第4章根轨迹法(1).ppt

自动控制原理自动控制原理 大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院College of Electromechanical Information Engineering第四章第四章 根轨迹法根轨迹法Chapter 4 ROOT LOCUS大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理 本章重点内容本章重点内容根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念根轨迹绘制的基本规则根轨迹绘制的基本规则参量根轨迹的绘制参量根轨迹的绘制用根轨迹法分析闭环控制系统的性能用根轨迹法分析闭环控制系统的性能大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理4.1 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.1.1 根轨迹的概念根轨迹的概念 根轨迹是根轨迹是开环系统开环系统某一参数某一参数从零变到无从零变到无穷时穷时，闭环系统闭环系统特征方程式的特征方程式的根根在在s平面上平面上变化变化的轨迹。的轨迹。开环传递函数为开环传递函数为大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理闭环特征方程式为闭环特征方程式为显然，特征方程式的根是显然，特征方程式的根是 由上式可见，特征根由上式可见，特征根s1和和s2都将随着参变量都将随着参变量K的的变化而变化。下表列出了当参变量变化而变化。下表列出了当参变量K由零变化到无穷由零变化到无穷大时，特征根大时，特征根s1和和s2相应的变化关系。相应的变化关系。大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理以以K为参变量，把上表为参变量，把上表中所示的中所示的s1和和s2画在画在s平平面上，并分别把它们连面上，并分别把它们连成曲线，就得到该系统成曲线，就得到该系统的根轨迹，如右图所示。的根轨迹，如右图所示。图中箭头的指向表示图中箭头的指向表示K增大时根的移动方向。增大时根的移动方向。而标注的数值则代表与而标注的数值则代表与闭环极点位置相应的开闭环极点位置相应的开环增益环增益K的数值。的数值。大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理4.1.2 根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能1.稳定性稳定性 当开环增益从零变到无穷时，当开环增益从零变到无穷时，右图中的根轨迹不会越过虚轴进右图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半入右半s s平面，因此例平面，因此例1 1系统对所系统对所有的有的K K值都是值都是稳定稳定的。的。如果分析高阶系统的根轨迹如果分析高阶系统的根轨迹图，那么根轨迹就有可能越过虚图，那么根轨迹就有可能越过虚轴进入轴进入s s右半平面，此时根轨迹右半平面，此时根轨迹与虚轴交点处的与虚轴交点处的K K值，就是值，就是临界临界开环增益。开环增益。大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理 2.稳态性能稳态性能 由右图可见，开环系统在坐由右图可见，开环系统在坐标原点有一个极点，所以系统属标原点有一个极点，所以系统属I I型系统，因而通过根轨迹上的型系统，因而通过根轨迹上的K值就可以确定静态速度误差系数。值就可以确定静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。在一般情极点位置的容许范围。在一般情况下，根轨迹图上标注出来的参况下，根轨迹图上标注出来的参数数K不是开环增益，而是所谓根不是开环增益，而是所谓根轨迹增益。轨迹增益。大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理 3.动态性能动态性能 由右图可见，当由右图可见，当 时，时，所有闭环极点位于实轴上，系统所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程；非周期过程；当当 时，闭环两个实数时，闭环两个实数极点重合，系统为临界阻尼系统，极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周期过程，单位阶跃响应仍为非周期过程，但响应速度较但响应速度较 情况为快；情况为快；当当 时，闭环极点为复时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随超调量将随K K值的增大而增大，但值的增大而增大，但调节时间的变化不会显著。调节时间的变化不会显著。大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理4.1.3 根轨迹的幅值条件和相角条件根轨迹的幅值条件和相角条件 设单闭环控制系统的一设单闭环控制系统的一般结构如右图所示。该系般结构如右图所示。该系统的特征方程式为统的特征方程式为由上式可知，凡是满足方程由上式可知，凡是满足方程的的s s值，就是该方程式的根，或者说是根轨迹上的值，就是该方程式的根，或者说是根轨迹上的一点。一点。大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理 由于由于s s是复数，上式等号的左端也必是复数，因而是复数，上式等号的左端也必是复数，因而该式可改写为该式可改写为于是得于是得 上面俩式分别称为上面俩式分别称为根轨迹的幅值条件根轨迹的幅值条件和和相角条件相角条件。大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理 为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形式，为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形式，假设系统的开环传递函数为如下形式：假设系统的开环传递函数为如下形式：在在s平面上，零极点分别用符号平面上，零极点分别用符号 表示。表示。若把上式分子、分母中的各因式以极坐标形式来表若把上式分子、分母中的各因式以极坐标形式来表示示，即令即令大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理 于是求得根轨迹具体形式的幅值条件和相角条件为于是求得根轨迹具体形式的幅值条件和相角条件为相角条件是确定相角条件是确定s s平面上的根轨迹的充分必要条件。平面上的根轨迹的充分必要条件。大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理 由于相角条件是绘制根轨迹的基础，因由于相角条件是绘制根轨迹的基础，因而绘制根轨迹的一般步骤是：而绘制根轨迹的一般步骤是：先先找出找出s平面上满足相角条件的点，并把它们连成平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线；曲线；然后根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应然后根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的的K值。值。大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理例例4-1 利用幅值条件和相角条件绘制如图所示系统的利用幅值条件和相角条件绘制如图所示系统的根轨迹。根轨迹。解：解：(1)(1)本例的开环传递函数为本例的开环传递函数为它的开环极点为它的开环极点为0和和1，没，没有开环零点。有开环零点。大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理(2)(2)用相角条件绘制根轨迹用相角条件绘制根轨迹本例的相角条件为本例的相角条件为根据上式，用试探法寻求根据上式，用试探法寻求s平面上满足相角条件的点。平面上满足相角条件的点。1)1)在正实轴上任取一试验点在正实轴上任取一试验点s1，如图，如图4-4(a)4-4(a)所示，由于所示，由于 ，因而该点不满足根轨迹的相，因而该点不满足根轨迹的相角条件。由此可知，在正实轴角条件。由此可知，在正实轴上不存在系统的根轨迹。上不存在系统的根轨迹。大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理 。因而该点不。因而该点不满足相角条件，即满足相角条件，即1 1点左点左侧的实轴上不存在该系统侧的实轴上不存在该系统的根轨迹。的根轨迹。因而该点。因而该点满足相角条件。由此可知，满足相角条件。由此可知，(0,(0,1)1)间的实轴是该系间的实轴是该系统的根轨迹。统的根轨迹。2)2)在在(0,(0,1)1)间的实轴上任间的实轴上任取一试验点取一试验点s2，如图，如图4-4-4(b)4(b)所示，由于所示，由于 ，3)3)在在1 1点左侧实轴上任取点左侧实轴上任取一试验点一试验点s3，如图，如图4-4(c)4-4(c)所所示，由于示，由于大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理 4)4)在在s平面上任取一点平面上任取一点s4，如图，如图4-4(d)4-4(d)所示，令所示，令 ，。如果点。如果点s4位于根轨迹上，则应满位于根轨迹上，则应满足相角条件，即足相角条件，即 。显然，只有当显然，只有当 时，才能满足此条件。由此可知，时，才能满足此条件。由此可知，坐标原点与坐标原点与1 1之间的实轴的垂之间的实轴的垂直平分线上的点均能满足相角条直平分线上的点均能满足相角条件，因而该垂直平分线也是系统件，因而该垂直平分线也是系统根轨迹的一部分。根轨迹的一部分。大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理(3)(3)用幅值条件确定增益用幅值条件确定增益K系统的幅值条件为系统的幅值条件为由上式可以求得根轨迹上各点所对应的由上式可以求得根轨迹上各点所对应的K值。例如，值。例如，图图4-4(d)中的重根中的重根s1,2=0.5，其对应的，其对应的K值为值为用试探法绘制系统的根轨迹既用试探法绘制系统的根轨迹既麻烦又费时麻烦又费时，因而也，因而也不便于实际应用。不便于实际应用。大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理根轨迹增益与系统的开环增益的关系如下根轨迹增益与系统的开环增益的关系如下式中，式中，为为 的零点；的零点；为为 的极点。的极点。根轨迹形式根轨迹形式系统一般形式系统一般形式大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理 上式表示了系统的闭环极点与其开环零、极点间上式表示了系统的闭环极点与其开环零、极点间的关系。的关系。基于这种关系，就可以根据开环零、极基于这种关系，就可以根据开环零、极点的分布确定相应闭环极点的位置。点的分布确定相应闭环极点的位置。由于根轨迹由于根轨迹是根据系统的开环零、极点去绘制的，因而开环是根据系统的开环零、极点去绘制的，因而开环传递函数以零极点形式表示，将便于对根轨迹的传递函数以零极点形式表示，将便于对根轨迹的绘制。绘制。