计算方法-第5章-1、解线性方程组的直接方法(5.1--5.4).ppt

解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法12/31/20221第第五五章章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法 5.1 5.1 引言引言解线性方程组的两类方法：直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差)迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解）12/31/20222n阶线性方程组12/31/2022312/31/202245.5.2 2 高斯消去法高斯消去法转化为同解的方程组12/31/202255.2.1 5.2.1 高斯消去法计算过程高斯消去法计算过程12/31/2022612/31/2022712/31/2022812/31/2022912/31/202210系数矩阵与常数项：12/31/202211回代过程:12/31/20221212/31/202213消去第一列的 n-1 个系数要计算n*(n-1）个乘法。5.2.2 5.2.2 高斯消去法计算量高斯消去法计算量12/31/202214每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk5.5.2.3 2.3 矩阵的三角分解矩阵的三角分解12/31/20221512/31/202216i+1行 i+1行依次递推12/31/202217定理定理7 7（矩阵的（矩阵的LULU分解）分解）设A为n阶矩阵，如果A的顺序主子式顺序主子式 D Di i0 0（i=1，2，n-1），则A可分解为一个单位下 三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，且这种分解是 唯一唯一的。12/31/20221812/31/2022195.3 5.3 高斯主元素消去法高斯主元素消去法为避免此种情况的发生，可通过交换方程的次序，选取绝对值大绝对值大的元素作主元。5.3.1 列主元素消去法12/31/202220选取或称此方法为全主元素高斯消去法称此方法为列主元素高斯消去法12/31/202221312/31/20222212/31/202223定理8（列主元素的三角分解定理）如果A为非奇异 矩阵，则存在排列矩阵P使 PA=LU 其中L为单位下三角阵，U为上三角阵。12/31/2022245.3.5.3.2 2 高斯高斯若当消去法若当消去法12/31/20222512/31/202226本章作业 P176 712/31/2022275.4 矩阵三角分解法矩阵三角分解法5.4.1 直接三角分解法直接三角分解法将高斯消去法改写为紧凑形式，可以直接从矩阵A的元素得到计算L,U元素的递推公式，而不需要任何中间步骤，这就是直接三角分解法。由于A=LU，求解Ax=b的问题就等价于求解两个三角形方程组 Ly=b，求y；Ux=y，求x.12/31/2022281、不选主元的三角分解法A=LU其中L为单位下三角阵，U为上三角阵（4.1）12/31/202229一、直接计算 A 的 LU 分解(例)12/31/20223012/31/202231二、一般计算公式12/31/202232三、LU 分解求解线性方程组12/31/202233矩阵A的直接分解法称为杜利特尔（Doolittle）分解12/31/202234例1：将方程组的系数矩阵A作LU分解，并求方程组的解12/31/202235解LU分解的紧凑格式为12/31/202236推出：12/31/202237由Ux=y，即用回代法解得即为线性方程组的解12/31/2022382、选主元的三角分解法采用与列主元消去法类似的方法，通过交换A的行实现矩阵PA的LU分解。12/31/202239本章作业 P177 812/31/202240