《信号与系统》课程讲义1-3.ppt

1.3 信号分解信号分解一、直流分量与交流分量一、直流分量与交流分量1直流分量也称信号平均值定义：2交流分量定义：特性：3平均功率=直流功率+交流功率注：若为周期信号不必加T1.3 信号分解信号分解二、偶分量与奇分量二、偶分量与奇分量1偶分量定义：特性：偶函数，即2奇分量定义：特性：i)奇函数，即ii)平均值为0，即3平均功率=偶分量功率+奇分量功率注：若为周期信号不必加T1.3 信号分解信号分解例例1：求下面信号的奇分量和偶分量解：解：f(t)t1-10231t1-1023f(-t)1t11-10 2 0t1.3 信号分解信号分解三、脉冲分量三、脉冲分量1信号分解为冲激信号叠加先将信号近似为矩形窄脉冲分量的叠加，即t0f(t)1.3 信号分解信号分解取极限 i)ii)可得抽样特性：1.3 信号分解信号分解2将信号分解为阶跃信号之和(设f(t)=0(t0)先将信号近似为阶跃信号分量的叠加，即取极限 0tf(t)1.3 信号分解信号分解四、四、实实部分量与虚部分量部分量与虚部分量1234实际不存在，但可借助其来研究实信号或简化运算1.3 信号分解信号分解 VCYYX X YCY五、正交函数分量五、正交函数分量1二二维维空空间间正交矢量正交矢量 矢量内积定义：其中 矢量长度定义：用一个二维矢量Y近似另一个矢量X用CY近似X，误差最小误差是垂直情况，此时若，C=0，此时XY正交，即=0 由二维空间可推广到n维空间1.3 信号分解信号分解X任何二维矢量均可分解为两个正交矢量i)n维空间两个矢量的内积ii)n维空间两个矢量的长度iii)n维空间一个矢量Y表示另一个矢量X误差最小时当2正交函数正交函数用1.3 信号分解信号分解近似()何时误差最小令：则：即：1.3 信号分解信号分解定义函数内积则：当时，与正交1.3 信号分解信号分解例例2：用()逼近求解解:使最小，可得即：1.3 信号分解信号分解例例3：用sint在区间(0,2)内来逼近cost，求解解：即：1.3 信号分解信号分解3正交函数集正交函数集定义：满足(ij)即：f(t)用正交函数集的线性组合近似，何时误差最小？将这些代入表达式 计算出1.3 信号分解信号分解归一化正交函数集对于的归一化正交函数集 即复变函数正交特性i)ii)正交条件iii)正交函数集定义1.3 信号分解信号分解4完完备备正交函数集正交函数集定义方法二：之外不存在函数x(t)()，i为1n的任意正整数，满足等式则称此函数集为完备正交函数集在（t1，t2）内近似表示 若令n，则称此函数集为完备正交函数集 此时 定义方法一：若1.3 信号分解信号分解 帕塞瓦尔方程：由 对的归一化正交函数集：广义傅立叶级数展开：常用完备正交函数集：i)三角函数集：ii)复指数函数集：iii)沃尔什函数集 1.3 信号分解信号分解例例4：1,x,x2,x3是否是区间(0,1)的正交函数集？区间(-1,1)呢？解解：由于=0，故1,x,x2,x3不是区间(0,1)的正交函数集=0，=0也不是(-1,1)上的正交函数集1.3 信号分解信号分解例例5：证明cost,cos2t,cosnt为区间(0,2)中的正交函数集，)中的正交函数集？又问是否为区间(0,可以证明故得证。对于函数cost和函数cos2t可证故不是区间(0,)中的正交函数集。证明证明：对于任意正整数1.3 信号分解信号分解,例例6：已知：(0t2 )求：,及解解：=1.3 信号分解信号分解=-=1-()-()=1-1.3 信号分解信号分解例例7：试证明sint,sin2t,sinnt,不是区间(0,2完备正交函数集。)上的证证明明：（用反证法）存在函数1，满足0=2+和故sint,sin2t,sinnt,不够完备。=0，即至少函数1与sint正交，1.3 信号分解信号分解解解：注意：由于1,t,t2不是(-1,1)上的正交函数集，例例8：用二次方程在区间(-1,1)上近似表示函数求使方均误差最小的a,b,c。故不能用公式：a=,b=,c=来做题；只能用定义按下述方法去做：=1.3 信号分解信号分解令：=0=0 =0=0 =0=0 1.3 信号分解信号分解可得如下方程组：1.3 信号分解信号分解作业：作业：P401-17（1）（2）