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2023 届新高考数学小题限时练含答案专题 03 小题限时练 3一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要求的。求的。1在复平面内，复数Z和12(1iZii为虚数单位）表示的点关于虚轴对称，则复数(Z)A1i B1iC1i D1i2已知集合2|280Axxx，|Bx xa，若ABR，则实数a的取值范围为()A 4，)B(4,)C2，)D(2,)3已知曲线22:1432xyCaa，则“0a”是“曲线C是椭圆”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件4已知3sin24，则cos()()A12B58C12D585已知单位向量,a b满足|3|abab，则a与b的夹角为()A30B60C120D1506已知直线:310l mxym 恒过点P，过点P作直线与圆22:(1)(2)25Oxy相交于A、B两点，则|AB的最小值为()A4 5B2C4D2 57勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1)，证明了商高结论的正确性现将弦图中的四条股延长相同的长度（如将CA延长至)D得到图 2在图 2 中，若5AD，3 10BD，D，E两点间的距离为145，则弦图中小正方形的边长为()A32B2 23C1D28设函数sin12sin()2(23)()f xxxR图象在点(1，f（1）)处切线为l，则l的倾斜角的最小值是()A4B3C56D34二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求。全部全部选对的得选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9设0 x，x，yR，则()A“xy”“|xy”B“xy”“|xy”C“|xy”“|xyxy”D“xy”“|xyxy”10已知函数()sin()(0f xAxA，0，|)2的部分图象如图所示，图象与y轴交于点M，与x轴交于点C，点N在()f x的图象上，且点M，N关于点C对称，则下列说法其中正确的是()A2B5()()03fxfxC()f x在2(3，0)上单调递增D将函数()f x的图象向左平移6个单位长度后得到的函数图象关于y轴对称11已知圆22:2O xy，直线:40l xy，P为直线l上一动点，过点P作圆O的两条切线PA，PB，A，B为切点，则()A点P到圆心的最小距离为2 2B线段PA长度的最小值为2 2CPA PB 的最小值为 3D存在点P，使得PAB的面积为 312若62a，63b，则下列不等关系正确的有()A1baB14ab C2212abD11()23bab三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13已知向量(,1)ax，(1,2)b，若/ab，则|2|ab14设2821001210(1)(43)(21)(21)(21)xxaaxaxax，则1210aaa15某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是16已知三棱柱111ABCA BC中，1ABAC，12AA，1160A ACA AB，90BAC，则四面体111ABBC的体积为专题 03 小题限时练 3一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要求的。求的。1在复平面内，复数Z和12(1iZii为虚数单位）表示的点关于虚轴对称，则复数(Z)A1i B1iC1i D1i【答案】B【详解】122(1)2(1)11(1)(1)2iiiiZiiii 复数Z和12(1iZii为虚数单位）表示的点关于虚轴对称，1Zi 故选：B2已知集合2|280Axxx，|Bx xa，若ABR，则实数a的取值范围为()A 4，)B(4,)C2，)D(2,)【答案】D【详解】集合2|280|4Axxxx x 或2x，|Bx xa，ABR，2a，实数a的取值范围是(2,)故选：D3已知曲线22:1432xyCaa，则“0a”是“曲线C是椭圆”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】C【详解】曲线22:1432xyCaa为椭圆时，则40320432aaaa，可得：0a，且2a，所以“0a”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件，故选：C4已知3sin24，则cos()()A12B58C12D58【答案】D【详解】3sin24，cos()2cos(12sin)2 22sin123211658，故选：D5已知单位向量,a b满足|3|abab，则a与b的夹角为()A30B60C120D150【答案】C【详解】设单位向量,a b的夹角为，因为|3|abab，所以22()3()abab，即222223(2)aa bbaa bb，所以12 1 1 cos13(12 1 1 cos1)，解得1cos2，又因为0，120 ，所以120，即a与b的夹角为120故选：C6已知直线:310l mxym 恒过点P，过点P作直线与圆22:(1)(2)25Oxy相交于A、B两点，则|AB的最小值为()A4 5B2C4D2 5【答案】A【详解】直线:310l mxym 可化为1(3)ym x，故点(3,1)P，由圆：22(1)(2)25xy可得圆心(1,2)O，半径5r，则当OPl时，|AB最小，此时22|(3 1)(12)5OP，则由弦长公式可得22|2|2 2554 5ABrOP，故选：A7勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1)，证明了商高结论的正确性现将弦图中的四条股延长相同的长度（如将CA延长至)D得到图 2在图 2 中，若5AD，3 10BD，D，E两点间的距离为145，则弦图中小正方形的边长为()A32B2 23C1D2【答案】C【详解】设中间小正方形的边长为x，CAy，在CDE中，222(5)(5)(145)yyx，在BCD中，222()(5)(3 10)yxy，相减可得3yx，代入，解得4y，1x，中间小正方形的边长为 1故选：C8设函数sin12sin()2(23)()f xxxR图象在点(1，f（1）)处切线为l，则l的倾斜角的最小值是()A4B3C56D34【答案】D【详解】由sin12sin()2(23)()f xxxR，得sinsin()2(23)()fxxR，则f（1）sinsinsinsin12(23)232，sin 1，1，sin122，2，则sinsinsinsin11tan23 2 23122，当且仅当sinsin122，即sin0时等号成立(tan)1min，又sinsin1tan2302，则l的倾斜角的最小值是34故选：D二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求。全部全部选对的得选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9设0 x，x，yR，则()A“xy”“|xy”B“xy”“|xy”C“|xy”“|xyxy”D“xy”“|xyxy”【答案】BCD【详解】对于A，当4x，5y 时，满足xy，但|xy，故A错误，对于B，0 x，xy，0y，|xyy，故B正确，对于C，|xy，无论y为正数或负数，|xyxy，故C正确，对于D，当0y 时，yxy，所以|yxy，所以|xyxy，当0y时，|xyxyxy，综上所述，|xyxy，故D正确故选：BCD10已知函数()sin()(0f xAxA，0，|)2的部分图象如图所示，图象与y轴交于点M，与x轴交于点C，点N在()f x的图象上，且点M，N关于点C对称，则下列说法其中正确的是()A2B5()()03fxfxC()f x在2(3，0)上单调递增D将函数()f x的图象向左平移6个单位长度后得到的函数图象关于y轴对称【答案】AB【详解】由点M，N关于点C对称可知(,0)3C，故2()36T，所以22T，故A正确；所 以()sin(2)f xAx，又()06f，所 以sin()03，即03，得3，所 以()sin(2)3f xAx，因为5()sin206fA，故()f x图象关于5(,0)6对称，则5()()03fxfx，故B正确；当2(,0)3x 时，2(,)33x，因为函数sinyx在(,)2上单调递减，在(,)2 3 上单调递增，故()f x在2(,0)3上不满足单调递增，故C错误，；将函数()f x的图象向左平移6个单位长度后得2sin2()sin(2),0633yAxAxx时显然取不到最值，故不是偶函数，故D错误故选：AB11已知圆22:2O xy，直线:40l xy，P为直线l上一动点，过点P作圆O的两条切线PA，PB，A，B为切点，则()A点P到圆心的最小距离为2 2B线段PA长度的最小值为2 2CPA PB 的最小值为 3D存在点P，使得PAB的面积为 3【答案】ACD【详解】点P到圆心的最小距离为圆心到直线的距离0042 21 1d，故A正确；由平面几何知识知线段PA长度的最小值为22826minOPr，故B错误；由向量运算可知PA PB 的最小值为PA长度的最小同时APB最大时，所以6PA 时，60APB，所以66cos603PA PB ，故C正确；由平面几何知识知线段PA长度的最小时，PAB的面积最小值为13 366sin322ABPSAPB，所以存在点P，使得PAB的面积为 3故D正确；故选：ACD12若62a，63b，则下列不等关系正确的有()A1baB14ab C2212abD11()23bab【答案】ABD【详解】由62a，63b，得6log 2a，6log 3b，所以6263log 312logbalog，故选项A正确；由666236aba b，得1ab，又0a，0b，ab，所以2()144abab，故选项B正确；由选项B可知22211()2121242abababab ，故选项C错误；由换底公式得26lnaln，36lnbln，所以11636()()3263 3lnlnlnbablnlnln，由306lnln，603 3lnln，且3663 3lnlnlnln，得363612263 363 33lnlnlnlnlnlnlnln，又64222lnlnlnln，所以111()22233bab，故选项D正确故选：ABD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13已知向量(,1)ax，(1,2)b，若/ab，则|2|ab【答案】5 52【详解】(,1)ax，(1,2)b，若/ab，则210 x，得12x ，1(2a ，1)，则152(,1)(2,4)(22ab ，5)，则2255 5|2|()522ab故答案为：5 5214设2821001210(1)(43)(21)(21)(21)xxaaxaxax，则1210aaa【答案】34【详解】根据题意，2821001210(1)(43)(21)(21)(21)xxaaxaxax，令12x，即210 x ，则有054a，再令1x，即211x ，则有012102aaaa，则有121053244aaa；故答案为：3415某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是【答案】12【详解】记A与A分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B表示是女生，由题意可得，P（A）58，3()8P A，3(|)5P B A，1(|)3P B A，由全概率公式可得，P（B）P（A）(|)()(|)P B AP A P B A5331185832，故该社区居民遇到的一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为12，故答案为：1216已知三棱柱111ABCA BC中，1ABAC，12AA，1160A ACA AB，90BAC，则四面体111ABBC的体积为【答案】26【详解】如图，设1A在底面ABC上的射影为O，1160A ACA AB，O在BAC的角平分线上，过O作OEAB，垂足为E，连接1A E，则1AEAB，在Rt1A EA中，12AA，160A AB，1AE，13AE，在Rt AEO中，3AE，45OAE，可得1OE，22112AOAEOE11121 12326AABCV ，1 1 1ABCA B CSS，且1A到平面ABC的距离等于B到平面111ABC的距离，11 11 1 1126ABB CB A B CAABCVVV即四面体111ABBC的体积为26故答案为：26