基本不等式及证明.pdf
基本不等式基本不等式1、基本不等式为：a2b2 2ababa2b2ab a 0,b 011222ab2、证明过程a2b2 2ab证：Qab2 0a2b22ab 0a2b2 2abab ab2a 0,b 0证：Qa b2 0ab2 ab 0ab 2 ab ab ab2得证211aba 0,b 0ab证：211=2ababab2ab2 abQ ab 2 abab1aba2b2a 0,b 022证：aba2b22aba2b2a2b2=Q a2b2 2ab2443、例题2a b224a b222a 0,b 0基本不等式在不等式的证明、求最大值、最小值的有些问题上给我们带来了很大的方便，但有时很想用基本不等式，却感到力不从心。这需要一点技巧，就是要能适当的配凑，即把相关的系数做适当的配凑。比如下面的例题1。例题例题1.1.已知x 5，求函数y 4x241的最大值。4x5解：因5，所以4x50 x 4。这可以先调整式子的符号，但(4x2)y 4x21不是常数，所以必须对4x2进行拆分。4x511(54x)3 2314x554x1x 1时取等号。54x，即当且仅当54x 故当x 1时，ymax1但是有些题目的配凑并不是这么显然。我们应该如何去配凑，又有何规律可循呢？请看下面的例题 2.例题例题2.2.设x,y,z,w是不全为零的实数，求xy2yz zw的最大值。x2 y2 z2w2显然我们只需考虑x 0,y 0,z 0,w 0的情形，但直接使用基本不等式是不行的，我们假设可以找到相应的正参数,满足：2x2 y2 z2 w2(x2y2)(1)y2z2（1）z2 w2 2xy 2(1)yz 2(1)zw故依据取等号的条件得，1221 t，参数t就是我们要求的最大值。2(1)2 1消去,我们得到一个方程4t24t 1 0此方程的最大根为我们所求的最大值得到t 2 12从这个例子我们可以看出，这种配凑是有规律的，关键是我们建立了一个等式，这个等式建立的依据是等号成立的条件，目的就是为了2122(1)2 11取得最值。我们再看一些类似的问题，请大家细心体会。16x9 2xy 933xyz例题例题3.3.设x,y,z,w是不全为零的实数，求的最大值。x2y z引入参数,使其满足：x2y z (1)xxyx(2)y z(1)x2xy 3(2)xyz3169 2933t依据取等号条件，我们有3123(2)xyz消去参数,我们得到一个方程(t 18)(16t5224t4584t31440t21377t 1458)0解得t 18这就是我们所求的最大值。因此，333x18y36z16x9 2xy 933xyz16x3 x18y 2x2y zx2y z3(x18y)x18y36z16x2218x2y z当且仅当x:y:z 1:18:36取等号。再看看下面这个题目。10 x210y2 z2例题例题4.4.设x,y,z是正实数，求的最小值。xy yz zx解：引进参数k，使之满足：z2z2210 x 10y z kx ky(10k)x(10k)y 22 2kxy2(10k)(yz zx)222222依据取等号的条件，有：2k 2(10k)t t 410 x210y2 z2故的最小值 4.xy yz zx例题例题5.5.设x,y,z是正实数且满足x y z 3，求x y z的最小值。解：观察题目的结构考虑到x,y,z的对称性，引进参数k,l223 x2 k2 2xk22232222y k 2yk x y z 2(k l)2k(x y)3l zz3l3l3 3zl2由取等号的条件有：2k 3l,k x,k y,z l 2k l 322解得k 1937137，l 1262322222所以，x y z 2k(x y)3l z 2(k l)6k 2(k l)2317 43 37108例题例题6.6.设x,y是正实数且满足x y 1，求18的最小值。x2y24解：考虑到x y 1，为了使用基本不等式，我们引进参数k：k k(x y)218181kxkx8kykyk则22k 22k(x y)22 93xyxyx22y224 1kxx2221 8ky由取等号的条件：23 k 542k3yx y 1218k所以22 93k 27xy4例题例题7.7.若x2 xy a(x y)对任意的正实数x,y恒成立，求a的最小值。解：x2 xy a(x y)对任意的正实数x,y恒成立，所以x2 xy a对任意的正实数x,y恒成立。x y设x y(1k)xkx y(1k)x2 kxy由取等号条件：12 t1kk5 12消去k，可以得到：t2t 1 0解得：t 因此a的最小值为例题例题8.8.若a 5 1。211,b 且ab 1，求证：2a12b1 2 222分析：使用柯西不等式很简单处理了，但我们还是玩一下基本不等式。52a12m 22a1m2a1 m2m2设2b1m22b1 m2b1m2m222a12b12m2m m2m2 m222a12b1 22m2考虑到取等号的条件，有22a1m m21222b1 a b,m 2m 2m2 ab 1所以，2a12b1 m22 2 22m例题例题9.9.有一边长为a,b（ab）的长方形纸板，在四个角各裁出一个大小相同的正方形，把四边折起做成一个无盖的盒子，要使盒子的容积最大，问裁去的正方形的边长应为多少？分析：这是一个高考题，很古老了。可以利用函数和导数来解决。但我们也可以用基本不等式来处理它。解：设裁去的正方形的边长为x，则做成的无盖长方体容积为bV=x(a x)(b2x)，(0 x)2引入参数m,n，则1(mx)n(a2x)(b2x)mnmx n(a 2x)(b2x)3()(m2n 2)x na b)33mn27mnV=x(a x)(b2x)由取等号的条件得mx n(a2x)b2x当m2n20时，右边为常数。故当二者同时成立时，函数有最大值。消去参数得到：12x 4(ab)xab 062(ab)a2abb2b解之得x(0 x)62(ab)a2abb2故x 6Vmax=x(a x)(b2x)max(nab)(ab)(2a b)(a abb)27mn54322321(x 0)的最小值。2x11分析：单变量函数优选求导y x2 x x2 x数用单调性的方法。但本2x2x2x例题例题10.10.求函数y x2 x题也是可以使用基本不等式的。解：引进参数0，则y x2 x11 x2 x2x2x2x(x2334x4x)(x1)2x216212由取等号的条件得：x24x，x 12x消去参数得，4x32x21 0化简得，(2x1)(2x 2x1)0解之得x 此时例题例题11.11.问（0解：引进参数a,b 0，21217，ymin242）取何值时，y cossin取最大值。2(ab(b1a)sin)31由y cossina(1sin)b(1sin)sin27abab2由取等号成立的条件得：7a(1sin)b(1sin)sin1 sin2,0 23b1a 0 aresin3 13 1,b;2223,3所以a(ab)32 3所以y cossin27ab9基本不等式是一个非常有用的结论，从上面的例子中我们可以看出，适当的配凑可以解决很多看似无法使用基本不等式解决的一些问题。同学们在学习基本不等式时时要细心体会，才能达到灵活应用的。8
