数值分析3.5.ppt
第三章 数值积分与数值微分3.5数值微分数值微分3.5.3 3.5.3 数值微分的外推算法数值微分的外推算法3.5.2 3.5.2 3.5.2 3.5.2 三次样条求导三次样条求导3.5.1 3.5.1 插值型求导公式插值型求导公式第三章 数值积分与数值微分3.5 数值微分数值微分学习目标：学习目标：掌握几个数掌握几个数值值微分微分计计算公式算公式。第三章 数值积分与数值微分数值微分数值微分就是用离散方法即使的近似地求出函数在某点的导数就是用离散方法即使的近似地求出函数在某点的导数值值.按照按照Taylor展开原理可得展开原理可得其中其中h为一增量。上面几个公式是很实用的，下面我们再讨论一为一增量。上面几个公式是很实用的，下面我们再讨论一些常用方法。些常用方法。3.5数值微分数值微分第三章 数值积分与数值微分3.5.1 3.5.1 插值型求导公式插值型求导公式设设f（x）是定义在是定义在a，b上的函数，并给定区间上的函数，并给定区间a，b上的函数，上的函数，并给定区间并给定区间a，b上的上的n+1个节点个节点 出的函数值出的函数值 这样这样,我们可以建立函数我们可以建立函数 的的n次插值多项式次插值多项式多项式的求导是容易的多项式的求导是容易的,称称 (3.5.1)为为插值型求导公式插值型求导公式。第三章 数值积分与数值微分应当指出，即使应当指出，即使 和和 的值相差不多，导数的近似值的值相差不多，导数的近似值 与导数的值与导数的值 仍然可能相差很大。因而在使用求导公式仍然可能相差很大。因而在使用求导公式（3.5.1）时，应注意误差的分析。）时，应注意误差的分析。依据插值余项定理，求导公式（依据插值余项定理，求导公式（3.5.1）的余项为）的余项为式中式中在上述余项公式中，由于在上述余项公式中，由于 是是x的未知函数，我们无法对右端的的未知函数，我们无法对右端的第二项作出进一步的说明。因此，对于随意给出的点第二项作出进一步的说明。因此，对于随意给出的点x，求导公式求导公式的余项是很难估计的。的余项是很难估计的。第三章 数值积分与数值微分然而，如果我们限定求节点上的导数值，那么有余项公式然而，如果我们限定求节点上的导数值，那么有余项公式（3.5.23.5.2）下面我们考察节点处的导数值。为简化讨论，假定所给的节点是等距的，下面我们考察节点处的导数值。为简化讨论，假定所给的节点是等距的，h是步长。是步长。1.两点公式两点公式当当n=1时，由（时，由（3.5.2）得带余项的）得带余项的两点公式两点公式（3.5.33.5.3）（3.5.43.5.4）第三章 数值积分与数值微分2.2.三点公式三点公式当当n=2时，由（时，由（3.5.2）的带余项的）的带余项的三点公式三点公式（3.5.53.5.5）（3.5.63.5.6）（3.5.73.5.7）3.3.五点公式五点公式当当n=4时，由（时，由（3.5.2）不难导出带余项的五点求导公式。这里给出）不难导出带余项的五点求导公式。这里给出其中常用其中常用五点公式五点公式（3.5.83.5.8）第三章 数值积分与数值微分例例例例 3.93.93.93.9 设设 ，对，对h=0.01h=0.01，计算计算 的近似的近似值。值。值。值。解解解解 由（由（3.5.5）式有）式有由（由（3.5.6）有）有由（由（3.5.7）式有）式有由（由（3.5.8）式有）式有精确值精确值 。计算结果显然与它们的余项相一致，由（。计算结果显然与它们的余项相一致，由（3.5.8）式计）式计算所得的结果最精确。算所得的结果最精确。第三章 数值积分与数值微分然而，对于用插值法建立的数值求导公式通常导数值的精确度比然而，对于用插值法建立的数值求导公式通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的精确度差，高阶导数值的精度比低阶用插值公式求得的函数值的精确度差，高阶导数值的精度比低阶导数值的精度差。所以，不宜用次方法建立高阶数值求导公式。导数值的精度差。所以，不宜用次方法建立高阶数值求导公式。用插值多项式用插值多项式 作为作为 的近似函数，还可以建立高的近似函数，还可以建立高阶数值微分公式阶数值微分公式第三章 数值积分与数值微分3.5.2 3.5.2 3.5.2 3.5.2 三次样条求导三次样条求导我们知道，三次样条函数我们知道，三次样条函数S(x)作为作为f（x）的近似函数，不但彼此的函数值的近似函数，不但彼此的函数值很接近，导数值也很接近。因此用样条函数建立数值微分公式是很自然的。很接近，导数值也很接近。因此用样条函数建立数值微分公式是很自然的。设在区间设在区间a，b上，给定一种划分上，给定一种划分及相应的函数值及相应的函数值 再给定适当的边界条件，按三次样再给定适当的边界条件，按三次样条函数的算法，建立关于节点上的一阶导数条函数的算法，建立关于节点上的一阶导数 或二节导数或二节导数 的样条方程组。求得的样条方程组。求得 或或 从而得到三次样条插值从而得到三次样条插值函数函数S(x)的表达式。这样，可得数值微分的公式的表达式。这样，可得数值微分的公式第三章 数值积分与数值微分 与前面插值型数值微分公式不同，样条数值微分公式（与前面插值型数值微分公式不同，样条数值微分公式（3.5.9）可以用来计）可以用来计算插值范围内任何一点（不仅是节点）上的导数值。误差估计由（算插值范围内任何一点（不仅是节点）上的导数值。误差估计由（2.3.21）给出。）给出。对节点上的导数值，若求得的是对节点上的导数值，若求得的是则由则由S(x)的表达式有的表达式有若求得的是若求得的是则由则由S(x)的表达式有的表达式有第三章 数值积分与数值微分3.5.3 3.5.3 数值微分的外推算法数值微分的外推算法 由此看见，仅有两位有效数字。利用由此看见，仅有两位有效数字。利用Richardson外推法可以提高计算精度。外推法可以提高计算精度。先看一个简单的例子。求先看一个简单的例子。求 在在x=0.004出的一阶出的一阶导数值。采用中点微分公式（导数值。采用中点微分公式（3.5.6），即），即取取h=0.0016，那么得那么得而而而而对于中心差商，记对于中心差商，记由由Taylor级数展开有级数展开有第三章 数值积分与数值微分利用利用Richardson外推公式，取外推公式，取 则有则有外推公式（外推公式（3.5.9）的终止标准是）的终止标准是 是预先给定的是预先给定的误差小量。误差小量。例例 3.10 3.10 设设 设设h h分别取分别取0.1,0.05,0.0250.1,0.05,0.025时求出时求出x=0.5x=0.5出出的一阶导数的中心差商的一阶导数的中心差商,进行外推进行外推,并与精确值进行比较。并与精确值进行比较。解解 先分别取先分别取h=0.1,0.05,0.025,求出节点求出节点x=0.5处的中心差商值，见处的中心差商值，见表表3-6，再按（，再按（3.5.9）式进行外推，外推两次，结果列于表）式进行外推，外推两次，结果列于表3-6中。中。从表从表3-6可见，可见，h=0.025时的中心差商值只有时的中心差商值只有3位有效数字，外推一位有效数字，外推一次达到次达到5位有效数字，外推两次达到位有效数字，外推两次达到9位有效数字。位有效数字。第三章 数值积分与数值微分表表3-63-60.45469262880.0250.45489811520.45407616930.050.4548979940.4548979940.45489992310.45160490810.1 h
