湘豫名校联考2022-2023学年高三上学期12月期末摸底考试理科数学试题含答案.pdf

数学?理科?参考答案?第?页?共?页?湘 豫 名 校 联 考?年?月高三上学期期末摸底考试数学?理科?参考答案题号?答案?一?选择题?本题共?小题?每小题?分?共?分?在每小题给出的四个选项中?只有一项是符合题目要求的?解析?因为集合?所以?所以?故选?解析?由?得?代入?得?即?则?解得?所以?所以复数?在复平面上对应的点为?位于第二象限?故选?解析?由题意?知?万元?万元?由公式?得?整理得?等式两边取对数?得?故选?解析?因为?其中?展开式的通项为?所以原式的展开式中含?的项为?所以?的系数为?故选?解析?由程序框图可知?初始值?第一次循环?第二次循环?第三次循环?第四次循环?第五次循环?第六次循环?第七次循环?此时?满足循环条件?所以输出?故选?解析?设?因为直线?的方程为?代入圆?的方程?得?所以?所 以?因为?所以?解得?故选?解析?方法一?由?知?分别为?的中点?如图?设?与?的交点为?易得?所以?所以?因为点?是?的中点?所以?由?三点共线知?存在?满足?由?三点共线知?存在?满足?所以?数学?理科?参考答案?第?页?共?页?又因为?为不共线的非零向量?所以?解得?所以?故选?方法二?两次利用三点共线的性质?由?知?分别为?的中点?因为?三点共线?所以存在实数?使得?又?三点共线?所以?解得?故?故选?方法三?由?知?分别为?的中点?由?三点共线得?存在?满足?由?三点共线得?存在?满足?则?解得?所以?则?故选?方法四?如 图?延长?交?的延长线于点?由?知?分别为?的中点?所以?所以点?为?的中点?易得?所以?所以?故选?解析?方法一?由题图易知?点?为?五点作图法?中的第一个零点?所以?由?在?处取得最小值?得?联立?消去?得?因为?所以?所以?所以?所以?当?即?时?函数?单调递减?因为?所以函数?在?上的单调递减区间为?故选?方法二?由题可得?为函数?的一个对称中心?时取得最小值?即直线?为函数?的一条对称轴?所以?即?得?因为?即?所以?又?所以?所以?将?代入?得?因为?所以?所以?所以?当?即?时?函数?单调递减?因为?所以函数?在?上的单调递减区间为?故选?解析?方法一?如图?取?的中点?连接?因为?为?的中点?所以?又由?数学?理科?参考答案?第?页?共?页?得?所以四边形?为平行四边形?故?所以异面直线?与?所成的角为?或其补角?因为?平面?所以?又?即?且?所 以?平 面?所 以?所 以?槡?槡?因为在?中?为?的中点?所以?所以?且两角均为锐角?所以?槡?故选?方法二?过点?作垂直于?的射线为?轴?建立如图所示的空间直角坐标系?因为?平面?所以?所以?槡?槡?所以?槡?因为?为?的中点?所以?槡?所以?槡?槡?所以?槡?槡?故异面直线?与?所成角的余弦值为槡?故选?解析?方法一?设?则由长方体的体积公式?得?解得?所以?由题可知?四边形?为正方形?所以?所以?外接圆的圆心为?的中点?记为点?又?是直角三角形?同理?外接圆的圆心为?的中点?记为点?过点?分别作平面?与平面?的垂线?两条垂线的交点为?的中点?所以三棱锥?的外接球的球心是?的中点?又?槡?所以外接球半径?槡?所以外接球的表面积为?故选?方法二?设?则由长方体的体积公式?得?解得?所以?槡?由题意得?四边形?为正方形?所以?如图?将三棱锥?补充为正四棱柱?则三棱锥?的外接球即为正四棱柱?的外接球?为外接球的直径?所以外接球的半径?槡?所以外接球的表面积为?故选?解析?方法一?设?则由题意知?所以四边形?为矩形?所以?所以由?得?则?由双曲线的定义?得?由勾股定理得?式平方与?式相减可得?由?得?令?令?则?易知该函数在?上单调递增?所以?即?所以?解得?即槡?槡?满足?故选?方法二?如图?由对称性可知?四边形?为平行四边形?因为?所以?所以平数学?理科?参考答案?第?页?共?页?行四边形?为矩形?因为?所以?所以?设?则?所 以?所 以?槡?因为?所以?所以?所以?槡?关于?单调递增?且为正?则?关于?单调递减?当?时?槡?槡?槡?槡?槡?当?时?槡?槡?槡?槡?槡?所以?槡?槡?满足?故选?解析?方法一?因为?槡?所以?槡?所以?槡?槡?槡?槡?所以?槡?槡?槡?所以?故函数?的一个周期为?所以?错误?因为?所以?由函数?的图象关于?轴对称?知?为偶函数?所以?即?即?将?替换为?得?即?又?是偶函数?所以?则?所以函数?的一个周期为?所以?错误?因为函数?为偶函数?且周期为?所以?的图象关于直线?对称?若函数?的图象关于直线?对称?则?所以?与函数?不恒为零矛盾?所以?错误?因为?所以?又由?令?得?所以?故选?方法二?因为?槡?所以?槡?所以?槡?槡?槡?槡?所以?槡?槡?槡?若?正确?则?所以?与?不恒为零矛盾?所以?错误?因为?所以?由函数?的图象关于?轴对称?知?为偶函数?所以?即?即?将?替换为?得?即?知?为?图象的对称中心?又直线?为?图象的对称轴?所以?得?为最小正周期?因为?所以?不是?的周期?所以?错误?若?正确?则直线?均为?的对称轴?所以?所以?即?因为?为奇数?为偶数?两者矛盾?所以?错误?因为?所以?又由?令?得?又?所以?的一个周期为?当?时?所以?的一个周期为?所以?故选?数学?理科?参考答案?第?页?共?页?二?填空题?本题共?小题?每小题?分?共?分?解析?小明的外婆从?种新鲜瓜类蔬菜中任意购买?种?共有?种情况?其中购买了苦瓜的情况共有?种?故小明的外婆购买的瓜类蔬菜中含苦瓜的概率为?解析?因为曲线?的方程为?槡?即?则由题意及抛物线的对称性?知点?在抛物线?上?且在?轴的下方?直线?过此抛物线的焦点?设?联立?得?则?所以由抛物线的焦点弦长公式得?解析?当?时?由?得?故当?时?又?所以?所以数列?的最小项?当?时?由?得?故当?时?又?所以?所以?的最大项?所以?解析?设切点为?因为?所以?所以切线方程为?即?所以?所以?设?则?令?可得?当?时?在?上单调递增?当?时?在?上单调递减?所以?因为当?时?当?时?所以?的值域为?所以?的取值范围为?三?解答题?共?分?解答时应写出必要的文字说明?证明过程或演算步骤?解析?由?得?所以当?时?分由?得?因为数列?为各项均为正数的数列?所以?分又由?得?负值舍去?分所以?所以?故数列?是首项为?公差为?的等差数列?所以?分?由?得?分所以数列?的前?项和?所以?两式作差可得?分数学?理科?参考答案?第?页?共?页?所以?分因为?所以?故?分?解析?因为?所以由正弦定理?得?分所以?解得?或?分因为?所以?或?分因为?为斜三角形?所以?分?由?可知?当?时?由正弦定理?得?槡?槡?分所以?槡?槡?分槡?槡?分槡?槡?分因为?所以?分所以?分?解析?由条形统计图?得?分?分所以?分?分所以?槡?槡?槡槡?槡?分因为相关系数?所以?与?具有很强的线性相关关系?且为正相关?分?分所以?分所以?分由题意知?年对应的年份代码?当?时?分数学?理科?参考答案?第?页?共?页?故预测?年该公司的研发人数约为?人?分?解析?方法一?如图?取?的中点?连接?图?因为侧面?是正方形?所以?分因为点?分别是?的中点?所以?所以?且?分所以四边形?是平行四边形?所以?分又因为?平面?平面?分图?所以?平面?分方法二?如图?连接?因为点?分别为棱?的中点?所以?因为?平面?平面?所以?平面?分因为正方形?中?点?分别为?的中点?所以?且?所以四边形?为矩形?所以?分因为?平面?平面?所以?平面?分因为?平面?平面?所以平面?平面?分因为?平面?所以?平面?分方法三?因为在直三棱柱?中?所以可以?为原点?所在直线分别为?轴?建立如图?所示的空间直角坐标系?分又侧面?为正方形?则设?所以?所以?分因为?且?所以?平面?即?为平面?的一个法向量?分因为?所以?即?分又?平面?所以?平面?分?因为在直三棱柱?中?所以可以?为原点?所在直线分别为?轴?建立如图?所示的空间直角坐标系?分图?设?则?所以?易知平面?的一个法向量为?分设平面?的法向量为?则?即?令?得?所以平面?的一个法向量为?因为二面角?的余弦值为槡?分数学?理科?参考答案?第?页?共?页?所以?槡?槡?解得?负值舍去?所以?分易知?为三棱锥?的高?所以?又?分所以多面体?的体积?多面体?分?解析?方法一?设?则?槡?当直线?经过点?时?由?的面积为槡?到?的距离为槡?得?槡槡?分同时得?槡?即?槡?分联立?结合?解得?槡?或?槡?因为?为钝角三角形?所以?所以?槡?分故椭圆?的标准方程为?分方法二?设?则经过?两点时直线?的方程为?即?分因为点?到直线?的距离为槡?所以?槡?槡?槡?分因为?为钝角三角形?所以?为钝角?所以?所以?即?联立?式及?得?槡?分故椭圆?的标准方程为?分?方法一?由题意设直线?的方程为?联立?消元得?分当?即?时满足题意?设?则?分?若?为定值?则上式与?无关?故?得?分此时?槡?槡?槡?槡?槡?槡?又点?到直线?的距离?槡?槡?分数学?理科?参考答案?第?页?共?页?所以?槡?当且仅当?槡?即?时?等号成立?经检验?此时?成立?分所以?面积的最大值为?分方法二?由题意设直线?的方程为?联立?消元得?分当?即?时满足题意?设?则?分所以?所以?因为上式为定值?所以上式与?无关?所以?得?分此时?槡?槡?槡?槡?槡?槡?又点?到直线?的距离?槡?槡?分所以?槡?当且仅当?槡?即?时?等号成立?经检验?此时?成立?分所以?面积的最大值为?分?解析?由题可得?函数?的定义域为?分当?时?函数?在?上单调递增?无极值?分当?时?由?得?函数?在?上单调递增?由?得?函数?在?上单调递减?所以?极小值?即?分数学?理科?参考答案?第?页?共?页?令?则?易知函数?在?上单调递减?在?上单调递增?所以?分所以?有唯一零点?则方程?有唯一解?故实数?的值为?分?方法一?易知?所以所求问题等价于函数?在区间?上没有零点?分因为?所以由?得?由?得?所以?在?上单调递减?在?上单调递增?分?当?即?时?函数?在区间?上单调递增?所以?此时函数?在区间?上没有零点?满足题意?分?当?即?时?在区间?上单调递减?在区间?上单调递增?分要使?在?上没有零点?只需?即?解得?所以?分?当?即?时?函数?在区间?上单调递减?所以?在区间?上满足?此时函数?在区间?上没有零点?满足题意?分综上所述?实数?的取值范围是?或?分方法二?函数?在区间?上有且只有一个零点?等价于函数?在区间?上有且只有一个零点?因为?所以?分?当?时?所以?在?上单调递增?易知?符合题意?分?当?时?令?则?当?时?当?时?所以?在?上单调递减?在?上单调递增?分当?时?在?上单调递增?符合题意?当?时?在?上单调递减?符合题意?当?时?在?上单调递减?在?上单调递增?分要使?在?上有且只有一个零点?只需?即?得?所以?分综上所述?实数?的取值范围是?或?分