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vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程计算流体力学计算流体力学Computational Fluid Dynamics（CFD）o总学时：总学时：36学时学时o授课方式：讲授授课方式：讲授o考核方式：大作业考核方式：大作业o大作业：大作业：6学时学时12/31/20221vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程目录索引目录索引o概论概论o第二讲第二讲 典型模型方程的数学性质典型模型方程的数学性质o第三讲第三讲 双曲型方程组的初边值问题双曲型方程组的初边值问题o第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法概述概述有限差分法有限差分法有限体积法有限体积法空间离散格式空间离散格式1.简介简介2.NVD方法方法3.耦合求解中的离散格式耦合求解中的离散格式(中心型以及迎风型中心型以及迎风型)12/31/20222vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程计算流体力学计算流体力学o主要内容：主要内容：o流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法 o方程离散方法（方程离散方法（FVMFVM）以及离散格式（高阶有界）以及离散格式（高阶有界）o基于密度和基于压力的求解方法基于密度和基于压力的求解方法 o工程常用湍流模型工程常用湍流模型 12/31/20223vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程计算流体力学计算流体力学掌握一种方程特性掌握一种方程特性 学会一种离散方法学会一种离散方法 会用一种格式会用一种格式 求解一个问题求解一个问题 要求不高12/31/20224vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程计算流体力学计算流体力学o主要参考文献主要参考文献：1傅德薰，马延文，计算流体力学，高等教育出版社，第一版，傅德薰，马延文，计算流体力学，高等教育出版社，第一版，20022吴子牛，吴子牛，计算流体力学基本原理，科学出版社，第一版，计算流体力学基本原理，科学出版社，第一版，20013王王承承尧尧，王王正正华华等等，计计算算流流体体力力学学及及其其并并行行算算法法，国国防防科科技技大大学学出出版版社社，第一版，第一版，20004朱自强，应用计算流体力学，北京航空航天大学出版社，第一版，朱自强，应用计算流体力学，北京航空航天大学出版社，第一版，19985刘刘儒儒勋勋，舒舒其其望望，计计算算流流体体力力学学的的若若干干新新方方法法，科科学学出出版版社社，第第一一版版，20036.R Eymard,T Gallouet,R Herbin,Finite Volume Methods,Online Documents,199712/31/20225vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第一讲第一讲 概论概论流体力学问题的研究方法流体力学问题的研究方法 实验研究：传统，强有力实验研究：传统，强有力理论研究：传统，应用范围有限理论研究：传统，应用范围有限数值模拟研究：新兴，发展迅速数值模拟研究：新兴，发展迅速12/31/20226vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第一讲第一讲 概论概论计算流体力学（计算流体力学（CFD）的基本概念）的基本概念 基于基本的流体力学方程基于基本的流体力学方程：EULER，RANS，N-S借助高效的数值计算方法借助高效的数值计算方法：方程类型（抛物，椭圆，双曲），方程：方程类型（抛物，椭圆，双曲），方程组求解方法组求解方法借助计算机借助计算机：计算机容量的提高使得：计算机容量的提高使得DNS可以实现，推动了对湍流可以实现，推动了对湍流的研究的研究12/31/20227vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第一讲第一讲 概论概论计算流体力学求解的基本方程计算流体力学求解的基本方程N-S方程方程 12/31/20228vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第一讲第一讲 概论概论计算流体力学求解的基本方程计算流体力学求解的基本方程N-S方程方程 12/31/20229vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第一讲第一讲 概论概论计算流体力学求解的基本方程计算流体力学求解的基本方程N-S方程方程 12/31/202210vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第一讲第一讲 概论概论计算流体力学求解的基本方程计算流体力学求解的基本方程N-S方程方程 以上方程为完整形式的可压缩完整形式的可压缩N-S方程方程5个方程包含个方程包含6个未知量：个未知量：需要添加状态方程：需要添加状态方程：密度和粘度都是变量密度和粘度都是变量12/31/202211vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第一讲第一讲 概论概论计算流体力学求解的基本方程计算流体力学求解的基本方程EULER方程方程 当Re数很大时，粘性项可以忽略（为什么？当Re很小时会如何？）亚音速流动：方程为椭圆形；跨音速流动：混合型；超音速流动：双曲型与NS方程相比，边界条件有差别，如壁面边界条件：Vn=0（为什么？）12/31/202212vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第一讲第一讲 概论概论计算流体力学求解的基本方程计算流体力学求解的基本方程不可压缩不可压缩N-S方程方程 当速度与音速相比比较小时，即Ma比较小时，粘性和密度可以认为不变连续方程连续方程：动量方程动量方程：12/31/202213vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第一讲第一讲 概论概论计算流体力学求解的基本方程计算流体力学求解的基本方程不可压缩不可压缩N-S方程方程 能量方程能量方程：类似简化，并且与动量方程不再耦合与动量方程不再耦合，可以独立求解压力方程压力方程：对三个方向动量方程分别对x,y,z求导并相加，可以得到压力的泊松方程：问题问题：压力方程是否属于控制方程？能否用来求解压力？12/31/202214vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第一讲第一讲 概论概论计算流体力学求解的基本方程计算流体力学求解的基本方程涡量涡量-流函数方程流函数方程 目的目的：引入流函数，消除求解压力的困难对于流函数，连续方程自动满足对于流函数，连续方程自动满足（Why？）？）二维问题动量方程为：二维问题动量方程为：把u，v方向的动量方程分别对y，x求导，可以消去p12/31/202215vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第一讲第一讲 概论概论计算流体力学求解的基本方程计算流体力学求解的基本方程涡量涡量-流函数方程流函数方程 二维情况下涡量二维情况下涡量：代入消除了p的方程后，得到涡量方程把流函数定义带入涡量表达式得到：优缺点优缺点：避免了处理压力，但是只能是二维流动。问题：当需要压力时，如何求解压力？12/31/202216vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第一讲第一讲 概论概论计算流体力学求解的基本方程计算流体力学求解的基本方程几组概念：几组概念：无粘流动无粘流动粘性流动粘性流动可压缩可压缩不可压缩不可压缩层流层流湍流湍流计算流体力学（计算流体力学（CFD）数值传热学（数值传热学（NHT）N-S方程方程RANS方程方程定常定常非定常非定常ReMa12/31/202217vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第一讲第一讲 概论概论控制方程求解流程控制方程求解流程选择合适的控制方程（根据流动特性以及计算能力）选择合适的控制方程（根据流动特性以及计算能力）区域离散化（网格生成）区域离散化（网格生成）控制方程离散（离散方法，离散格式）控制方程离散（离散方法，离散格式）控制方程求解（代数方程组求解方法）控制方程求解（代数方程组求解方法）数据分析数据分析12/31/202218vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第二讲第二讲 典型模型方程的数学性质典型模型方程的数学性质模型方程的概念模型方程的概念流体的运动有相应的控制方程（Governing Equations）不同的流体运动问题会有不同的方程（Potential,EULER，NS）不同的控制方程有不同的数学特性，这关系着计算方法的选取完全的控制方程（Full N-S）是复杂的非线性方程组，其解的存在性、唯一性以及数学提法的适定性的分析都非常困难，且很难找到解析解模型方程模型方程：具有原控制方程的基本特征，但是往往可以得到精确解，依次来揭示原控制方程的一些数学特征12/31/202219vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第二讲第二讲 典型模型方程的数学性质典型模型方程的数学性质模型方程的概念模型方程的概念完整方程完整方程连续方程动量方程能量方程12/31/202220vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第二讲第二讲 典型模型方程的数学性质典型模型方程的数学性质模型方程的概念模型方程的概念完整方程的三种典型项完整方程的三种典型项非稳态项对流项扩散项模型方程应该考模型方程应该考虑以上三种典型虑以上三种典型项项12/31/202221vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第二讲第二讲 典型模型方程的数学性质典型模型方程的数学性质作业提示作业提示u如何表达初始形状三角形u如何存储数据如何存储数据u如何积分u如何显示结果自变量和因变量？自变量和因变量？数值积分，数值积分，HOW？TECPLOT尝试改变几个常数，看看结果有何变化，常数反映了什么？尝试改变几个常数，看看结果有何变化，常数反映了什么？12/31/202222vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程回顾回顾控制方程控制方程NS EULERImpressible NSRANS模型方程模型方程单波单波热传导热传导Linear BurgersLaplaceNonlinear Burgers12/31/202223vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第二讲第二讲 典型模型方程的数学性质典型模型方程的数学性质模型方程的概念模型方程的概念几种典型模型方程几种典型模型方程单波方程：热传导方程：线性Burgers方程：Laplace方程：非线性Burgers方程：12/31/202224vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第二讲第二讲 典型模型方程的数学性质典型模型方程的数学性质模型方程的特征模型方程的特征单波方程单波方程单波方程属于双曲型方程：Why？说明了什么？12/31/202225vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第二讲第二讲 典型模型方程的数学性质典型模型方程的数学性质模型方程的特征模型方程的特征单波方程单波方程v说明沿此直线族，扰动波的幅值不变，传播速度为cv这个直线族被称为方程的特征线特征线即：12/31/202226vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第二讲第二讲 典型模型方程的数学性质典型模型方程的数学性质模型方程的特征模型方程的特征单波方程单波方程沿特征线特征线，扰动波的幅值不变，传播速度为c则在t0时，传播过程如下图：12/31/202227vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第二讲第二讲 典型模型方程的数学性质典型模型方程的数学性质模型方程的特征模型方程的特征单波方程单波方程c0时，传播沿x正向C0时，在x=0处需要给定边界值，而x=L处则不需要C0，s1,s2,s3如何给定边界条件？v考虑信息传递方向vS1和S3上给定初始和边界条件v而S2上不能给任何条件(why?)why?)12/31/202230vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第二讲第二讲 典型模型方程的数学性质典型模型方程的数学性质模型方程的特征模型方程的特征热传导方程热传导方程v热传导方程式抛物型方程，描述扩散过程（忽略了惯性项，如：纯导热问题）v该方程具有如下精确解：12/31/202231vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第二讲第二讲 典型模型方程的数学性质典型模型方程的数学性质模型方程的特征模型方程的特征热传导方程热传导方程若初始条件为三角形，那么扰动波的演化如图所示：抹平现象是扩散方程的典型现象信息的影响会瞬间传到无穷远，影响随距离而逐渐衰减v信息以无限速度传播是抛物型方程的典型特征作业作业1：编程序给出热传导方程解编程序给出热传导方程解析解析解条件：条件：-10 x10,正正三角形位于三角形位于-0.5 x 0.5u测试几个数据测试几个数据12/31/202232vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第二讲第二讲 典型模型方程的数学性质典型模型方程的数学性质模型方程的特征模型方程的特征线性线性Burgers方程方程v方程为双曲-抛物型混合方程，模拟了NS方程的特征v该方程具有如下精确解：12/31/202233vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第二讲第二讲 典型模型方程的数学性质典型模型方程的数学性质模型方程的特征模型方程的特征线性线性Burgers方程方程v它兼具双曲型和抛物型的特征（沿特征线有限速度传播和区域内无限速度传播）v给定初值为三角形的情况下，演变过程如图所示v扰动波沿着特征线传递，同时又向周围扩散作业作业2：编程序给出线性编程序给出线性burgers方方程解析解程解析解条件：条件：-10 x10,正三角正三角形位于形位于-0.5 x 0时，可以证明对应的格式是不稳定的（中心差分和向前差分）微分方程解的依赖域包含在解的依赖域之中并不是格式稳定的充分条件12/31/202290vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限差分法：偏微分方程的全离散有限差分法：偏微分方程的全离散时间导数简单离散法时间导数简单离散法考虑单波方程：格式在时间和空间方向具有二阶精度隐式格式：隐式格式：包括全隐和半隐格式12/31/202291vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限差分法：偏微分方程的全离散有限差分法：偏微分方程的全离散TaylorTaylor级数展开法级数展开法考虑单波方程：为什么有三个不同表达式？12/31/202292vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限差分法：偏微分方程的全离散有限差分法：偏微分方程的全离散TaylorTaylor级数展开法级数展开法考虑单波方程：12/31/202293vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限差分法：偏微分方程的全离散有限差分法：偏微分方程的全离散TaylorTaylor级数展开法级数展开法考虑单波方程：引入：12/31/202294vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限差分法：偏微分方程的全离散有限差分法：偏微分方程的全离散TaylorTaylor级数展开法级数展开法考虑单波方程：12/31/202295vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限差分法：偏微分方程的全离散有限差分法：偏微分方程的全离散TaylorTaylor级数展开法级数展开法考虑单波方程：该格式在时间和生间方向郡具有二阶逼近精度当CFL数小于1时格式是稳定的。12/31/202296vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限差分法：偏微分方程的全离散有限差分法：偏微分方程的全离散TaylorTaylor级数展开法级数展开法考虑单波方程：该格式在时间和生间方向郡具有二阶逼近精度当CFL数小于1时格式是稳定的。12/31/202297vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限差分法：偏微分方程的全离散有限差分法：偏微分方程的全离散TaylorTaylor级数展开法级数展开法考虑单波方程：该格式在时间和生间方向具有二阶逼近精度当CFL数小于1时格式是稳定的。12/31/202298vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限差分法：偏微分方程的全离散有限差分法：偏微分方程的全离散TaylorTaylor级数展开法级数展开法考虑单波方程：该格式在时间和生间方向具有二阶逼近精度是无条件稳定的。作业作业4：采用采用L-F，矩形，矩形，L-W以以及半隐错点格式求解单波及半隐错点格式求解单波方程，初边值条件自定方程，初边值条件自定12/31/202299vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限差分法：偏微分方程的全离散有限差分法：偏微分方程的全离散RUNGERUNGEKUTTAKUTTA法（法（R RK K法）法）空间导数离散化以后，所得到的半离散化方程为只依赖于时间的常微分方程一阶显式逼近：这一格式时间方向精度太低，在很多情况下格式是不稳定的12/31/2022100vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限差分法：偏微分方程的全离散有限差分法：偏微分方程的全离散RUNGERUNGEKUTTAKUTTA法（法（R RK K法）法）二阶逼近：对单波方程，如果对应的一阶导数取具有二阶精度的中心差分则格式的稳定条件为12/31/2022101vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限差分法：偏微分方程的全离散有限差分法：偏微分方程的全离散RUNGERUNGEKUTTAKUTTA法（法（R RK K法）法）三阶逼近：不是作业：不是作业：感兴趣的话，采用二阶或感兴趣的话，采用二阶或者三阶者三阶RK法求解热传导法求解热传导方程，空间项采用中心差方程，空间项采用中心差分离散分离散12/31/2022102vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限差分法：偏微分方程的全离散有限差分法：偏微分方程的全离散多步法多步法时间导数简单离散法及Taylor级数展开法为单步法，前面介绍的三阶RK法为多步法对单波方程，当c为常数时，两步LW和单步LW是等价的，稳定条件是CFL1对于双曲型方程组，由于波速c成为Jacobian矩阵，单步LW需要进行矩阵运算，而两步LW则不需要，同时两步LW格式容易推广导多维问题12/31/2022103vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限差分法：偏微分方程的全离散有限差分法：偏微分方程的全离散多步法多步法当c为常数时，MC格式和LW格式是等价的，稳定条件是CFL1MC格式不需要计算半点的值，容易实施，并且容易推广到多维问题作业作业5：采用采用MC格式求解单波方格式求解单波方程，初边值条件自定程，初边值条件自定12/31/2022104vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限差分法：偏微分方程的全离散有限差分法：偏微分方程的全离散以上涉及的是时间导数项的离散，对于显式格式，存在稳定性条件空间项的离散涉及到中心差分和一阶迎风格式为了提高计算精度，同时处理更复杂的问题（存在间断的问题），空间项的离散也会涉及到一些相关格式，以后会介绍有限体积法离散时，时间导数项的离散类似有限差分法，方程求解也类似，不同的是空间项的离散12/31/2022105vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限体积法（有限体积法（FVM）描述流体运动的微分方程是根据流体运动的质量、动量和能量守恒律推导出来的有限差分法（FDM）是从描述这些基本守恒律的微分方程出发构造离散方程有限体积法（FVM）是以积分型守恒方程为出发点，通过对流体运动的体积域的离散来构造积分型离散方程，这种方法便于用来模拟有复杂边界区域的流体运动。12/31/2022106vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限体积法（有限体积法（FVM）守恒型方程对于固定体积内的标量U，具有Q源项，积分守恒型方程如下如果该体内分成若干小体积，该方程依然成立?12/31/2022107vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限体积法（有限体积法（FVM）守恒型方程以上三个方程相加，交接面的通量会消掉，得到原守恒型方程12/31/2022108vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限体积法（有限体积法（FVM）守恒型方程守恒定律不仅适合于整个区域，还适合于任何子区域绝大多数的流体运动控制方程都可以写成守恒形式12/31/2022109vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限体积法（有限体积法（FVM）守恒型方程守恒型方程中间界面的通量被消去三项相加空间项采用中心差分12/31/2022110vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限体积法（有限体积法（FVM）非守恒型方程非守恒型方程对i点采用中心差分其中12/31/2022111vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四讲第四讲 流体力学方程的数值解法流体力学方程的数值解法有限体积法（有限体积法（FVM）非守恒型方程非守恒型方程同样对i1，i1写出离散方程，并把三个方程相加产生了右边项12/31/2022112vComputational Fluid Dynamics Computational Fluid Dynamics 计算流体流体力学计算流体流体力学 病原体