高考解答题专项四 立体几何中的综合问题.docx
高考解答题专项四立体几何中的综合问题1.（2021安徽十校联盟摸底考试）已知多面体A8C/）£F如图所示，其中四边形为菱 形,Ab平面CQE,且4。,£尸四点共面.求证:平面AM平面CDE-(2)若 ZABC=9Q°AO=5QE=6,”=2,防二俯，求证:A。，CE.2.（2021 浙江杭州模拟）如图，在三棱锥 P.ABC AB=AC=BC=y/3PA,PBPAC,E,F 分别为AC,P3的中点.（2）求PB与平面ABC所成角的正弦值.3 .（2021河北唐山模拟）如图，在三棱柱ANCAiBCi中，平面ACGA平面ABC,/ ACB=90° AC=BC=CCi=2.(1)证明:ACL431； （2）若AB与平面ABC所成角的正弦值为手，求四面体ACBiA的体积.DAB=30°4 .（2021贵州凯里模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCO是菱形，/,POJ_平面A5CD/O=2,点£为48上一点，且些二根，点F为PD中点.ABp若m=：证明:直线A/平面PEC- 2是否存在一个常数九使得平面尸矶）_L平面尸AB?若存在，求出m的值;若不存在，说明 理由.5 .（2021宁夏中卫三模）如图,四边形是某半圆柱的轴截面（过上下底面圆心连线 的截面），线段是该半圆柱的一条母线，点。为线段AAi的中点.（1）证明:（2）若A3=AC=1,且点Bi到平面BCiD的距离为1,求线段BBi的长.6 .（2021河北正定中学高三月考）如图，在四棱锥A-3COE中,四边形BCDE为菱形队8=4。=31。=2百4£=4。,点G是棱AB上靠近点B的三等分点，点方是AC的中点.证明:。尸平面CEG;点H为线段BD上一点，设丽=丽，若A”J_平面CEG,试确定t的值.7 .（2021宁夏银川模拟）如图,在矩形A3CO中,A5=2,BC=1,E为CD的中点，把沿 AE翻折，翻折后点D的对应点是点使得平面平面ABCE.H(1)求证:(2)在C上确定一点F,使A"平面BEF;(3)求四棱锥F-ABCE的体积.8.(2021广西钦州模拟)如图,已知等腰梯形A5CD满足ADBC,2AD=BC=2,/DCB4 kJ沿对角线5。将折起,翻折后，点A的对应点是点“，使得平面“5。，平面BCD.若点E是棱上的一个动点，证明:BEJ_CQ;(2)若点RN分别是棱C0,3C的中点,K是棱3。上的一个动点，试判断三棱锥K-HNP的 体积是否为定值?若是，求出这个定值;若不是，试说明理由.答案：1.证明(I)：四边形ABC。是菱形，：.AB/CD.ABC平面 CQE,CQu平面 CDE, 二AB平面 CDE.又A/平面CDE,A尸nA8=A,工平面A8F平面CDE.(2)YA/平面 CDE,ARz平面平面 ADEH?平面 CDE=DE,：.AF/DE.在线段ED上取一点G,使得EG=4,则DG=2=AF,EBC又 DG/AF,：.四边形 ADGF 是平行四边形,/. FG=AD=5,FG/AD. 丁 EF=闻,EF2=EG1+FG1,:EGIFG,：ADLED.NA3C=90° ,四边形 ABC。是菱形，又 DCCDE=D,DC,DEu平面 CDE,，AD工平面 CDE.TCEu平面 CDE,：.AD±CE.2.(1)证明连接 PE,BE：AB=AC=BC,：.AC±BE.p平面 PA C, PB ± PA.PB ± PC.在 RtAABP RtACBP 中,AB=BC,PB=PB,5P 义 RtZkCBP, ：.PA=PC,：.AC±PE.：PEClBE=E,PE,BE 均在平面 PEB 中，二AC，平面 PEB, :EFu平面 PEBS.ACLEF.(2)解由(1)知AC，平面P£民又ACu平面ABC, ，平面PEB，平面ABC,平面PEBn平面ABC=BE.过点尸作PO_LB瓦垂足为点D,平面 ABC,，NP3E就是尸3与平面ABC所成的角,不妨设PA=1,在等腰三角形PAC中,PA=PC=1,AC=百则A石二£在RtPAE中，由勾股定理计算得等边三角形ABC 中,BEq,2在RtABPE中,sinNPB£="=二即P3与平面A5C所成角的正弦值为士BE 333 .(1)证明:平面ACGA1L平面ABC,平面ACGAC平面ABC=ACCu平面ABC.Z ACB=90° ,，3CJL平面 ACGAi.又 4Cu平面 ACCiAi,：.BC±AC.VBCBiCi,ABiCi±AiC.; A C=CG = 2,，四边形 A CG A i 是菱形,，A G J_4 C.又 BiCinACi=Ci,BiCi 和 ACi 均在平面 ABiCi 中,，4C_L平面 ABiCi.又 ABu平面 ABiC,：.AiC.LABi,(2)解设 AGn4C=2连接 BiD.由(1)可知AiCJL平面ABiCi,：.BiD为AiBi在平面ABCi上的射影，则ZAiBiZ)即为AiBi与平面ABiCi所成的角.VAiBi=2V2,sinZAiBiD=,4：.AiC=AiCi=CCi =29SAi41CC1 = yx22=V3,W四面体4cBiA =匕棱锥B1-AS1 = 5 X 5AyllCC1xBiCi=| x 8x2二手.4 .(1)证明取PC的中点M连接EM,如图所示.因为F,M分别为PD,PC的中点，所以FM/ CD,FM*D.因为嚓=,所以E为A3的中点，Ad Z所以 AECZ),AE二1CD2所以 FM/AE,FM=AE.所以四边形AEMF为平行四边形，所以AF/EM.因为平面PEC,EMu平面PKC,所以直线Ab平面PEC.解存在一个常数加=£使得平面平面PA氏理由如下: 2要使平面PEOJ_平面PAB,只需ABLDE.因为 AB=AO=2,NZ)AB=30。，所以 AE=AOcos 30。=V3. 又因为PQJ_平面A3CO,A3u平面ABC。,所以PQ_LA8因为77加。片二。/。,。£均在平面PED中，所以A3,平面PED. 因为ABu平面PAB,所以平面PEO,平面PAB, 所以机二丝二理AB 25 .证明由题意可知A4,平面A3C,A3u平面ABC,.AA±AB. / NB4C所对的弦8C为半圆的直径,，ZBAC=-, ：.AB±AC2VAXi和AC是平面AAiCiC内两条相交直线,AB，平面A41cle TAiCu平面 AACC,：.ABLAC.(2)解设 BB =a, 9：AB=AC= 1ZBAC=-, ：.BCAB2 +AC2 = aA12 + l2 = V2.又 CC1=Q,BCi =y/BC2 + eel = V2 + a2.在等腰直角三角形ABC中，取8C的中点瓦连接AE,则AELBC,取的中点为P,连接DP,PE,11.* PE/ CCi,PE-CC,AD CCi4D=-CCi, 22：.AD/PE,AD=PE.：.四边形ADPE是平行四边形.PE/CCi,CCi，平面 ABC. PE，平面 A3C.,SEu 平面 A3cPE±AE,：.四边形AD尸石是矩形.9：AB=AC,AE±BC.：.AE±® BCGB,贝U P。，平面 BCCiBi.又 PD=AE=,2r_ 1 V2 10 _ a三棱锥DBB1GL =&-3.3。72 = J二点Bl到平面BGO的距离是1，2a2+412 嚷棱锥AB/Ci ="三棱锥Bi-BDC/即 二42a2+412嗔棱锥"og = ? ? y/2 + a2 口 =二二鱼,即 BB =V2.6 .证明取AG的中点/,记 出加"二0,连接FI,DI,GO,在ACG中产,/分别是ACAG的中点，所以FI/ CG.因为G8=G/,所以同理可得OG. 又因为 FICDI=I,CGCGO=G,所以平面GCO平面IFD.又DFu平面IFD,所以。尸平面CEG.解因为底面3CDE是菱形，所以OC± OD.因为A石二AC,BC=B旦伐所以4ABC义ZkABE,贝U易得GC=GE,又因为。是EC的中点，所以OCLOG.因为OGnOD=O,OG,。均在平面A3。中，所以OC_L平面又AGu平面ABD,所以 OCLAG,即 OC1AB.因为 AB=AD=BD=2j3,所以 cosZAB£>=所以 cosZAB£>=AB2+BD2-AD22ABBD(2遮9 _ V32X3X2V33则 OG=7BG2 + OB2-2BGOBcgslABD= Jl + 3-2xlxV3Xy = V2, 则 0 G2+BG2=OB2,所以 8GJ_0G,即 AB .LOG.又因为OCnOG=QOC0G均在平面CEG中，所以AB_L平面CEG.若AHJ_平面CEG,则H与B重合.故t=0.7 .(1)证明平面平面A5C£,平面A”£A平面ABCE=AE, 又由已知可得 AE=BE=0,AB=2, ：. BE1AE.又B5u平面A3C£,.5E_L平面AHE.平面 AHE, ：BE_LAH,即 AH±BE.(2)解连接AC交BE于点G,则窘=警=*GA Ad ，H在线段CH上取C”的三等分点F(靠近O,连接/G,则乡=刍=：，可得AH/FG. CH CA 3而平面BERFGu平面5ER则AH平面BEF.(3)解取AE中点。，连接HQ则又平面AHE,平面ABCE,且平面AHECI平面 ABCE=AE. ：. HO,平面 ABCE.在RtAAHE中，可得HO=.<F为C”的三等分点F(靠近。，/到平面ABCE的距离为三x四=真可得四棱锥F-ABCE的体积为三x3263-x(l+2)xlx =26-x(l+2)xlx =26y2128.证明如图，在等腰梯形中，过A,。分别作底边的垂线，垂足分别为MN,在 RtADTVC 中,CN，,2因为所以NNOC二，所以CQ=1. 36在A3。中,A8=AO=1,NB4O二'，3由余弦定理可知乃O=J12 + 12-2 X 1 X 1 x cosy = V3.在XBDC 中,80=75,302,0)=1,满足 8。2+。2=8。2 所以 BD上CD.因为平面平面BCD,且平面"Bon平面BCD=BD,CDu平面BCD,所以CC平 面 HBD.又因为BEu平面HBD,所以 CD_LBE.(2)解三棱锥K-HNP的体积是定值.如图，因为 CN=BN,CP=DP, 所以NPBD.匕匕 2 cc1 V3 1y/3所以 S/KPN=SDPN=- X X -=2228取的中点R连接HF,因为 HB=HD,所以 HF_LBD.因为平面平面BCD,且平面BCDn平面HBD=BD,HFu平面HBD, 所以印LL平面BCD.又在中,空，所以 HF= 32所以 V三棱锥K-HNP=V三棱链H-DNP=；SaDNPHF=； X坐X ；=工为 定值. 338248
