材料力学第六章弯曲变形.ppt

工程力学Engineering Mechanics第六章 弯曲变形6.挠度和转角挠度和转角 6.挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程 6.用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形 6.5 梁的刚度校核梁的刚度校核 6.4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形1.梁的梁的挠度曲线挠度曲线：梁轴线变形后所形成的光滑而连续的曲线梁轴线变形后所形成的光滑而连续的曲线。B1x q qy 2.梁的变形可以用以下两个位移度量：梁的变形可以用以下两个位移度量：挠度挠度：梁横截面：梁横截面形心形心的竖向位移的竖向位移y，向下的挠度为正，向下的挠度为正 转角转角：梁横截面绕中性轴转动的角度：梁横截面绕中性轴转动的角度，顺时针转动为正，顺时针转动为正FB以图示悬臂梁为例：以图示悬臂梁为例：xw 61 挠度和转角挠度和转角 挠度方程挠度方程：挠度是轴线坐标：挠度是轴线坐标x的函数的函数 y=f(x)转角方程转角方程(小变形下小变形下)：转角与挠度的关系：转角与挠度的关系 =tan =f(x)简支梁 实例实例车床主轴：变形过大，会使齿轮啮合不良，轴与轴承产生非均匀磨损，产生噪声，降低寿命，影响加工精度。吊车梁：变形过大会出现小车爬坡现象，引起振动。3.计算变形的目的计算变形的目的：刚度校核、解超静定梁、调整施工措施刚度校核、解超静定梁、调整施工措施目录 6 62 2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：推导弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响由数学知识可知：由数学知识可知：略去高阶小量，得略去高阶小量，得所以所以式中的正负号取决于坐标系的选择和弯矩的符号规定。由弯式中的正负号取决于坐标系的选择和弯矩的符号规定。由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号相反相反，所以挠曲线（小挠度）的近似微分方程为：，所以挠曲线（小挠度）的近似微分方程为：M为正，挠曲线向下凸，二阶为正，挠曲线向下凸，二阶导数为负；导数为负；M为负，挠曲线向为负，挠曲线向上凸，二阶导数为正上凸，二阶导数为正yxyx由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。式中式中C、为积分常数，由梁的边界、变形连续条件确定。、为积分常数，由梁的边界、变形连续条件确定。6-3 6-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形1.积分法积分法2.支承条件与连续条件支承条件与连续条件:1)支承条件：支承条件：2)连续条件：连续条件：挠曲线是一条光滑而连续的曲线挠曲线是一条光滑而连续的曲线FABX=0解：建立坐标系如图所示解：建立坐标系如图所示x处弯矩方程为：处弯矩方程为：例例1 图示图示B端作用集中力端作用集中力的悬臂梁，求其挠曲线方程。的悬臂梁，求其挠曲线方程。maxymaxyxFx目录xFAy=FM=FlM(x)例例 求图示梁受集中力求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。作用时的挠曲线方程。FabClABFAFB解：解：1、求支反力、求支反力 64 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形 从从上上节节可可知知，梁梁的的转转角角和和挠挠度度都都与与梁梁上上的的荷荷载载成成线线性性关关系系。于于是是，可可以以用用叠叠加加法法来来计计算算梁梁的的变变形形。几几个个荷荷载载共共同同作作用用下下梁梁任任意意横横截截面面上上的的变变形形，等等于于每每个个荷荷载载单单独独作作用用时时该该截截面的变形的叠加。面的变形的叠加。即即梁梁在在几几个个荷荷载载同同时时作作用用时时，其其任任一一截截面面处处的的转转角角或或挠挠度度等等于于各各个个荷荷载载分分别别单单独独作作用用时时梁梁在在该该截截面面处处的的转转角角或或挠挠度度的代数和。的代数和。梁在简单荷载作用下的转角和挠度可从梁在简单荷载作用下的转角和挠度可从表表中查得。中查得。例例3 图示悬臂梁，其弯曲刚度图示悬臂梁，其弯曲刚度EI为常数，求为常数，求B点转角和挠度。点转角和挠度。Fq BFyBFFyCqyBqq1.在在F作用下：作用下：2.在在q作用下：作用下：3.在在F和和q共共 同作用下：同作用下：65 梁的刚度校核梁的刚度校核 在工程中，对梁的设计除满足强度条件外，梁的位移也在工程中，对梁的设计除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其正常工作。需加以控制，从而保证其正常工作。在土建工程中，通常对梁的在土建工程中，通常对梁的挠度挠度加以控制，例如：挠加以控制，例如：挠度与梁的跨长的比值度与梁的跨长的比值梁的梁的刚度条件刚度条件为：为：通常情况通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。但是，但是，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄时，刚度条件也起时，刚度条件也起控制控制作用。作用。许用挠度许用转角 例例4一简支梁荷载如图示已知材料的许用应力一简支梁荷载如图示已知材料的许用应力160 MPa，许用，许用挠度挠度y=L/500，弹性模量，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢的型号。，试选择工字钢的型号。解：解：1、作出梁的弯矩图、作出梁的弯矩图2、根据弯曲正应力强度条件，要求、根据弯曲正应力强度条件，要求3、梁的刚度条件为：、梁的刚度条件为：解得解得 由型钢表中查得，由型钢表中查得，22a工字钢的弯曲截面系数工字钢的弯曲截面系数Wz3.09l0-4m3，惯性矩，惯性矩Iz=3.4010-5m4，可见选择，可见选择.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。F=35kN2mAB2ml=4mM图图提高梁刚度的措施：提高梁刚度的措施：2.调整跨长和改变结构；增加支承调整跨长和改变结构；增加支承使使跨长跨长缩短：如将简支缩短：如将简支梁改为外伸梁等。梁改为外伸梁等。1.增大梁的弯曲刚度增大梁的弯曲刚度 EI；主要增大截面惯性矩主要增大截面惯性矩I值，在截值，在截面面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中面面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。例如：工字形、箱形等。性轴较远的地方。例如：工字形、箱形等。ABqlqlABqAB 3.改善荷载的作用方式；改善荷载的作用方式；如将集中载荷变为分布载荷。如将集中载荷变为分布载荷。如图所示如图所示，将集中力，将集中力P分散作用在全梁上，最大弯矩分散作用在全梁上，最大弯矩Mmax就由就由 Pl/4降低为降低为 Pl/8，最大挠度，最大挠度y就由就由 Pl3/48EI 减减小为小为 5Pl3/384EI。