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简单的线性规划简单的线性规划曲线和方程曲线和方程学科:数学教学内容:简单的线性规划曲线和方程【基础知识精讲】1.知识的学习应遵循人类的认识规律和知识本身的渐近性,逻辑性.因此,建议同学们在学习本节时,应复习二元一次方程和平面直角坐标系中的直线的一种对应关系,在此基础上结合课本内容,理解二元一次不等式的解集在平面直角坐标系中对应的点(_,y)表示的区域.2.用二元一次不等式表示平面区域的主要应用,就是线性规划,线性规划问题主要解决的是在生产实际中的资源配置和降低资源消耗等方面的问题.因此,建议同学们在研究线性规划问题时,首先应掌握线性规划的理论方法,其次应培养自己建立数学模型的能力,在解决与线性规划有关的实际问题时,能抽象出数学本质,解决实际问题.3.教材开设简单的线性规划课程,是现代社会发展的需要,是纯理论性研究数学向应用数学知识解决实际问题发展的社会需要.所涉及的知识主要是平面线性区域的确定,建议同学们在学习本节时,要培养善于从实际问题抽象出数学模型的能力.4.用二元一次不等式表示平面区域可分为如下四种情形:平面区域二元一次不等式A_+By+C0 (A0,B0)A_+By+C0 (A0,B0)A_+By+C0 (A0,B0)A_+By+C0 (A0,B0说 明对于二元一次不等式不带等号时,其表示的平面区域,应把边界直线画成虚线5.处理简单的线性规划的实际问题,关键之处在于从题意中建立目标函数,和相应的约束条件,实际上就是建立数学模型.这样解题时,将所有的约束条件罗列出来,弄清目标函数与约束条件的区别,得到目标函数的最优解,以理论指导实际生产需要.6.线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用,一是在人力.物力.资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;二是给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力.物力.资金等资源来完成该项任务.常见类型有:(1)物资调运问题例如已知A1.A2两煤矿每年的产量,煤需经B1.B2两个车站运往外地,B1.B2两车站的运输能力是有限的,且已知 A1.A2 两煤矿运往 B1.B2 两上车站的运输价格,煤矿应怎样编制调运方案,能使总运费最少?(2)产品安排问题例如某工厂生产甲.乙两产品,每生产一个单位的甲种或乙种产品所需 A.B.C 三种材料的数量.此厂每月所能提供的三种材料的限额.每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的,这个厂每月应如何安排产品的生产,才能每月获得的总利润最大?(3)下料问题例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管,怎样下料能使损耗最小?本节学习要求:(1)画二元一次不等式表示平面区域是本节的重点,在学习思路上,应抓住以线定界.以点(原点)定域的思想,以 A_+By+C0(A0,B0)为例.以线定界,即画二元一次方程 A_+By+c=0 表示的直线定边界,其中,还要注意实线.虚线的画法.以点定域,由于对在直线 A_+By+C=0 同侧的点,实数 A_+By+C 的值的符号都相同,故为了确定 A_+By+C 的值的符号,可采用取特殊点法,如取原点等.(2)在线性规划的实际应用中,由二元一次不等式组构成了约束条件,确定线性约束条件的可行域的方法,与由二元一次不等式表示平面区域方法相同,即由不等式组表示这些平面区域的公共区域.(3)线性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下取最大值或最小值问题.在线性规划的实际应用中,建立数学模型是解决问题的关键.一般地,线性规划的数学模型是:(这里也可以是或=,以下同)其中 aij(i=1,2,n,j=1,2,m),bi(i=1,2,n)都是常量,_j(j=1,2,m)是非负变量,求Z=c1_1+c2_2+cm_m的最大值或最小值,这里 Cj(j=1,2,m)是常量教科书讨论的是 m=1,2 的两个变量,即直角坐标系里的_,y 两个变量的线性规划问题,这类问题常用图解法来求最优.涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法求解.(4)建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤:明确问题中有待确定的未知量,并用数学符号表示明确问题中所有的限制条件(约束条件),并用线性方程或线性不等式表示明确目标函数,按问题的不同,求其最大值或最小值.培养学生研究.探索问题的积极态度,并运用所学知识解决实际问题的能力.线性规划问题,是运筹学中基础内容.线性规划的应用,主要有运输问题,生产组织问题,分配问题,合理下料等,此外,在经济领域中的布局问题.计划问题等,它们的数学家模型都是线性函数,因此,仍为线性规划问题.【重点难点解析】1.理解用二元一次不等式表示平面区域和线性规划的概念.2.掌握用二元一次不等式表示平面区域和应用线性规划的方法解决简单的实际问题的能力.3.掌握用线性规划的理论知识解决实际问题的能力.例 1某企业生产 A.B 两种产品,A 产品的单位利润为 60 元,B 产品的单位利润为 80 元,两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产,每件 A 产品在加工车间和装配车间各需经过 0.8h 和 2.4h,每件 B 产品在两个车间都需经过 1.6h,在一定时期中,加工车间最大加工时间为 240h,装配车间最大生产时间为 288h.已知销路没有问题,在此一定时期中应如何搭配生产 A 产品和 B 产品,企业可获得最大利润?分析根据条件,首先应挖掘实际问题的数学本质,为此,我们通过列框图比较各因素间的关系,寻找解题的突破口.产品单位利润加工车间装配车间(最大加工量 240h)(最大装配量 288h)A(_)60 0.8h2.4hB(y)80 1.6h1.6hz=60_+80y为线性目标函数.先由线性约束条件确定可行域,然后在可行域内求出目标函数的最优解.最大利润12600 元.例 2设实数_.y 满足不等式组(1)求点(_,y)所在的平面区域(2)设 a-1,在(1)所求的区域内,求函数 f(_,y)=y-a_的最大值和最小值.分析必须使学生明确,求点(_,y)所在的平面区域,关键是确定区域的边界线.可以去掉绝对值符号入手.解:(1)已知的不等式组等价于或解得点(_,y)所在平面区域为如图 1 所示的阴影部分(含边界).其中AB:y=2_-5;BC:_+y=4;CD:y=-2_+1;DA:_+y=1.图 1(2)f(_,y)表示直线 l:y-a_=k 在 y 轴上的截距,且直线 l 与(1)中所求区域有公共点.a-1.当直线 l 过顶点 C 时,f(_,y)最大.C 点的坐标为(-3,7),f(_,y)的最大值为 7+3a.如果-1a2,那么当直线 l 过顶点 A(2,-1)时,f(_,y)最小,最小值为-1-2a.如果 a2,那么当直线 l 过顶点 B(3,1)时,f(_,y)最小,最小值为 1-3a.说明:由于直线 l 的斜率为参数 a,所以在求截距 k 的最值时,要注意对参数 a 进行讨论,方法是让直线 l 动起来.例 3 某工厂要安排一种产品生产,该产品有.三种型号,生产这种产品需要两种主要资源:原材料和劳动力,每件产品所需资源数量以及每件产品出售价格如下表所示:型号货源原材料(公斤/件)劳动力(小时/件)价 格(元/件)4 2 4 3 4 5 6 5 5分析每天可利用的原材料为 120 公斤,劳动力为 100 小时,假定该产品只要生产出来即可销售出去,试确定三种型号产品的日产量,使总产值最大.建立数学模型:(1)用_1._2._3 分别表示.种型号的日产量.(2)明确约束条件:(3)明确目标函数:Z=4_1+5_2+3_3这样,这个资源利用问题的数学模型为求_1,_2,_3的值,使Z=4_1+5_2+3_3为最大,且满足约束条件.例 4某机械厂的车工分.两个等级,各级车工每人每天加工能力,成品合格率及日工资数如下表所示:级别加工能力(个/人天)成品合格率(%)工资(元/天)240 97 5.6 160 95.5 3.6工厂要求每天至少加工配件 2400 个,车工每出一个废品,工厂要损失 2 元,现有级车工 8 人,级车工 12 人,且工厂要求至少安排 6 名级车工,试问如何安排工作,使工厂每天支出的费用最少.解析:首先据题意列出线性约束条件和目标函数.设需.级车工分别为_,y 人.线性约束条件:目标函数:Z=(1-97%)240_+(1-95.5%)160y_2+5.6_+3.6y和Z=20_+18y.根据题意知即求目标函数 Z 的最小值.画出线性约束条件的平面区域如图 2 中阴影部分所示.据图(2)知.点 A(6,6.3)应为既满足题意,又使目标函数最小.然而 A 点非整数点.故在点 A 上侧作平行直线经过可行域内的整点,且与原点最近距离,可知(6,7)为满足题意的整数解.图 2此时Zmin=20_6+18_7=246(元).即每天安排级车工6人,级车工7人时,工厂每天支出费用最少.例 5某钢厂两个炼钢炉同时各用一种方法炼钢,第一种方法,每炉用 10 小时,第二种方法用 12 小时.(这里包括清炉时间)假定这两种炼法每炉出钢都是 5600 公斤,而炼一公斤钢的平均燃料费:第一种方法为 50 元,第二种方法为 70 元,若要求在 72 小时内炼钢量不少于 36720 公斤,问应该怎样分配两种炼法的任务,才使燃料费最少?解:设第一种方法炼_炉,第二种方法炼 y 种,得目标函数 z=5600(50_+70y)线性约束条件据图解法可得整点解(6,1).即第一种方法炼 6 炉,第二种方法炼 1 炉时,燃料费最省.例 6某工厂要制造 A 种电子装置 45 台,B 电子装置 55 台,为了给每台装配一个外壳,要从两种不同的薄钢板上截取,已知甲种薄钢板每张面积为 2 平方米,可作 A 的外壳 3 个和 B 的外壳 5 个;乙种薄钢板每张面积 3 平方米,可作 A 和 B 的外壳各 6个,用这两种薄钢板各多少张,才能使总的用料面积最小?解:设需甲.乙两种钢板分别为_.y 张,得目标函数 Z=2_+3y,即求 Z 的最小值.据图解法易得最优整点解(5,5),即目标函数 Z 的最小值为 25.即需甲.乙钢板各 5张.【难题巧解点拨】例私人办学是教育发展的方向,某人准备投资 1200 万元兴办一所完全中学,为了考虑社会效益和经济效益,对该地区教育市场进行调查,得出一组数据列表(以班级为单位):市场调查表班级学生数配备教师数硬件建设 (万元)教师年薪 (万元)初中 50 2.0 28 1.2高中 40 2.5 58 1.6根据物价部门的有关文件,初中是义务教育阶段,收费标准适当控制,预计除书本费.办公费以外每生每年可收取 600 元,高中每生每年可收取 1500 元.因生源和环境等条件限制,办学规模以 20 至 30 个班为宜,教师实行聘任制.初.高中的教育周期均为三年,请你合理地安排招生计划,使年利润最大,大约经过多少年可以收回全部投资?解:设初中编制为_个班,高中编制为 y 个班,则(_gt;0,y_gt;0,_,yZ)记年利润为 S,那么 S3_+6y-2.4_-4y,即S0.6_+2y.如下图所示,作出,表示的平面区域,问题转化为在图中阴影部分求直线0.6_+2y-S0 截距的最大值,过点A作0.6_+2y0的平行线即可求出 S的最大值.联立 A 的坐标为(18,12).将_18,y12 代入,得 Sma_34.8.设经过 n 年可收回投资,则11.6+23.2+34.8(n-2)1200,所以n33.5.【课本难题解答】教材第 65 页,习题 7.42.(2)答:当_5,y1 时,zmin60;(3)答:当_6,y9 时,zma_195;教材第 64 页,练习题第 2 题解:设每天应配制甲种饮料_杯,乙种饮料 y 杯,咖啡馆每天获利 z0.7_+1.2y(元)_.y 满足约束条件最优解为(200,240)(图略)【命题趋势分析】掌握二元一次不等式表示的平面区域;理解线性规划的意义和线性约束条件.线性目标函数.可行解.可行域.最优解等基本概念;掌握线性规划问题的图解法,并能应用线怀规划的方法解决一些简单的实际问题.【典型热点考题】例 1在直角坐标平面上,求满足不等式组的整点的个数.导析数字较大,不易逐一清点,关键是引导学生找出规律,分别令 y=0,1,2,找出这些线上的整点数,然后把它们相加即可,如图 2.解:两条坐标轴及直线_+y=100 所围成区域(含边界)上的整点共有1+2+3+101=5151(个).而直线 y=_,_+y=100 及_轴所围区域(边界不包括直线 y=_)上的整点共有:(1+1+1+1)+(2+2+2+2)+(25+25+25+25)=4(1+2+25)=1300(个)由对称性知,直线 y=3_,_+y=100 及 y 轴所围区域(边界不包括直线 y=3_)上的整点也有 1300 个.故满足题条件的整点共有5151-2_1300=2551(个)说明:先求正方形区域上的整点数,有(100+1)2=10201(个),则半个正方形区域(含对角线)上的整点有+101=5151(个).又直线_+y=100 和 y=_的交点为 B(75,25).令y=1,有 101-1=100 个(不含 OB 上的点);令 y=1,则直线 y=1 与 y=_._+y=100 的交点横坐标分别为 3 和 99,所以 3_99,有 96 个点;y=2 时,6_98,有 92 个点;,y=24 时,72_76,有 4 个点.故直线 y=_._+y=100 及 y=0 所围成的区域内共有=1300 个整点.由对称性知,y=3_上方的三角形内也有 1300 个整点.故AOB 内(含边界)共有 5151-2_1300=2551 个整点.例 2某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元.70 元的单片软件和盒装磁盘,根据需要,软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,则不同的选购方式有()A.5 种 B.6 种 C.7 种 D.8 种解:选 C.设买单片软件_片,盒装磁盘 y 盒,则因为_,y 均为整数,所以_3,4,5,6;y2,3,4.这样(_,y)共有 12 个,结合条件,肯定有些不合题意,经代入不等式(_)检验知,只有 7 个(_,y)正确.说明:本题具有浓厚的时代气息,要求考生思路清晰,有良好的数学应用意识,主要考查分类讨论思想以及分析问题.解决问题的能力.例 3对平面区域 D,用 N(D)表示属于 D 的所有整点的个数,若 A 表示由曲线y=_2(_0)和两直线_=10,y=1 所围成的区域(包括边界);B 表示曲线 y=_2(_0)和两直线_=1,y=100 所围成的区域(包括边界).试求 N(AB)+N(AB)的值.导析先画出示意图(如图),其中 A 表示由曲线 y=_2(_0)和两直线_=10,y=1 所围成的区域(包括边界),B 表示由曲线 y=_2(_0)和两直线_=1,y=100 所围成的区域,由于102=100.所以AB所围成的区域恰好为矩形PQRS,其中PQ=99,QR=9,且点Q.S 均在曲线 y=_2(_0)上.因此,有 N(AB)=(99+1)_(9+1)=1000又 AB 形成的区域为抛物线弧段 SQ,它上面的整点个数为 N(AB)=9+1=10N(AB)+N(AB)=1000+10=1010.【同步达纲练习】A 级一.选择题1.已知点(3,1)和(-4,6)在直线 3_-2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是()A.a-1 或 a24 B.a=7 或 a=24C.-7a24 D.-24a72.若则目标函数 Z=_+2y 的取值范围是()A.2,6B.(2,5)C.(3,6)D.(3,5)3.满足_+y4 的整点(横纵坐标均为整数)的点(_,y)的个数是()A.16B.17C.40D.41二.填空题4.点 P(a,4)到直线_-2y+2=0 的距离等于 2 且在不等式 3_+y-30 表示的平面区域内,则点 P 的坐标为.5.在直角坐标平面上,满足不等式组面积是.三.解答题6.求 Z=8_+9y 的最大值,使式中的_,y 满足约束条件7.有一批钢管,长度都是4000mm,要截成500mm和600mm两种毛坯,且这两种毛坯数量比大于配套,怎样截得合理.AA 级一.选择题1.不等式_-2y+60 表示的平面区域在直线_-2y+6=0 的()A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方2.不等式组表示的平面区域的面积等于()A.28B.16 C.D.1213.在直角坐标平面上,由不等式组所确定的平面区域内,整点有()A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个二.填空题1.变量_,y 满足条件设 Z=,则 Zmin=,Zma_=.2.已知集合 A=(_,y)_+y1,B=(_,y)(y-_)(y+_)0,m=AB,则m 的面积为.三.解答题1.试画出满足不等式 log_(log_y2)0 的点(_,y)表示的平面区域.2.试求三边长均为整数,且最大边长为 11 的三角形的个数.3.某工厂库存 A.B.C 三种原料,可用来生产 Z,Y 两种产品,市场调查显示可获利润等各种数据如下表:A B C每件产品利润(元)库存量(件)100 125 156()()Z(每件用料)1 2 3 2000 1000 Y(每件用料)4 3 1 1000 3000问:若市场调查情况如(),怎样安排生产能获得最大利润?若市场调查情况如(),怎样安排生产能获得最大利润?【素质优化训练】1.设 m 为平面内以 A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)三点为顶点的三角形区域内(包括边界),当点(_,y)在区域 m 上变动时,4_-3y 的最小值是.2.设P(_,y)是区域_+y1内的动点,则函数f(_,y)=a_+y(a0)的最大值是.3.已知函数 f(_)=_2-6_+5,问满足的点(_,y)在平面上的什么范围?并作图.4.某工厂生产 A.B 两种产品,已知制造 A 产品 1kg 要用煤 9t,电力 4kw,劳力(按工作日计算)3 个;制造 B 产品 1kg 要用煤 4t,电力 5kw,劳力 10 个,又知制成 A 产品1kg 可获利 7 万元,制成 B 产品 1kg 可获利 12 万元,现在此工厂由于受某种条件限制,只有煤 360t,电力 200kw,劳力 300 个,在这种条件下应生产 A.B 产品各多少 kg能获得最大经济效益?参考答案:【同步达纲练习】A 级1.C2.A3.D4.(16,4)5.9-18区域为圆面(_-2)2+(y-3)2=9内挖去了一个内接正方形.6.Zma_=7.截500mm钢管 6 节和 600mm 钢管 1 节最合理.AA 级一.1.B2.B3.A二.1.Zmin=0Zma_=12.M 的面积为 1三.1.区域如图中阴影部分(不包括边界)2.36 个,设三角形另两边长为_,y,问题转化为求由_1,y11,及_+y11 所围成区域内整点的个数.3.在()种情况下获得最大利润为 238000 元,在第()种情况下获得最大利润为479000 元.【素质优化训练】1.最小值为-18.2.当 0a1 时,最大值为 1,当 a1 时,最大值为 a.3.满足条件的点(_,y)在图中的扇形 PAB 和扇形 PCD 内(包括边界),其中 P 点的坐标为(3,3)4.生产 A.B 产品分别为 20kg 和 24kg 时,获得最大效益为 420 万元.