2019版高中数学 第二章 随机变量及其分布 习题课 离散型随机变量的均值学案 新人教A版选修2-3.doc

1习题课习题课 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值学习目标 1.进一步熟练掌握均值公式及性质.2.能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题类型一 放回与不放回问题的均值例 1 在 10 件产品中有 2 件次品，连续抽 3 次，每次抽 1 件，求：(1)不放回抽样时，抽取次品数的均值；(2)放回抽样时，抽取次品数的均值考点 二项分布的计算及应用题点 二项分布与超几何分布的识别解 (1)方法一 P(0)；C3 8 C 3 107 15P(1)；C1 2C2 8 C 3 107 15P(2).C2 2C1 8 C 3 101 15随机变量的分布列为012P7 157 151 15E()0×1×2× .7 157 151 153 5方法二 由题意知P(k)(k0,1,2)，Ck2C3k8 C 3 10随机变量服从超几何分布，n3，M2，N10，E() .nM N3 × 2 103 5(2)由题意知 1 次取到次品的概率为 ，2 101 5随机变量服从二项分布B，(3，1 5)E()3× .1 53 52反思与感悟 不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算跟踪训练 1 甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有 2m个球，从甲袋中摸出 1 个球为红球的概率为 ，从乙袋中摸出 1 个球为红球的概率为2 5P2.(1)若m10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出 1 个红球的概率是 ，求P2的值；1 3(3)设P2 ，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出 1 个球，并且从甲袋中摸 11 5次，从乙袋中摸 2 次设表示摸出红球的总次数，求的分布列和均值考点 常见的几种均值题点 相互独立事件的均值解 (1)设甲袋中红球的个数为x，依题意得x10× 4.2 5(2)由已知，得 ，解得P2.2 5m2mP2 3m1 33 10(3)的所有可能取值为 0,1,2,3.P(0) × × ，3 54 54 548 125P(1) × × ×C × × ，2 54 54 53 51 21 54 556 125P(2) ×C × × ×2，2 51 21 54 53 5(1 5)19 125P(3) ×2.2 5(1 5)2 125所以的分布列为0123P48 12556 12519 1252 125所以E()0×1×2×3× .48 12556 12519 1252 1254 5类型二 与排列、组合有关的分布列的均值3例 2 如图所示，从A1(1,0,0)，A2(2，0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1 (0，0,1)，C2(0,0,2)这 6 个点中随机选取 3 个点，将这 3 个点及原点O两两相连构成一个“立体” ，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V0)(1)求V0 的概率；(2)求均值E(V)考点 常见的几种均值题点 与排列、组合有关的随机变量的均值解 (1)从 6 个点中随机选取 3 个点总共有 C 20(种)取法，选取的 3 个点与原点在同一个3 6平面内的取法有 C C 12(种)，1 3 3 4因此V0 的概率为P(V0) .12 203 5(2)V的所有可能取值为 0，1 61 32 34 3则P(V0) ，P，3 5(V1 6)C3 3 C3 61 20P，(V1 3)C2 3 C3 63 20P，(V2 3)C2 3 C3 63 20P.(V4 3)C3 3 C3 61 20因此V的分布列为V01 61 32 34 3P3 51 203 203 201 20所以E(V)0× × × × ×.3 51 61 201 33 202 33 204 31 209 40反思与感悟 解此类题的关键是搞清离散型随机变量X取每个值时所对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X取每个值时的概率，利用均值的公式便可得到跟踪训练 2 某位同学记住了 10 个数学公式中的m(m10)个，从这 10 个公式中随机抽取 34个，若他记住 2 个的概率为 .1 2(1)求m的值；(2)分别求他记住的数学公式的个数X与没记住的数学公式的个数Y的均值E(X)与E(Y)，比较E(X)与E(Y)的关系，并加以说明考点 超几何分布的均值题点 超几何分布的均值解 (1)P(X2) ，C2mC110m C 3 101 2即m(m1)(10m)120，且m2.所以m的值为 6.(2)由原问题知，E(X)0×1×2× 3× ，1 303 101 21 69 5没记住的数学公式有 1064 个，故Y的可能取值为 0,1，2,3.P(Y0) ，C0 4C3 6 C 3 101 6P(Y1) ，C1 4C2 6 C 3 101 2P(Y2)，C2 4C1 6 C 3 103 10P(Y3)，C3 4C0 6 C 3 101 30所以Y的分布列为Y0123P1 61 23 101 30E(Y)0× 1× 2×3× ，1 61 23 101 306 5由E(X) ，E(Y) 得出9 56 5E(X)>E(Y)说明记住公式个数的均值大于没记住公式个数的均值E(X)E(Y)3.说明记住和没记住的均值之和等于随机抽取公式的个数类型三 与互斥、独立事件有关的分布列的均值例 3 某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰)，若该学生身体体能考核合格的概率是 ，外语考核合格的概率是 ，假设每一次考核是否合格互不影响1 22 35假设该生不放弃每一次考核的机会用表示其参加补考的次数，求随机变量的均值考点 常见的几种均值题点 相互独立事件的均值解 的可能取值为 0,1,2.设该学生第一次，第二次身体体能考核合格分别为事件A1，A2，第一次，第二次外语考核合格分别为事件B1，B2，则P(0)P(A1B1) × ，1 22 31 3P(2)P(1A2 1 B2)P(1A2 1 2)ABABB× ×× × ××.(11 2)1 2(12 3)2 3(11 2)1 2(12 3) (12 3)1 12根据分布列的性质，可知P(1)1P(0)P(2).7 12所以的分布列为012P1 37 121 12E()0× 1×2× .1 37 121 123 4反思与感悟 若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率跟踪训练 3 甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，没有和1 32 3棋，采用五局三胜制，规定某人先胜三局则比赛结束，求比赛局数X的均值考点 常见的几种均值题点 相互独立事件的均值解 由题意，得X的所有可能取值是 3,4,5.则P(X3)C ×3C ×3 ，3 3(1 3)3 3(2 3)1 3P(X4)C ×2× × C ×2× × ，2 3(1 3)2 31 32 3(2 3)1 32 310 27P(X5)C ×2×2× C ×2×2× .2 4(1 3)(2 3)1 32 4(2 3)(1 3)2 38 27所以X的分布列为X3456P1 310 278 27E(X)3× 4×5×.1 310 278 27107 27类型四 均值问题的实际应用例 4 某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n19 与n20 之中选其一，应选用哪个？考点 离散型随机变量的均值的性质题点 均值在实际中的应用解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，1 台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11 的概率分别为 0.2，0.4,0.2,0.2，且X的可能取值为 16,17,18,19,20,21,22，从而P(X16)0.2×0.20.04；P(X17)2×0.2×0.40.16；P(X18)2×0.2×0.20.4×0.40.24；P(X19)2×0.2×0.22×0.4×0.20.24；P(X20)2×0.2×0.40.2×0.20.2；P(X21)2×0.2×0.20.08；P(X22)0.2×0.20.04.7所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为 19.(3)记Y表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当n19 时，E(Y)19×200×0.68(19×200500)×0.2(19×2002×500)×0.08(19×2003×500)×0.044 040.当n20 时，E(Y)20×200×0.88(20×200500)×0.08(20×2002×500)×0.044 080.可知当n19 时所需费用的均值小于当n20 时所需费用的均值，故应选n19.反思与感悟 解答概率模型的三个步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论跟踪训练 4 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元表示经销一件该商品的利润(1)求事件A“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率P(A)；(2)求的分布列及均值E()考点 离散型随机变量的均值的性质题点 均值在实际中的应用解 (1)由A表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款”知， 表示事件A“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款” P( )(10.4)30.216，AP(A)1P( )10.2160.784.A(2)的可能取值为 200,250,300.P(200)P(1)0.4，P(250)P(2)P(3)0.20.20.4，P(300)P(4)P(5)0.10.10.2，8因此的分布列为200250300P0.40.40.2E()200×0.4250×0.4300×0.2240(元)1若随机变量X的分布列如下表所示，则E(X)等于( )X012345P2x3x7x2x3xxA. B. C. D.1 181 920 925 9考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 C解析 因为 2x3x7x2x3xx18x1，所以x，因此E(X)1 180×2x1×3x2×7x3×2x4×3x5×x40x40×.1 1820 92某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会是p，则供电网络中一天平均用电的单位个数是( )Anp(1p) BnpCn Dp(1p)考点 二项分布、两点分布的均值题点 二项分布的均值答案 B解析 用电单位XB(n，p)，E(X)np.3口袋中有编号分别为 1,2,3 的三个大小和形状相同的小球，从中任取 2 个，则取出的球的最大编号X的均值为( )A. B. C2 D.1 32 38 3考点 超几何分布的均值题点 超几何分布的均值答案 D9解析 X可能取值为 2,3.P(X2) ，P(X3) .所以E(X)1 C2 31 3C1 2 C2 32 3 ×2 ×3 2 .故选 D.1 32 32 38 34某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%.在一次考试中，男、女生平均分数是75,80，则这次考试该年级学生平均分数为_考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 78解析 平均成绩为×75×8078.40 10060 1005某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和均值考点 常见的几种均值题点 相互独立事件的均值解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A) × × .5 64 53 41 2(2)依题意，得X所有可能的取值是 1,2,3，又P(X1) ，P(X2) × ，P(X3)1 65 61 51 6× ×1 .所以X的分布列为5 64 52 3X123P1 61 62 3所以E(X)1× 2× 3× .1 61 62 35 21实际问题中的均值问题均值在实际中有着广泛的应用，如体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计2概率模型的解答步骤10(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论一、选择题1已知XB，YB，且E(X)15，则E(Y)等于( )(n，1 2)(n，1 3)A5 B10 C15 D20考点 二项分布、两点分布的均值题点 二项分布的均值答案 B解析 E(X)n15，n30，E(Y)30× 10.1 21 32甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件，X表示甲车床生产 1 000 件产品中的次品数，Y表示乙车床生产 1 000 件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的分布列分别是：X0123P0.70.10.10.1Y0123P0.50.30.20据此判定( )A甲比乙质量好 B乙比甲质量好C甲与乙质量一样 D无法判定考点 离散型随机变量的均值的性质题点 均值在实际中的应用答案 A解析 E(X)0×0.71×0.12×0.13×0.10.6，E(Y)0×0.51×0.32×0.23×00.7.显然E(X)<E(Y)，由均值的意义知，甲的质量比乙的质量好3一射手向靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为 0.6，现有 4 颗子弹，射击完成后剩余子弹的数目X的均值为( )A2.44 B3.376 C2.376 D2.4考点 常见的几种均值11题点 独立重复事件的均值答案 C解析 X的可能取值为 3,2,1,0，P(X3)0.6，P(X2)0.4×0.60.24，P(X1)0.42×0.60.096，P(X0)0.430.064，所以E(X)3×0.62×0.241×0.0962.376.4抛掷两枚骰子，至少有一个 4 点或 5 点出现时，就说这次试验成功，在 10 次试验中，成功次数X的均值是( )A. B. C. D.10 355 980 950 9考点 二项分布、两点分布的均值题点 二项分布的均值答案 D解析 成功的概率为 1 ，4 × 4 365 9所以XB，所以E(X)10× .(10，5 9)5 950 95有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取 2 件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于( )A. B.3 58 15C. D114 15考点 超几何分布的均值题点 超几何分布的均值答案 A解析 由题意知X0,1,2，则P(X0)，C2 7 C 2 107 15P(X1)，C1 7C1 3 C 2 107 15P(X2)，C2 3 C 2 101 15故E(X)0×1×2× .7 157 151 159 153 56某城市有甲，乙，丙 3 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且此人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点12数与没有游览的景点数之差的绝对值，则E()等于( )A1.48 B0.76C0.24 D1考点 离散型随机变量的均值的性质题点 均值在实际中的应用答案 A解析 的分布列为13P0.760.24E()1×0.763×0.241.48.7签盒中有编号为 1,2,3,4,5,6 的 6 支签，从中任意取 3 支签，设X为这 3 支签中号码最大的一个，则X的均值为( )A5 B5.25C5.8 D4.6考点 常见的几种均值题点 与排列、组合有关的均值答案 B解析 由题意可知，X可以取 3,4,5,6，P(X3)，P(X4)，1 C3 61 20C2 3 C3 63 20P(X5)，P(X6) .C2 4 C3 66 20C2 5 C3 61 2由均值的定义可求得E(X)5.25.二、填空题8邮局邮寄普通信件的收费标准是：20 克以内收费 1.2 元，达到 20 克不足 40 克收费 2.4元，达到 40 克不足 60 克收费 3.6 元假设邮局每天收到的这三类信件的数量比例为811，那么一天内该邮局收寄的此类普通信件的均价是_元考点 离散型随机变量的均值的性质题点 均值在实际中的应用答案 1.56解析 设收寄信件的价格为X，则X的分布列为X1.22.43.6P0.80.10.113E(X)1.2×0.82.4×0.13.6×0.11.56，即一天内该邮局收寄的此类普通信件的均价为 1.56 元9某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则均值E()_.(结果用最简分数表示)考点 超几何分布的均值题点 超几何分布的均值答案 4 7解析 由题意知的所有可能取值为 0,1,2，因此P(0)，P(1)，C2 5 C2 710 21C1 5C1 2 C2 710 21P(2)，C2 2 C2 71 21E()0×1×2× .10 2110 211 214 710已知卖水果的某个体户，在不下雨的日子可赚 100 元，在雨天则要损失 10 元若该地区每年下雨的日子约有 130 天，则该个体户每天获利的均值是_(1 年按 365 天计算)考点 离散型随机变量的均值的性质题点 均值在实际中的应用答案 61解析 设该个体户每天的获利是随机变量X，则X可能的取值为 100，10，其中P(X10)，P(X100)，所以E(X)100×(10)×61.130 365235 365235 365130 36511某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，则该公司要赔偿a元，设一年内事件E发生的概率为p，为使公司收益的均值等于a的 10%，那么公司应要求投保人交的保险金为_元考点 离散型随机变量的均值的性质题点 均值在实际中的应用答案 (0.1p)a解析 设要求投保人交x元，公司的收益额为随机变量，则P(x)1p，P(xa)p，E()x(1p)(xa)pxap，xap0.1a，解得x(0.1p)a.三、解答题12某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学14院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的 7 个学院，现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的 3 名同学来自互不相同的学院的概率；(2)设X为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和均值考点 超几何分布的均值题点 超几何分布的均值解 (1)设“选出的 3 名同学来自互不相同的学院”为事件A，则P(A).C1 3C2 7C0 3C3 7 C 3 1049 60所以，选出的 3 名同学来自互不相同的学院的概率为.49 60(2)随机变量X的所有可能取值为 0,1,2,3.P(Xk)(k0,1,2,3)Ck4C3k6 C 3 10所以，随机变量X的分布列是X0123P1 61 23 101 30E(X)0× 1× 2×3× .1 61 23 101 306 513某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4.现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会(1)设A为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4” ，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和均值考点 常见的几种均值题点 与排列、组合有关的随机变量的均值解 (1)由已知事件A：选 2 人参加义工活动，次数之和为 4，则P(A) .C1 3C1 4C2 3 C 2 101 3(2)随机变量X可能的取值为 0,1,2，P(X0)，C2 3C2 3C2 4 C 2 104 15P(X1)，C1 3C1 3C1 3C1 4 C 2 107 15P(X2).C1 3C1 4 C 2 104 15则X的分布列为X01215P4 157 154 15所以E(X)0×1×2×1.4 157 154 15四、探究与拓展14甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，2 31 3且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的均值E()_.考点 常见的几种均值题点 相互独立事件的均值答案 266 81解析 依题意知，的所有可能取值为 2,4,6，设每两局比赛为一轮，则第一轮结束时比赛停止的概率为22 .(2 3)(1 3)5 9若第一轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在第一轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P(2) ，P(4) × ，P(6)5 94 95 920 812，故E()2× 4×6×.(4 9)16 815 920 8116 81266 8115本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)有甲，乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)设甲，乙不超过两小时还车的概率分别为 ，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 ，；1 41 21 21 4两人租车时间都不会超过四小时(1)求甲，乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲，乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列及均值E()考点 常见的几种均值题点 相互独立事件的均值解 (1)由题意，得甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 ， .1 41 4记甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A) × × × .1 41 21 21 41 41 45 1616故甲，乙两人所付的租车费用相同的概率为.5 16(2)可能的取值有 0,2,4,6,8.P(0) × ，1 41 21 8P(2) × × ，1 41 41 21 25 16P(4) × × × ，1 41 41 21 41 21 45 16P(6) × × ，1 21 41 41 43 16P(8) × .1 41 41 16甲，乙两人所付的租车费用之和的分布列为02468P1 85 165 163 161 16E()0× 2×4×6×8× .1851651631611672