材料力学(土木类)第三章扭转.ppt

第三章第三章 扭扭 转转3-1 3-1 概概 述述工程实例工程实例1.1.圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动；圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动；2.2.杆表面上的纵向线变成螺旋线。杆表面上的纵向线变成螺旋线。受力特点：受力特点：圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用垂直于杆的轴线的外力偶作用变形特点：变形特点：Me Me 实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉压等其他变形。弯曲、拉压等其他变形。3-2 3-2 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩扭矩及扭矩图图、传动轴的外力偶矩、传动轴的外力偶矩传动轴的转速传动轴的转速n；某一轮上某一轮上所传递的功率所传递的功率P(kW)作用在该轮上的外力偶矩作用在该轮上的外力偶矩Me。已知：已知：求：求：一分钟内该轮所传递的功率等于其上外力偶矩所一分钟内该轮所传递的功率等于其上外力偶矩所作的功：作的功：Me1 Me2 Me3 n从动轮主动轮从动轮传动轮的转速传动轮的转速n、功率功率P 及其上的外力偶矩及其上的外力偶矩Me之之间的关系：间的关系：主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同，主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同，从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。Me1 Me2 Me3 n从动轮主动轮从动轮、扭矩及扭矩图、扭矩及扭矩图 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩扭矩，用符号用符号T表示。表示。扭矩大小可利用扭矩大小可利用截面法截面法来确定。来确定。11TTMe Me AB11BMe AMe 11x扭矩的符号规定扭矩的符号规定按右手螺旋法则确定按右手螺旋法则确定:扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。仿照轴力图的做法，可作仿照轴力图的做法，可作扭矩图扭矩图，表明沿杆，表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况。轴线各横截面上扭矩的变化情况。TTTTT(+)T(-)11TTMe Me AB11BMe AMe 11xMeT 图图+例例 3-1 一传动轴如图一传动轴如图，转速转速n=300r/min；主动轮输主动轮输入的功率入的功率P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别三个从动轮输出的功率分别为：为：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩解：解：221133M1 M2 M3 M4 ABCD分别计算各段的扭矩分别计算各段的扭矩221133M1 M2 M3 M4 ABCDT111xM2AT2AM2 BM3 22xT333DM4 x扭矩图扭矩图Tmax=9.56 kNm 在在BC段内段内M1 M2 M3 M4 ABCD4.789.566.37T 图(kNm)3-3 3-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转通常指通常指 的圆筒，可假定其的圆筒，可假定其应力沿壁厚方向均匀分布应力沿壁厚方向均匀分布内力偶矩内力偶矩扭矩扭矩T薄壁圆筒薄壁圆筒nnMeMe dlT Me nndr0圆筒两端截面之间相对转过圆筒两端截面之间相对转过的圆心角的圆心角 相对扭转角相对扭转角 表面正方格子倾斜的角度表面正方格子倾斜的角度直角的改变量直角的改变量 切应变切应变 即gjABDCMe Me 薄壁圆筒受扭时变形情况：薄壁圆筒受扭时变形情况：gABC D B1A1D1 C1 DD1C1CMe Me 圆周线只是绕圆筒轴线转动，其形状、大小、间距圆周线只是绕圆筒轴线转动，其形状、大小、间距不变；不变；表面变形特点及分析：表面变形特点及分析：横截面在变形前后都保持为形状、大小未改横截面在变形前后都保持为形状、大小未改变的平面，没有正应力产生变的平面，没有正应力产生所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同。所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同。横截面上有与圆轴相切的切应力且沿圆筒周横截面上有与圆轴相切的切应力且沿圆筒周向均匀分布向均匀分布gjABDCMe Me 1 1、横截面上无正应力；、横截面上无正应力；2 2、只有与圆周相切的切应力，、只有与圆周相切的切应力，且沿圆筒周向均匀分布；且沿圆筒周向均匀分布；薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析：薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析：gjABDCgABC D B1A1D1 C1 DD1C1C nnMe r0 xt 3 3、对于薄壁圆筒，可认为切、对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚也均匀分布。应力沿壁厚也均匀分布。薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：静力学条件静力学条件因薄壁圆环横截面上各点处的因薄壁圆环横截面上各点处的切应力相等切应力相等得得t dAnnMe r0 xdr0剪切胡克定律剪切胡克定律由前述推导可知由前述推导可知薄壁圆筒的扭转实验曲线薄壁圆筒的扭转实验曲线Me Me gjABDC钢材的切变模量值约为：钢材的切变模量值约为：这就是这就是剪切胡克定律剪切胡克定律其中：其中：G材料的材料的切变模量切变模量t p剪切屈服极限剪切屈服极限3-4 3-4 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力强度条件强度条件、横截面上的应力、横截面上的应力（一）几何方面（一）几何方面 相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、形状、间距都未变；形状、间距都未变；纵向线倾斜了同一个角度纵向线倾斜了同一个角度g，表面上所有矩形均变表面上所有矩形均变成平行四边形成平行四边形。g(a)Me Me(b)杆的横截面上只有垂直于半径的切应力，没杆的横截面上只有垂直于半径的切应力，没有正应力产生。有正应力产生。平面假设平面假设 等直圆杆受扭转时其横截面如同刚性平面一等直圆杆受扭转时其横截面如同刚性平面一样绕杆的轴线转动。样绕杆的轴线转动。推论：推论：(a)gMe Me(b)gMe Me djgDGGETTO1O2ababdxDAgrrdjgDGGEO1O2DAgrrdxd横截面上任一点处的切应变随点的位置的变化规律横截面上任一点处的切应变随点的位置的变化规律即即相对扭转角沿杆长的变化率，对于给相对扭转角沿杆长的变化率，对于给定的横截面为常量定的横截面为常量djgDGGETTO1O2ababdxDAgrrdjgDGGEO1O2DAgrrdxd剪切胡克定律剪切胡克定律（二）物理方面（二）物理方面（三）静力学方面（三）静力学方面称为横截面称为横截面的的极惯性矩极惯性矩trdA trdA rrrO令令得得TOd等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式rtmaxtrtmaxT发生在横截面周边上各点处。发生在横截面周边上各点处。称为称为扭转扭转截面系数截面系数最大切应力最大切应力tmaxtmax令令即即OdrtrT同样适用于空心圆截面杆受扭的情形同样适用于空心圆截面杆受扭的情形tmaxtmaxODdTrtr（四）圆截面的极惯性矩（四）圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数和扭转截面系数Wp实心圆截面：实心圆截面：Odrrd空心圆截面：空心圆截面：DdrrOd注意：对于空心圆截面注意：对于空心圆截面DdrrOd此处为以横截面、径截面以及与表面平此处为以横截面、径截面以及与表面平行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一微小的正六面体微小的正六面体（五）单元体（五）单元体切应力互等定理切应力互等定理单元体单元体Me Me xyzabOcddxdydztttt自动满足自动满足存在存在t得得 单元体的两个相互垂直单元体的两个相互垂直的截面上，与该两个面的交的截面上，与该两个面的交线垂直的切应力数值相等，线垂直的切应力数值相等，且均指向且均指向(或背离或背离)两截面两截面的交线。的交线。切应力互等定理切应力互等定理 单元体在其两对互相单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为而无正应力的状态称为纯纯剪切应力状态剪切应力状态。dabcttttxyzabOcddxdydztttt例例3-2 实心圆截面轴实心圆截面轴和空心圆截面轴和空心圆截面轴(a=d2/D2=0.8)的材料、扭转力偶矩的材料、扭转力偶矩 Me 和长度和长度l 均相同。试求在两均相同。试求在两圆轴横截面上最大切应力相等的情况下，圆轴横截面上最大切应力相等的情况下，D2/d1之比以之比以及两轴的重量比。及两轴的重量比。(a)Me Me d1lMe(b)Me lD2d2解：解：已知已知得得两轴的重量比两轴的重量比可见空心圆轴的自重比实心圆轴轻。可见空心圆轴的自重比实心圆轴轻。讨论：讨论：为什么说为什么说空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构件？件？、斜截面上的应力、斜截面上的应力假定斜截面假定斜截面ef 的的面积为面积为d Aaefdabcttttxantttaahxsafebax讨论：讨论：1、2、此时切应力均为零。此时切应力均为零。ftattaebahxsax解得解得ttttx4545smaxsmaxsminsmin、强度条件、强度条件等直圆轴等直圆轴材料的许用切应力材料的许用切应力例例3-3 图示阶梯状圆轴，图示阶梯状圆轴，AB段直径段直径 d1=120mm，BC段直径段直径 d2=100mm。扭转力偶矩扭转力偶矩 MA=22 kNm，MB=36 kNm，MC=14 kNm。材料的许用切应力材料的许用切应力t =80MPa，试校核该轴的强度。试校核该轴的强度。解：解：1、求内力，作出轴的扭矩图、求内力，作出轴的扭矩图2214T图（kNm）MA MBMC ACBBC段段AB段段2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度即该轴满足强度条件。即该轴满足强度条件。2214T图（kNm）例例3-4 实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌离合器连接。已知轴的转速n=100 r/min，传递功率P=10 kW，许用切应力=80MPa，d1/d2=0.6。试确定实心轴的直径d，空心轴的内、外径d1和d2。1、扭矩：、扭矩：2 2、由实心轴的切应力强度条件：由实心轴的切应力强度条件：解：解：3 3、由空心轴的切应力强度条件：、由空心轴的切应力强度条件：