热传导方程及其定解问题的导出.ppt

第二章第二章 热传导方程热传导方程1 1 热传导方程及其定解问题的导出热传导方程及其定解问题的导出 2 2 初边值问题的分离变量法初边值问题的分离变量法3 3 柯西问题柯西问题4 4 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性5 5 解的渐近性态解的渐近性态*傅里叶实验定律傅里叶实验定律2.1 2.1 热传导方程及其定解问题的导出热传导方程及其定解问题的导出 1.1.热传导方程的导出热传导方程的导出在该点的热传导系数在该点的热传导系数热量从温度高流向温度低热量从温度高流向温度低外法向量外法向量物体在无穷小时段物体在无穷小时段dtdt内沿法线方向流过一个无穷小内沿法线方向流过一个无穷小面积面积d d的热量的热量dQdQ与物体温度沿曲面与物体温度沿曲面d d法线方向的法线方向的方向导数方向导数 成正比，即成正比，即在物体在物体内任取一闭曲面内任取一闭曲面 ，它所包围的区域记，它所包围的区域记为为 ，则从时刻，则从时刻 到到 流进此闭曲面的总热量为流进此闭曲面的总热量为该点附近在该点附近在 到到 时刻吸收热量时刻吸收热量密度：密度：比热容：比热容：故故 内在内在 到到 时刻吸收的总热量时刻吸收的总热量由能量守恒：由能量守恒：利用高维利用高维N-LN-L积分公式，积分公式，左端左端N-LN-L公式及交换下积分次序公式及交换下积分次序*高斯定理（体积分化成曲面积分）高斯定理（体积分化成曲面积分）:设设 是以足够光是以足够光滑的曲面滑的曲面 为边界的有界区域（可以是多连通区域），为边界的有界区域（可以是多连通区域），在在 上具有连续偏导数的任意函数，则成立上具有连续偏导数的任意函数，则成立记记则由第二曲面积分定义则由第二曲面积分定义由积分区域任意性，知由积分区域任意性，知特别系数都为常数时，特别系数都为常数时，注注 有热源情况：单位时间内单位体积所产生的热量为有热源情况：单位时间内单位体积所产生的热量为F(x,y,z,t).F(x,y,z,t).故在区域故在区域 ，时段的总热量为，时段的总热量为则有热源的热传导方程为则有热源的热传导方程为2.2.扩散方程的导出扩散方程的导出*NerstNerst扩散定律扩散定律扩散物在无穷小时段扩散物在无穷小时段dtdt内沿法线方向流过一个无穷内沿法线方向流过一个无穷小面积小面积d d的质量的质量dmdm与扩散物浓度沿曲面与扩散物浓度沿曲面d d法线方法线方向的方向导数向的方向导数 成正比，即成正比，即在该点的扩散系数在该点的扩散系数扩散物从浓度高流向浓度低扩散物从浓度高流向浓度低因此类似热方程推导：因此类似热方程推导：3 3 定解问题的提法（以热方程为例）定解问题的提法（以热方程为例）*边界条件边界条件*初始条件初始条件或或或或表面温度已知：表面温度已知：称为第二类边界条件（称为第二类边界条件（NeumannNeumann边界条件）边界条件）热量在表面各点的流速已知：热量在表面各点的流速已知：称为第一类边界条件（称为第一类边界条件（DirichletDirichlet边界条件）边界条件）定义在定义在傅里叶定律傅里叶定律热传导实验定律（牛顿定理）：热传导实验定律（牛顿定理）：从物体流到介质中的热量和两者温度差从物体流到介质中的热量和两者温度差成正比成正比注意到傅里叶定律：注意到傅里叶定律：一般形式：一般形式：或或介质介质初始条件初始条件泛定方程：泛定方程：初初边边值值问问题题边边界界条条件件柯柯西西问问题题作业：作业：p51p51：1.3.1.3.热管道热管道热圆盘热圆盘