4[1].3向量组的秩和极大线性无关组.ppt

引子:线性相关组中含有线性无关的部分向量组.第二节第二节 向量组的极大无关组与秩向量组的极大无关组与秩定义（等价）：定义（等价）：一、等价向量组一、等价向量组性质：性质：自反性 对称性 传递性1定理：定理：推论推论1 1：推论推论2 2：2二、向量组的极大线性无关组与向量组的秩二、向量组的极大线性无关组与向量组的秩定义（极大线性无关组）定义（极大线性无关组）注1、条件（2）表示2、只有零向量构成的向量组没有极大无关组推论推论3 3：设T是由n维向量所组成的向量组，则（1）T的每个极大线性无关组与之等价（2）T的任意两个极大线性无关组所含向量 的个数是相同的。3例如：例如：对于向量组 T：1=(1,2,1),2=(2,3,1),3=(4,1,1)1,2 为 T 的一个最大无关组;2,3;1,2,3线性相关，因为 2 1+2 3=0 1,3 也是 T 的最大无关组。极大无关组是唯一吗？极大无关组是唯一吗？4定义（秩）定义（秩）(可以理解为向量组中含有有用信息的个数可以理解为向量组中含有有用信息的个数,)推论推论4 4：推论推论6 6：推论推论5 5：等价的向量组有相同的秩。5定理定理(不要掌握不要掌握,但要知道有这么回事但要知道有这么回事)：推论推论7 7：如果一矩阵列向量组的秩是r，那矩阵的秩为r.推论推论8 8：Problem:如何求向量组的秩和极大线形无关组?见见9494页页6定理定理(掌握（）掌握（）)（1 1）若矩阵）若矩阵A A经有限次初等经有限次初等行行变换变成矩阵变换变成矩阵B B，则，则A,BA,B的的行行向量组等价；而向量组等价；而A A的任意的任意k k个个列列向量与向量与B B中对中对应的应的k k个个列列向量有相同的线性相关性。向量有相同的线性相关性。（2 2）若矩阵）若矩阵A A经有限次初等经有限次初等列列变换变成矩阵变换变成矩阵B B，则，则A,BA,B的列向量组等价；而的列向量组等价；而A A的任意的任意k k个个行行向量与向量与B B中中的对应的的对应的k k个个行行向量有相同的线性相关性。向量有相同的线性相关性。789事实上事实上1011例例(掌握掌握)求向量组求向量组 的极大无关组，并用极的极大无关组，并用极大无关组表示该向量组的其他向量。大无关组表示该向量组的其他向量。做矩阵做矩阵然后对然后对A A进行初等行变换，化成行阶梯形（或行最简形）进行初等行变换，化成行阶梯形（或行最简形）矩阵，矩阵，B可以发现，可以发现，是矩阵是矩阵B B的列向量组的列向量组解：解：极大线形无关组 12又又 即：即：从而从而 B13推论推论9(9(结论要记住结论要记住)14三、三、思考题思考题1 1、求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组：、求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组：2 2、一个向量组的秩是否确定？其极大无关组是、一个向量组的秩是否确定？其极大无关组是否唯一？否唯一？15求 法1、2、对A进行初等行变换，直至阶梯形矩阵A3、A的秩r即为所求，再找一个r阶非零子式 （取拐角1所在的列），对应的向量构成一个 极大线性无关组。16