，?1?1?，?，?1?1?，?选项正确；对于?选项，取 BC 的中点?，连接 OG，作点?关于直线 OG 的对称点?，则?，所以，?，OF 绕?点按顺时针方向旋转扫过正方形 ABCD 的面积为?，由对称性可知?，因为?，即?，?选项正确；对于?选项，由?选项可知，?，则?，所以，?，所以，函数?的图象不关于直线?对称，?选项错误故选：?三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）35.求值：sin?cos?1?【答案】?解：因为?1?故答案为?.36.已知幂函数?是 上的增函数，则?的值为【答案】?【解答】解：函数?是幂函数，则?1，即?，解得?或?；当?时，?不是 上的增函数，不满足题意；当?时，?是 上的增函数，满足题意则?的值为?故答案为：?37.若“1?”的必要不充分条件是“?”，则实数?的取值范围是【答案】1?解：若“1?”的必要不充分条件是“?”，则?1?且两个等号不同时取得，解得 1?，故取值范围是 1?38.已知函数?，若方程?1 的实根在区间?1?上，则?的所有可能值是【答案】?或 1【解答】解：?由方程?1?，解得?，故?由于方程 lg?1?即方程 lg?1?，分别作出左右两边函数的图象，从图象上可得出：方程 lg?1 在区间?1?和?1?内各有一个实根下面证明：方程 lg?1 在区间?1?和?1?内各有一个实根函数?lg?1，在区间?1?和?1?内各有一个零点，函数?lg?1 在区间?1?是增函数，又?1?lg?1?，?lg?1?，即?1?，由零点存在性定理知，函数?lg?1 在区间?1?内仅有一个零点，即方程 lg?1 在区间?1?内有且仅有一个实根，同理得方程 lg?1 在区间?1?内有且仅有一个实根故答案为?或 1四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）39.?本小题 1?.?分?1?计算?11?.?；?计算1?lo?lo?log?lo?1 log?【答案】解：?1?11?.?11?1?lo?lo?log?lo?1 log?log?lo?log?1?log?log?log?1?40.?本小题 1?.?分?已知集合?，?1 或?1?当?时，求?；?“?”是“?”的充分不必要条件，求实数?的取值范围【答案】解：?1?当?时，?1?，所以?1?1 或?，?由题可知，?1?，因为“?”是“?”的充分不必要条件，所以?，可得?1?，解得?141.?本小题 1?.?分?已知?是第四象限角?1?若cos?，求cos?sin?sin?cos?的值；?若?sin?sin?cos?1?，求 tan?的值【答案】解：?1?是第四象限角，cos?1?sin?，所以sin?，?，?sin?cos?sin?cos?tan?1?tan?1?1?1?，?1?1?，?1?或 tan?1?42.?本小题 1?.?分?已知函数?1?1?1?证明函数?为奇函数；?解关于?的不等式：?1?【答案】解：?1?因为函数?的定义域为，且?1?11?11?11?1?，所以函数?是奇函数；?由?1?1?1?1 1?1，易得函数?是定义域为 的增函数，而不等式?1?可化为?1?，再由?可得?1?，所以?1?，解得?1?，故不等式的解集为?1?.43.?本小题 1?.?分?某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数?单位：pmk?表示治愈效果，系数越大表示效果越好.元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为?，三月底测得治愈效果的普姆克系数为?，治愈效果的普姆克系数?单位：?与月份?单位：月?的关系有两个函数模型?1?与?1?可供选择?1?试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；?求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数 1?倍以上的最小月份?参考数据：lg?.?1?，lg?.?11?【答案】解：?1?函数?1?与?1?在?上都是增函数，随着 的增加，函数?1?的值增加的越来越快，而函数?1?的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大，因此选择模型?1?符合要求根据题意可知?时，?；?时，?，?，解得?故该函数模型的解析式为?，1?1?，?；?当?时，?，元旦治愈效果的普姆克系数是?pmk，由?1?，得?1?，?1?1?1?.?，?，?，即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数 1?倍以上的最小月份是六月份44.?本小题 1?.?分?已知函数?对任意实数?、都满足等式?，当?时，?，且?1?判断?的奇偶性；?判断?的单调性，求?在区间?上的最大值；?是否存在实数?，对于任意的?1?1?1?1?，使得不等式?恒成立.若存在，求出?的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】解：?1?取?，则?，?，取?，则?，?对任意 恒成立，?为奇函数；?任取1，?且?1，则1?，?1?1?，?1?.故?为 上的减函数?，?，?，故?在?上的最大值为；?在?1?1?上是减函数，?1?1?，?，对所有?1?1?，?1?1?恒成立?，?1?1?恒成立;即?，?1?1?恒成立，令?，则?1?1?，即?解得：?或?实数?的取值范围为?