湖湘名校教育联合体五市十校教研教改共同体2023届高三第二次大联考（附答案详解）.docx

湖湘名校教育联合体五市十校教研教改共同体2023届高三第二次大联考1.已知A = y|y = Q”(a > 0,。工 1), B = xx2 > %),则A n B =()A. (0, +oo)B. (l,+oo)C. (-00,0)D. (-00,0) U (1,4-co)2 .在平面直角坐标系中，角a的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，则= ： 是“角a的终边过点(1,e)”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3 .已知函数f(x) = 6一* 一婚 + ： + 3,若f(m) = 2,则/'(=A. 2B. 4C. 2D. 44 .高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推 导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为''垛积术”的算法，展现了聪明才 智.如南宋数学家杨辉在详解九章算法.商功书中记载的三角垛、方垛、刍薨垛等的求和 都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有I个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为(个，第四层有10个，则第30层小球的个数为(A. 464B.465C. 466D. 495.已知实数 a, b, c满足2 x 3rt - 3b+1 = 0, Vb + 1 = c, a = c + log5(x2 - x + 3)(x e R), 则a, b, c的大小关系是()A. a > b > c B. b > c > a C. c > b > a D. a > c > b5 .已知cos(3 + a) = V2sin(a -则:吃=A. 7B. 7C. 7D. -744【解答】解:AB 沃 + FC CA + CA - AS = -accosB abcosC bccosA = 1(a2 + b2 + c2) = -.【答案】学【解析】【分析】本题考查了向量与双曲线的综合问题，属于中档题.【解答】y = -x + 1,解:联立/ y2 化简得一。2)/ + 2q2% 一 口2 一 q22 = 0, -7 j设M(%i，yi), /V(x2,y2),则与 + & =与冷=专当-， b -a4b -a4由 OM 1 ON,则。A? - ON = Xj%2 + y02 =+ (1 一 %1)(1 x2)= 2x1x2 -(/ + %2)+ 1 = 0,即 2a：2：2$ + 2a +二0,化简得 =v e = £ = Jl+4, ：.e2 = 1+!=1+=b -a2 b -a2l-2aza N a2a"a1l+-4-2>4,解得q2今 所以实轴长最小值为组 1一/Q43315 .【答案】11【解析】【分析】本题主要考查利用导数求函数的零点问题，属于中档题.【解答】解：f(x) = l-x + x2 -x3 + - + x2022,则1(1) = 1>0,1 . r2023当 W 1时，f<X)=号: > 0,所以/'(%) > 0,即/'(X)在(-8,+8)上单调递增，又 f(0) = l>0,=焉 <0,乙 O4U/i J所以/(%)在(-1,0)上有唯一的零点，4. v20239'(x) = -1+ % - x2 + - - %2022, g'(-1)<0, %工一1, g(x)=(：二 )V 0,所以g(%)在(-8,+8)上单调递减，又 9(1) = 1_1+； + »".+ 蔑一/>0,g(2) = l_2 + 22(A$ + 24(A§ + .+ 22必(募一盛)0,所以g(x)在(1,2)有唯一的零点.则/。+5)的零点在区间(一6, 5)内，9。-3)的零点在区间(4,5)内，所以90)零点所在区间a, b中。的最大值为-6,8的最小值为5, 所以b - a的最小值为11.17 .【答案】解：(l)f(x) = 2sinxcosx + 2/3cos2x - V3 = 2sin(2x + -),所以/'(x)最小正周期为zr, 由2k?r + W 2x + < 2/czr + y,得单调递减区间是k/r +自时+工(k e Z);(2)当xw 0,刍时，2x +频g,争，则2% +与，即无=时,/(%)有最小值为一百,2x + = p 即 =号时，/'()有最大值为2,所以此时/(x)的值域为-6,2.【解析】本题考查了三角恒等变换，正弦型函数的周期，正弦型函数的值域，属于中档题.18 .【答案】解：令X =1得% =(扔，由 2s唾=2bnSn - bn(n > 2),得 2s渡=2(Sn - S) . Sn-(Sn-S)，化简得2SnSn_ = Sn-1 -Sn，两边同除乱户时】，.一l=2,屈 Sn-l心)为公差d = 2的等差数列，Si =瓦=1，J- = 7" +(n _ 1) , 2 = 2n - 1, Sn =;(2)v(Zn%L=(2n_1).(_l)nt7； = l-(-i) + 3 (界 + 5 . (_y + +(2/ 一 1)( 一扔，"品=1 (一今 2 + 3 .(一界 + . + (2n - 3)(-犷 + (2n _ 1)(一扔+1 ，通过-得凯=-1+2 (-1)2 + 2 (-1)3 + + 2 (一扔-(2n- l)(-1)n+1 = -1 + 2-(2n-l)(-1)M+1 111114="2 + 31"(-2) -(2nT)(-R t1 222/oq、/ l、n+l 1 i i 1、葭 6n+l"n = -3 + 9-g-i(2n-= -9 +(-v A(T2n +1) < 2恒成立，即/I 吟已(-1)2n < 2对任意的 G N*恒成立.令=由4+141>0,得An为单调递增数列，即荏卷【解析】本题考行了数列通项公式的求法和利用错位相减法求和，属于中档题.19 .【答案】解：(1)过8点作A”的垂线，垂足记为K, 8K1平面H4C, 由8K _L平面 H4C知8K 1 AC,又P4 _L平面 ABCD, /. PA 1 AC,从而AC1 平面 PAB, 4C1P8;(2)由力P _1_平面/18。，可得AC _L BP,又由可得力CJ平面有4CJ.48,可知AB, AC, A尸两两垂直，以A为坐标原点，向量屈，AD,而方向分别为x,)，z轴建立空 间直角坐标系.设P4 = M九 >0),则P(0,0,h), 8(1,0,0), C(0,l,0),故而=(1,0,一九)，= (-1,1,0),设平面的一个法向量为沅=(外,力*2)，则嚣,：；'，目口卜2 - z2h = 0,' 1-2 + y? = o，令=九，则%=八，Z2 = 1,故记=(九，九,1),易得平面ABCD的一个法向量为而=(0,0,1), 乂前=(0,1,0),设直线AC与平面P8C所成角为a,则sina = |cos </IC, m > = f h ' = 3解得九=1,设平面PBC与平面ABC7)的夹角为0,则cos/? = |cos <而，m> = , 1,W+i所以平面P8C与平面A8CO的夹角的余弦值为母.【解析】本题主要考查线线垂直的判定，利用空间向量求解平面与平面的夹角，属于中档题.20 .【答案】解：(1)在直角三角形A8C中，A=l，AB = 3, AC = 4, 所以BC = 7AB2 + 力。2 - 5, sinC = |» cosC =族=：，因为DE J_ OF,所以FOC = a, t.L. DFC中，sinzDFC = sin(;r 乙FDC z.0 = sin(zFDC + Z.C)43=sinzFDCcosC 4- coszFDCsinC =sina +qcosa; kJD(2)在直角三角形AOE中，因为4。= 2,所以。E=亮.在DFC中，因为。C = 2,所以由正弦定理得,所以由正弦定理得,DFDC sinzDFC sin。'DCsinCsinzDFC 4sina+3coscr'在直角三角形。石尸中,S = -DE DF =6=12=12DEF 2- 3sinacosa+4sin2a - 3sin2a-4cos2a+4 - 5sin(2a-0)+4,其中tanJ = g,且夕E(U又因为E在线段相上，所以tana对，且。w (为)，故当2a - 6 =时，Sg"最小值为义【解析】本题考查了利用正弦定理解三角形，三角形面积，属于中档题.21 .【答案】解：(1)易知直线PQ的斜率不为()， 设直线PQ的方程为无=my - 1, PQi，%)，<?(%2必)，(x = my - 1, 由卜 2 y2 _ 消去 y 得(3m?+4)/- 6my-9 = °，(了 + 百=L所以力+%=品力=标先乂4(一2,0),所以/Cap/Caq =焉=(myi+l)(my2+l)=百万瑞百而 二三弟二；二一?为定值，即证；3m2+4 37n2+4(2)设P(i，yD处椭圆的切线方程为y -yi = k(x - %),(y-yi =十一修)， 由 / y2 3(T + T=1>消去 y 得(3病 + 4)y2 + 8k(% - kxx + 4(%-/cxj2 - 12 = 0,A = 64k2(y1-履力2 - 4(3m2 + 4)4仇-kxt)2 - 12 = 0,解得6 =岩, 所以尸处的切线方程为华+缪=1,同理可得。处的切线方程为等+号=1,山1 4十3，由卫+丝=114T 3得" 3垃_学7=一4,勺% 一2yl (fny1-l)y2-(my2-l)yl仁4勺心二1所以可设点M(-4,£),则有ty T+于所以直线PQ的方程为r + =1,3-kpQ =又k“Fi =*：" = _所以“= f所以MF1，PQ,即证.【解析】本题考查了直线与椭圆的位置关系及其应用，属于较难题.22.【答案】解：(1)/(%)= ：_2以=2(1；/), 当a WO时，f (%)在(0,+8)上单调递增，当 a >0时，f(x) > 0, 0<x< J, f(x) < 0, x>R, f(x)在(0, R)上单调递增,在(J1,+co)单调递减, 综上所述，a < 0时f(x)在(0,+8)上单调递增； a>0时，函数/(%)的增区间为(0,J1),减区间为©,+8).(2)不妨设小 >%> 0，由已知条件得21nxi - axl + bxx = 0,21nx2 - a%2 += 0=21咤=a(好一蟾)-b(Xi - x2),In 乜2ln3.0+i)则a(M + x2)2 - bQi + x2) =+ x2)= 茫;,“if舄-1)欲证：f(X + x2) = 2111(%1 + x2) - a(%i 4- x2y 4- b(x1 + x2) <dsin6 + x2) + 2eX1+Xz2只需证：/(%! + x2) = 21n(%i + x2) - a(xi + x2)2 + 匕(必 + x2)V -4 + 2eX1+X22> 4,ln21nA卢+l)先证：a (%1 + x2)2 -+ x2) = 2 (Xi + x2) =令W(x) = Inx -崎口令W(x) = Inx -崎口有以 舟=焉>。,可知函数山(为单调递增，可得W(x) < "(1) = 0,故有11畸。(£(0,1),有咛半 >2.即证：ln(%i + &)< e'i+'2-2,令血(%)= nx + 1,求导证明：Inx < x - 1Inx < ex2,工原式21rl(%i + x2)-。(工1 + 小)2 + b(%i + 冷)< 4sin(%i + x2) + 2eX1+X22 成立.【解析】本题.主要考查利用导数研究函数的单调性，构造函数证明不等式，属于难题.7.在平面直角坐标系中，已知点M(2,0), N(-1,0),动点Q(x,y)满足|QM| = 2|QN|,过点 (-3,1)的直线与动点。的轨迹交于A, 8两点，记点Q的轨迹的对称中心为C,则当力BC面 积取最大值时，直线A8的方程是()A. y = x + 4 B. y = x + 4 C. y = 2x + 4 D. y = -2x + 48 .已知菱形A8C。的边长为2, 4 b40 = 60。，将BCD沿对角线8。翻折，使点。到点夕 处，且二面角4 - 80-P的平面角的余弦值为-;，则此时三棱锥P-480的外接球的体枳与 该三楂锥的体积比值为()A.畔B.华C. 47rD. 6V2tt9 .已知小b, c, d e R,则下列命题正确的有A.若ab,则加 <心B.若q < 力 V 0,则M c ab < b2C.若a > b, c > d,则ln(a + c) > ln(b + d)D.若o < L V则2 < 怨a b a a+110 .如图，正方体的棱长为1，2为线段41。上的一个动点，下列结论中正 确的是BP 1 BCA. BP平面C/D1P到A和到区的距离之和的最小值为J2 +或B. P4与CO所成角的正切值的最小值为苧11.已知产是抛物线C：/ = 2y的焦点，4, B是抛物线C上的两点，。为坐标原点，贝ij()A.若AF JLy轴，则|研 =1B.若4F| = 2,则 4。尸的面积为苧C. A3长度的最小值为2D.若乙AOB = 90°, 1OA 0B > 812 .已知函数/(%) = e* - x, g(x) = % - Inx,则下列说法正确的是g(e")在(0,+8)上是增函数A. Vx > 1,不等式/'(ax)3/(In/)恒成立，则正实数。的最小值为2C.若f(x) = t有两个零点.，无2，则为1 +X2>0D.若/(与)=g(x2) = t(t > 2),且2 > xx > o,则"'的最大值为:13 .已知复数z满足z(l + i) = |1 + i|,则2 =.14 .在4BC中，角A, B,。所对的边为a, b, c,且q = 2, b = 3, c = 4,则荏赳+赳 CA-CA-AB的值等于.15 .已知双曲线圣-= l(a>0,b> 0)的离心率e > 2,直线y =-% + 1交双曲线于点M, N, O为坐标原点且OM 1 ON,则双曲线实轴长的最小值是.y2 r3 y4y2023y2 y3 Y4y2023.已知函数/(%) = 1+%一5+百一7 + - +而言,。(乃=1一工+5一9+元霞,设F(%) = fx + 5)- gx - 3),且函数F(x)的零点均在区间a,b(a <b,a,be Z)内，则b - a的 最小值为.16 .已知函数/'(%) = 2sinxcosx 4- 2/3cos2x a/3.(1)求函数/(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)当 W0,且时,求函数f(x)的值域.17 .已知二项式(&/ 一 必产的展开式的各项系数和构成数列即.数列/的首项d=1, 前项和为 Sn(SnHO)，且当nN 2时，有 2SK = 2bnSn-bn5N2).(1)求册和治；(2)设数歹IJ仁鲁的前项和为与，若入。2汁+：)&：对任意的正整数恒成立，求实数人的 取值范围.18 .如图，在四棱椎P-ABCD中，底面A8C。为平行四边形，P4 1平面48CQ,点M, N分 别为BC,小的中点.(1)取PB的中点H,连接若平面平面E4B,求证：PB工AC;(2)己知4?=4C= 1, AD = V2,若直线AC与平面P8C所成角的正弦值为季 求平面P8C 与平面ABCD的夹角的余弦值.19 .如图，在RtZiABC中，/.A =p AB = 3, AC = 4,。，E,尸分别在线段 AC, AB, BC上, 且。为AC的中点，DE IDE,设乙4ED = a.(1)求sinz。尸C(用a表示);(2)求4 DE/面积的最小值.如图，在平面直角坐标系X。,，中，已知椭圆5 + 1=1的左、右顶点分别为A, B,过左 焦点0的直线与椭圆交于点尸，Q(点。在点尸的上方).(1)求证：直线AP, AQ的斜率乘积为定值；(2)过点P, Q分别作椭圆的切线，设两切线交于点M,证明：M&JLPQ.20 .已知函数/(%) = 21nx ax2 + bx(a,b E R).(1)当b = 0时,讨论了(x)的单调性；(2)设与，为/(幻的两个不同零点，证明：当X 6(0,+8)时，f(xr + x2) < 4sin(xx + x2) + 2e"M-2答案和解析.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查指数函数的值域，集合的交集运算，属于基础题.【解答】解：易知A = y|y>0, B = x|x > 1 或 < 0,所以A n B => 1.1 .【答案】A【解析】【分析】本题考查了充分、必要、充要条件的判断，涉及任意角的概念，属于基础题.【解答】解：角a的终边过点(1,75)等价条件为tana = V3,由任意角定义知a = ?是tana = V5的充分不必 要条件，所以答案为42 .【答案】D【解析】【分5】本题考查了利用函数的奇偶性求函数值，属广基础题.【解答】解：由/'(%) + /(-x) = (ex - ex + + 3) + (ex - ex g + 3) = 6,所以f(m) + /(-m) = 6,又 /(m) = 2,所以/"(一m) = 4,答案为D.3 .【答案】B【解析】【分析】本题主要考查等差数列的实际应用，属于基础题.【解答】解：记第层有册个球，则由 = 1，a2 = 3, a3 = 6> a4 = 10,结合高阶等差数列的概念知。2 -=2, % -。2 = 3, a4 - a3 = 4, , an - an-x = n(n > 2), 则第30层的小球个数。3。= （。30 。29）+ （。29 。28）+ + （。2 。1） += 30 + 29 + 28 + + 2 + 1 = 465.4 .【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用指对数性质比大小，属于基础题.【解答】解：由2乂3。一3"1 = 0知3。一/?='>1,所以Q-b>0,即Q>b,由冲+ 1 =认知正一语二 1 > 0,所以c > b,由a = c + log5(x2 x + 3)得a c = log5(x2 x + 3) = log5(x )2 + 弓 0,所以q>c,综上知Q>c>b,所以答案为D.5 .【答案】B【解析】【分析】本题考查了诱导公式和正余弦齐次式的计算，属于基础题.【解答】解：由cos(5 + a) = V2sin(a 一 )得一sina = sina - cosa,即有tana = 则=2"广。产2 _ "、4"Z cosZa+1 Zcos£asinacosa+sin2a+cos2a _, _ 2, 475= tana + tan/a 4- 1 =-.cosna4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查与圆有关的轨迹方程，圆中的三角形面积最值问题，基本不等式和点到直线的距离, 属于中档题.【解答】解：设Q(x,y),由|QM| 二 2|QN|有- 27 + y2 = 2j(x + 1尸 + y2,化简得Q的轨迹方程为(x + 2>+ y2 = %所以点。(一2,0),设点。到48的距离为d,则团引所以48C的面积S = 1AB - cl = x/4-d2 - d < 4-+rf2 = 2,等号成立时d = &,即4 48。面积最大时，点C(2,0)到直线/W的距离为企，故直线AB不垂直于x轴，设直线48方程为y 1 = k(x + 3),即kx-y + 3k + l = 0,则=企， 后解得k = l,所以直线44方程为y = x + 4.6 .【答案】C【解析】【分析】本题考查了空间几何体的体积计算，涉及二面角，属于中档题.【解答】解：取加) 的中点为O,连接人O, PO,知cos乙40P =上 J在4 40P中，由余项定理有P/2 = p02 + 力。2 _ 2P0 4。. COS/-AOP = 8, 所以p/ = 2式,则有4B2 + P82 = p/2,得4pba = 90。， 同理得NPD4 = 90°,则三棱锥P - 48D的外接球球心。为R4的中点，外接球半径R =PA = 4所以1w雄=M (遮)3=警又Vp-ABD = gSapoaB。= I x X y/3 x V3 x x 2 =所以y外甥铲"-AB。= 4-所以答案为c.7 .【答案】AD【解析】【分析】本题考查了利用不等式的基本性质判断不等关系，属于基础题.【解答】解：y =/在A匕单调递增战a <仇。3 V吩，A正确、取q = -2,b = -l,a2 > b?,B错误;-a > b,c > d,故q + c > b + d,但a + c可能小于等于0,此时不等式无意义,C错误;八 “ 1 " 1 M j、c htii b+1 ab+b-ab-a b-a ,八 c t 出0<Z<B，故a>b>0,则帝=心+i)=诉<0,。正确1().【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查正方体中的动点问题，线线垂直，线面平行的判定，异面直线所称的角，属于中档 题.【解答】解：A选项中，只有。位于&处时是垂直的，所以4选项错误；8选项中，因为BPu平面&BD,平面48D平面。当。1，所以8P平面。当名，所以8选项正 确；。选项中，将平面沿直线4。翻折到平面48传。，则当A, P,当三点共线时所求距离最小， 最小值为的长，此时在中，知/=135。，由余弦定理得48 = 万口？，所以 C正确；D选项中，连接PA,PB,易知PB与CD所成角即为PB与AB所成角，乂P4 1 4B,所以在心 PAB中有tan"84 = * = P4又PA最小值为孚，所以尸B与。所成角的正切值的最小值为条即 tOLZ。选项正确.11 .【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了抛物线的几何性质与应用，属于中档题.【解答】解：A项中，由轴知物=?知|力?|=%+：=1,所以八选项正确；8选项中，由|AF| =% +32得以 =去代入/ = 2y中的4=±技所以 4。/坨勺面积为幺。"| =?，所以4选项正确；抛物线上两点人，B的最小距离显然可以比2小，所以C选项错误；。选项中，设4(州,、1), S(x2,y2)»则由4力。8 = 90°知%62 + 丫1%=0，即有巧&+,好蟾=。，得%1小=-4，所以y02 = 4,又|。川 |08| =+ * y/xl + yl= J(2 + yj (2 + y?) = 2j8 + 2(yi +力)> 8,当 = 丫2 = 2时等号成立，所以。项正确.12 .【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了导数的综合应用，属于难题.【解答】解：A 项中，令t = ex,则x = Int,由 6 (0,+8)知1 > 1,此时函数为y = t - Int, y' = 1> 0,所以函数y = t -用在(1, +8)上是单调增函数，即gS)在(0, +8)上是增函数，所以A项正确； 8项中，x>l时，Inx2 > 0,又。为正实数，所以ax>0,又r(x)=靖一 1 > 0,所以f(x)单调 递增，所以不等式等价于办 > 上立对Vx > 1恒成立,即q> (空)max，令3。)=等,知0'(X)=所以>(%)在(l,e)上递增，在(e,+8)上递减，所以(/(x)max = 9(e)=：所以8项正确； C项中，易知/(%)=城一 在(一8,0)上递减，在(0,+8)上递增，/(x)min = /(0) = 1,所以t > 1, 不妨设< %2»则必有第1 < 0 <不，若+ X2 > 0,则等价于2 > 一> 0,等价于/(%2)> f (一工1)， 等价于 f(%i) > /(f)，令 F(%) = /(%)- /(-X), x G (-00,0), F'M = f(x) + f(-x) = ex + e-x-2> 0,即尸(%)在(一8,0)上递增，所以尸(x) < F(0) = 0,则与 e (一 8,0)时,/(打)< /(一/)， 所以+小>0不成立，即C错误；。项中，由/'(>) = e*-在(-8,0)上递减，在(0,+8)上递增，g(x)在(0,1)上递减，在(1,+8)上 递增,易知/(%) = g(x)有唯一的解与 e (0,1),又f= e-l <2,所以不 > %> 1，由/(4)= g(%2)，即e"i =不 一 Inx? = <?InXz - lnx2» 即有f (%i) = /(lnx2),所以勺=lnx2» 即= x2,所以以=半，又空2,所以(q)min=2所以。正确.13 .【答案】y-f i【解析】【分析】本题主要考查复数的模及复数的除法运算，属于基础题.【解答】解：v|l + i| = V2,V2 V2(l - i) V2 V2.： Z = 7Z ； = q = "75I1 4-122214 .【答案】号【解析】【分析】本题考查了向量的数量积运算，余弦定理，属于基础题.