5、基本不等式及其应用.pdf

基本不等式基本不等式考纲分析：考纲分析：1、理解基本不等式的内容；2、会用基本不等式解决一些数学问题。考情分析：考情分析：本节主要考查利用基本不等式求函数的最值。若单纯考查基本不等式，一般难度不大，通常出现在选填题中；若考查基本不等式的变形，即通过对代数式进行拆添项或配凑因式，构造出基本不等式的形式再进行求解，难度就会提升。对基本不等式的考查，若以解答题的形式出现时，往往是作为工具使用，用来证明不等式或解决实际问题。要点梳理：要点梳理：一、基本不等式ab a b2（1）基本不等式成立的条件：；（2）等号成立的条件：当且仅当时取等号。注：该不等式反映的是两正数和积之间的转化关系，是不等式的一个重要结论。二、常用的几个重要不等式（1）a2+b22ab(a,bR)；（2）ab(a+b)/22(a,bR)；（3）(a+b)/2(a+b)/2(a,bR)；（4）b/a+a/b2(a,b 同号)；（5）a b222222a b2ab 21a1b(a,b R)注：上述不等式取等号的条件都是:a=b三、算术平均数与几何平均数设 a0,b0，则 a,b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：。四、利用基本不等式可求函数最值问题：已知 x0,y0，则（1）如果积 xy 是定值 P，那么当且仅当时，x+y 有值是；（积定和最小）（2）如果积 x+y 是定值 P，那么当且仅当时，xy 有值是；（和定积最大）典例剖析：典例剖析：考点一：利用基本不等式证明不等式例 1、（1）已知 x,y,zR+，且 x+y+z=1，求证：(1-x)(1-y)(1-z)8xyz；1/x+1/y+1/z9。（2）设 a,b,cR+，求证：bc/a+ac/b+ab/ca+b+c。分析：利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，简单的直接处理，复杂的要与性质结合。练 1、（1）已知 a0,b0,a+b=1,求证：1/a+1/b4；（2）已知 a0,b0,a+b=1,求证：(1+1/a)(1+1/b)9；（3）已知 a,b,cR，求证：a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c)；（4）已知 a,b,cR，求证：a2 b2考点二：利用基本不等式求最值例 2、（1）设0 x 2，求函数y（2）已知x 3，求y 4x 3b c22c a222(a b c)；（5）已知 0a1,0b1,0c1,求证：abc(1-a)(1-b)(1-c)1/64。x(4 2x)的最大值；x的最大值；（3）已知x 0,y 0，且x y 1，求3x4y的最小值。例 3、（1）已知 x，yR+，且 x+y-3xy+5=0，求 xy 的最小值；（2）若实数 a,b,c 满足 2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，求 c 的最大值。分析：基本不等式求最值时定要注意“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可；若无明显定值，则用配凑的方法，使和为定值或积为定值；当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法；二次分式函数的常见处理方法：（换元）分离法结合单调性或基本不等式。练 2、（1）已知不等式(x+y)(1/x+a/y)9 对任意正实数 x,y 恒成立，求正实数 a 的最小值；（2）若 a,b,cR+，且a(a b c)bc 4 23，求 2a+b+c 的最小值。规律归纳：规律归纳：基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，在证明和求最值时，要注意这种转化思想。