2.1.2椭圆的几何性质.pptx
明目标、知重点 第二章 圆锥曲线与方程2.1 2.1 椭椭 圆圆 2.1.2 2.1.2 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质（一）（一）明目标、知重点思考1 观察椭圆 1(ab0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？探要点究所然答(1)范围：axa，byb；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b).探要点究所然思考2如何用椭圆的标准方程(代数方法)研究你观察到的几何性质？同理得，byb.探要点究所然小结椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形框里.(2)把椭圆标准方程中的x换成x，方程并未发生改变，说明当点P(x，y)在椭圆上时，它关于y轴的对称点P1(x，y)也在椭圆上，所以椭圆关于y轴对称.同理，把椭圆标准方程中的y换成y，可以说明椭圆关于x轴对称；把椭圆标准方程中的x换成x，y换成y，可以说明椭圆关于原点对称.探要点究所然小结1.椭圆关于x轴、y轴对称，同时关于原点对称.2.椭圆与对称轴有四个交点(a,0)，(0，b).这四个交点叫做椭圆的顶点.探要点究所然思考3椭圆的离心率是怎样定义的？它与椭圆有什么关系？探要点究所然例1比较下列各组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？则a29，b24，探要点究所然由于前一个椭圆的离心率较大，因此前一个椭圆更扁，后一个椭圆更圆.探要点究所然则a29，b24，探要点究所然由于前一个椭圆的离心率较大，因此前一个椭圆更扁，后一个椭圆更圆.探要点究所然例2求椭圆16x225y2400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.探要点究所然反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.探要点究所然跟踪训练1已知椭圆方程为4x29y236，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a3，短半轴长b2；因此，椭圆的长轴长2a6，短轴长2b4；探要点究所然四个顶点的坐标分别是(3,0)，(3,0)，(0，2)，(0,2)；探要点究所然探究点二由椭圆的几何性质求方程解所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点(3,0)，点(3,0)为椭圆的一个顶点.当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a3，探要点究所然当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b3，探要点究所然反思与感悟在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程确定a，b.探要点究所然跟踪训练2求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8.解由题意知，2c8，c4，从而b2a2c248，探要点究所然(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 .探要点究所然探究点三求椭圆的离心率例4如图所示，椭圆的中心在原点，焦 点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1x轴，PF2AB，求此椭圆的离心率.如题图所示，则有F1(c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，探要点究所然直线PF1的方程为xc，又PF2AB，PF1F2AOB.探要点究所然探要点究所然若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成 的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解.探要点究所然跟踪训练3 如图所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的 ，求椭圆的离心率.解设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c.则MF1F2为直角三角形.探要点究所然在RtMF1F2中，|F1F2|2|MF2|2|MF1|2，整理得3c23a22ab.又c2a2b2，所以3b2a.当堂测查疑缺 当堂测查疑缺 1 2 3 41.椭圆25x29y2225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A.5、3、0.8 B.10、6、0.8C.5、3、0.6 D.10、6、0.6知a5，b3，c4.B当堂测查疑缺 1 2 3 42.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为()A.(13,0)B.(0，10)C.(0，13)D.(0，)解析由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，D当堂测查疑缺 1 2 3 43.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()解析由题意有2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c22ac3a20，即5e22e30，B当堂测查疑缺 1 2 3 4解析由题意，知F2F1PF2PF130，PF2x60.当堂测查疑缺 1 2 3 4|F1F2|2c，|F1F2|PF2|，3a2c2c，当堂测查疑缺 呈重点、现规律1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式.2.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距.3.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.
