【数学】5.2.2 复数的乘法与除法 课件(北师大版选修2-2).ppt

第五章 数系的扩充与复数的引入 5.2.2 复数的乘法与除法复数的加法：复数的加法：设设z1abi，z2cdi(a,b,c,dR)是任意两个复数，是任意两个复数，则它们和为则它们和为z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i复数的和仍然为一个复数，其实部为复数的和仍然为一个复数，其实部为z1、z2的实部和，的实部和，虚部为虚部为z1、z2的虚部和。的虚部和。复数加法满足复数加法满足(1)交换律：交换律：z1z2z2z1；(2)结合律结合律(z1z2)z3z1(z2z3)复数的减法：复数的减法：(加法的逆运算加法的逆运算)复数复数a abibi减去复数减去复数c cdidi的差的差是指满足是指满足(c(cdidi)(x(xyiyi)a abibi的复数的复数x xyiyi，记作记作(a(abi)bi)(c(cdidi)根据复数相等的定义：根据复数相等的定义：(a(abi)bi)(c(cdidi)(a(ac)c)(b(bd)id)i复数的差仍然是一个复数，复数的差仍然是一个复数，其实部为两个复数实部的差，虚部为两个复数虚部的差。其实部为两个复数实部的差，虚部为两个复数虚部的差。显然，减法不满足交换律和结合律。显然，减法不满足交换律和结合律。1 1、复数的乘法法则：、复数的乘法法则：设设 ，是任意两个复数，是任意两个复数，那么它们的积那么它们的积任何任何 ，交换律交换律结合律结合律分配律分配律2、复数的乘方：、复数的乘方：对任何对任何 及及 ，有，有特殊的有：特殊的有：一般地，如果一般地，如果 ，有，有例例1.计算计算解解:复数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必但必须在所得的结果中把须在所得的结果中把i2换成换成-1,并且把实部合并且把实部合并并.两个复数的积仍然是一个复数两个复数的积仍然是一个复数.概念：概念：共轭复数共轭复数：实部相等，虚部互为相反数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数。的两个复数。共轭虚数共轭虚数：虚部不为：虚部不为0 0的共轭复数。的共轭复数。特别地特别地，实数的共轭复数是实数本身。，实数的共轭复数是实数本身。:a-bi在复平面内在复平面内,如果点如果点Z表示复数表示复数 z,点点 表表示复数示复数 ,那么点那么点Z和和 关于实轴对称关于实轴对称.复平面内与一对共轭复数对应的点复平面内与一对共轭复数对应的点Z 和和 关于实轴对称关于实轴对称.xyoxyoZ:a+bib-b:a-biZ:a+bib-b 例例2 已知复数已知复数 是是 的共轭复数，求的共轭复数，求x的值的值 解：因为解：因为 的共轭复数是的共轭复数是 ，根据复数相等的定义，可得根据复数相等的定义，可得解得解得所以所以 把满足把满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+di0)的的复数复数 x+yi 叫做复数叫做复数 a+bi 除以复数除以复数c+di的的商商,3、复数的除法法则、复数的除法法则3、复数的除法法则、复数的除法法则 设设 ，是任意两个复数，是任意两个复数，那么它们的商那么它们的商 先把除式写成分式的形式先把除式写成分式的形式,再把分子与分母再把分子与分母都乘以分母的共轭复数都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式化简后写成代数形式(分母实数化分母实数化).例例3.计算计算解解:例例4 4 设设 ，求证：，求证：（1）；（；（2）证明：（证明：（1）（2）练习练习3.1-i练习练习6.计算计算:(1+i)2=_;(1-i)2=_;2i-2ii-i11 1、复数的乘法法则、复数的乘法法则2、复数的乘法运算律、复数的乘法运算律3、复数的除法法则复数的除法法则4、复数的一个重要性质复数的一个重要性质两个共轭复数两个共轭复数z,z的积是一个实数的积是一个实数,这个实数等于每一这个实数等于每一个复数的模的平方个复数的模的平方,即即z z=|z|2=|z|2.如果如果nN*有有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上事实上 可以把它推广到可以把它推广到nZ.设设 ,则有则有:事实上事实上,与与 统称为统称为1的立方虚根的立方虚根,而且对于而且对于 ,也有类似于上面的三个等式也有类似于上面的三个等式.5、一些常用的计算结果一些常用的计算结果