江苏省南通市2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题含答案.pdf
（北京）股份有限江苏省南通市江苏省南通市（北京）股份有限（北京）股份有限（北京）股份有限（北京）股份有限2022-2023 学年第一学期高三 12 月学情调研测试数学答案1.C2.D3.A4.C5.B6.C7.A8.D9.BC10.BCD11.AC12.ACD13.114.1(,215.14 2316.217（1）证明：由已知条件知1231nnnTa aaaa于是11231(2)nnTa aaan由得1nnnTTa-（2 分）又112nnTa由得121nnTT,所以)1(211nnTT-（4 分）令1n，由11Ta，得31T，0411T所以数列1nT是以 4 为首项，2 为公比的等比数列-（6 分）（2）由（1）可得数列1nT是以 4 为首项，2 为公比的等比数列1224111nnnnTT-（8 分）法 1：2n时，121211nnnnnTTa又311Ta符合上式，所以12121nnna.-（10 分）法 2：将121nnT代回112nnTa得：12121nnna-（10 分）18.(1)63sin633cosCAMCAMCAM中，在-（1 分）由正弦定理得，则.663232sin3sinCMAACCM-（5 分）（北京）股份有限（2）在BMN中，7,43MNBMBN由余弦定理得:222232cos()2(1)2MNBMBNBM BNABCBMBNBM BN2312-34722BNBM即34BNBM-（9 分）32134216sin21BNBMSBMN又，3232221ABCSABCBMNSS21-（12 分）19.(1)由题意分析2(3,)3XB，X的可能值为 0，1，2，3所以311(0)327P X ，2132 12(1)3 39P XC，223214(2)339P XC，3332(3)3278P XC.-(4 分)分布列为：X0123P1272949827()3223E X .-(5 分)(2)记“第一次摸出红球”为事件1A，“第一次摸出白球”为事件2A，“第二次摸出白球”为事件 B，则1221(),()33P AP A，12243515P A B，21113515P A B 即第二次摸出白球的概率为：12411+=+=15153P A BP A B（用古典概型公式同样给分）-(9 分)(3)依题意，每次取到红球的概率为4263，取到白球的概率为21634Y 即是“前 3 次只有 1 次取到红球，其余 2 次取到白球，第 4 次取到红球”123721(4)C333242P Y.-(12 分)20.（1）证法 1：在三棱台111ABCABC中，AC/11AC,（北京）股份有限又AC 平面11AC E,11AC 平面11AC E,则AC/平面11AC E,-(2 分)又AC 平面ABC，平面ABC平面11AC El，所以AC/l.-(5 分)证法 2：在三棱台111ABCABC中，AC/11AC,又11AC 平面ABC,AC 平面ABC,则11AC/平面ABC,-(2 分)又11AC 平面11AC E，平面ABC平面11AC El，所以11AC/l,又AC/11AC，所以AC/l.-(5 分)证法 3：在三棱台111ABCABC中，AC/11AC,平面ABC平面111ABC,又平面111ABC 平面1111AC EAC，平面ABC平面11AC El，所以11AC/l,又AC/11AC,所以AC/l.-(5 分)（2）因为1AA 平面ABC，在平面ABC内作AxAC，以A为原点，1,AC AA分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，(2 3,2,0)B,(3,1,0)E,(0,4,0)C，1(0,0,3)A,1(3,1.3)B,1(0,2,0)C，111(3,1,3),(0,2,0)AEAC,1(3,3,3)BC ,设平面11AC E的一法向量为(,)nx y z，则11133020AE nxyzAC ny ，令1x，则(1,0,1)n,（8 分）设直线1BC与平面11AC E所成角为,则111|10sin|cos,|5|BC nBC nBC n ，所以，求直线1BC与平面11AC E所成角的正弦值为105.（12 分）21.（1）由已知椭圆的左、右焦点分别为1(1,0)F，2(1,0)F，1c，方法一：由题意得2222211314abcab，解得2243ab，（北京）股份有限椭圆E的方程为22143xy=；-（4 分）方法二：由122aAFAF223(1 1)()2 223(1 1)()2 53422，则2a，又1c，得3b，椭圆E的方程为22143xy=；-（4 分）（2）设3)Tt（，1:(3)AB ytk x，2:(3)PQ ytkx 由122(3)3412ytk xxy 消去y得：2221111(34)8(3)4(3)120kxk tk xtk设112212,),(,),3,3A x yB xyxx（，由题意1112218(3)34k tkxxk，2112214(3)1234tkx xk-（6 分）从而2211121313TA TBkxkx2112(1)(3)(3)kxx211212(1)93()kx xxx22111122114(3)128(3)(1)933434tkk tkkkk22121(1)(415)34ktk-（8 分）同理22222(1)(415)34ktTP TQk，又TA TBTP TQ所以2121(1)34kk2222(1)34kk，即2212kk，又12kk故120kk，直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为零.-（12 分）22.（1）221(),11xxafxxx ，由题意，存在(1,)x ，使得()0fx-（2 分）即关于x的方程2210 xxa 在(1,)上有实根，该方程等价于221axx，（北京）股份有限则a的取值范围是函数221,(1,)yxxx 的值域，值域为9(,8，所以，a的取值范围是9(,8.-（4 分）（2）设2()21g xxxa，对称轴14x ，01a则9 80a，(1)0,(0)10gaga ，则()g x存在两个零点12,x x，1210 xx，在1(1,)x上，()0,()0,()g xfxf x递增；在12(,)x x上，()0,()0,()g xfxf x递减；在2(,)x 上，()0,()0,()g xfxf x递增.-（7 分）又(0)0f，12()(0)0()f xff x，在(1,0)上，2(0,2)xx，()ln(1)2f xax，则21(1,0)ae ，2(1)0af e，所以()f x在(1,0)上零点个数为 1-（10 分）法 1：又(1)ln20fa，所以，()f x在(0,)上零点个数为 1，又(0)0f.法 2：由11111ln1,ln1,ln1,ln1,ln(1)11xxxxxxxxxx 又01a，所以2221()ln(1)(1)(1)(1)111xxf xaxxxaxxax xaxxxx当且仅当0 x 时上述等号成立，1(0,1),(1)0afa又所以，所以，()f x在(0,)上零点个数为 1，又(0)0f.综上，当01a时，()f x的零点个数为 3 个.-（12 分）
