高等流体力学高等流体力学 (6).pdf
高等流体力学高等流体力学对于有散度无旋流场，满足方程组或本节的任务是寻求对于有散度无旋流场，满足方程组或本节的任务是寻求求此泊松方程的特解求此泊松方程的特解，由特殊情况的特解推广到一般情况中去。，由特殊情况的特解推广到一般情况中去。1.6给定速度的散度场的无旋流动1.6给定速度的散度场的无旋流动（1-136）一.点源一.点源若散度场 集中分布在包括原点在内的某一微小体积若散度场 集中分布在包括原点在内的某一微小体积 中，因此式中中，因此式中Q是由封闭曲面是由封闭曲面A流出的体积流量。如时，依然存在，则相当于原点在一个提供流量的源泉，称为流出的体积流量。如时，依然存在，则相当于原点在一个提供流量的源泉，称为“点源”“点源”。称。称Q为点源强度为点源强度。当。当Q为负值时，则称为为负值时，则称为“点汇”“点汇”。（1-137）在点源以外的流场区域中，因为，所以速度势满足拉普拉斯方程。在点源以外的流场区域中，因为，所以速度势满足拉普拉斯方程。在球坐标系中展开在球坐标系中展开成成显然这个显然这个点源在原点以外的流场中所引起的速度势是球对称的点源在原点以外的流场中所引起的速度势是球对称的，因此，对、的偏导数等于零。于是上式可简化为，因此，对、的偏导数等于零。于是上式可简化为1x2x3xpr图图1-7（1-138）（1-139）积分此式可得：以原点为中心，为半径作球面，通过此球面的流量为由不可压条件可知，在点源流出的体积流量应等于上述任意球面的流量积分此式可得：以原点为中心，为半径作球面，通过此球面的流量为由不可压条件可知，在点源流出的体积流量应等于上述任意球面的流量 Q，因此或，代入式（，因此或，代入式（1-140），得），得（1-140）（）（1-142）（）（1-143）（）（1-141）r则代入上式（则代入上式（1-144），得式中常数不影响速度场，因此令。如果点源不在原点，而在某点上，如图），得式中常数不影响速度场，因此令。如果点源不在原点，而在某点上，如图1-8所示，其矢径用表示，则相应的速度势应为式中所示，其矢径用表示，则相应的速度势应为式中yxyz,x y z,p 图图1-8 点源点源（1-144）（1-145）（1-146）（）（1-147）速度场为式中显然“点源”是一个奇点。以点源为圆心的圆周线是等势线，以点源为起点的矢量方向，因此，相应径向线为流线。速度场为式中显然“点源”是一个奇点。以点源为圆心的圆周线是等势线，以点源为起点的矢量方向，因此，相应径向线为流线。（1-148）（）（1-149）二.泊松方程的特解二.泊松方程的特解利用点源的概念，不难得到泊松方程的一种特解。散度公式中的中的 是单位体流出的体积流量，若已知体积内散度分布为，则可将分割成许多小体积每个小体积流出的流量利用点源的概念，不难得到泊松方程的一种特解。散度公式中的中的 是单位体流出的体积流量，若已知体积内散度分布为，则可将分割成许多小体积每个小体积流出的流量a，因此相当于在空间分布着强度为的许多点源。利用（，因此相当于在空间分布着强度为的许多点源。利用（1-146）可以给出这些点源所对应的速度势的总和。）可以给出这些点源所对应的速度势的总和。（1-150）即相应的速度为即相应的速度为（1-151）（1-152）三.线源三.线源设想集中分布在截面很小的管状体积中设想集中分布在截面很小的管状体积中，当时，细管成曲线，且式中为单位长度线上的体积流量，称这样的曲线为线源。如图，当时，细管成曲线，且式中为单位长度线上的体积流量，称这样的曲线为线源。如图1-9所示，称为线源强度。显然，所示，称为线源强度。显然，xo,x y zy,p l线源图图1-9 线源线源（1-153）（）（1-154）z对于线源引起的速度势的总和，利用式（对于线源引起的速度势的总和，利用式（1-151），可表示为相应的线源所引起的速度场为），可表示为相应的线源所引起的速度场为（1-155）（）（1-156）四.面源四.面源设想集中分布在厚度很薄的层状体积中，设想集中分布在厚度很薄的层状体积中，当时，薄层变成曲面，且有式中为单位面积上的体积流量，称这样的面为面源，称为面源强度，如图当时，薄层变成曲面，且有式中为单位面积上的体积流量，称这样的面为面源，称为面源强度，如图1-10所示。所以面源引起的速度势为面源所引起的速度为所示。所以面源引起的速度势为面源所引起的速度为,x y zxzydA,A面源图图1-10 面源面源（1-157）（1-158）（）（1-159）思考题：思考题：1、何谓点源？点源流场的特点是什么？2、无旋、有散度、以及无边界条件流动问题的势函数泊松方程如何求解？1、何谓点源？点源流场的特点是什么？2、无旋、有散度、以及无边界条件流动问题的势函数泊松方程如何求解？
